ETTORE BORTOLOTTI.
.
LA STORIA DELLA MATEMATICA NELLA UNIVERSIT DI BOLOGNA.
.
1947. Nicola Zanichelli Editore, BOLOGNA.
.
...
.
...
Trascrizione elettronica rivista e resa disponibile dalla
          Fondazione Ezio Galiano onlus
             http:\\www.galiano.it
      ad esclusivo uso dei privi della vista.
...
.
...
        Testo fornito da Paolo Alberti, e Roberto Rogai.
           Associazione Culturale "Liber Liber".
              http://www.liberliber.it/
...
.
...
Indice.
...
.
...
INTRODUZIONE.
.
CAPITOLO PRIMO. IL RITORNO DELLA SCIENZA ANTICA ED I PRODROMI DELLA MODERNA.
Paragrafo 1. Il rinascimento delle Arti come preludio alla rinascita della Scienza.
Paragrafo 2. La cattedra di Astrologia.
Paragrafo 3. Cenni biografici di alcuni fra i pi reputati astrologi del nostro Studio.
Paragrafo 4. La cattedra Ad Arithmeticam.
Paragrafo 5. Luca Pacioli.
.
CAPITOLO SECONDO. ANALISI ALGEBRICA.
Premessa.
Paragrafo 1. La risoluzione algebrica delle equazioni cubiche.
Paragrafo 2. Il caso irreducibile e la pubblicazione della Ars Magna.
Paragrafo 3. L'Algebra di Raffaele Bombelli.
Paragrafo 4. Cenni biografici - Tartaglia, Cardano, Ferrari.
...
.
...
CAPITOLO TERZO. ANALISI INFINITESIMALE.
Premessa.
Paragrafo 1. I primi algoritmi infiniti.
Paragrafo 2. Primordi del Calcolo infinitesimale.
Paragrafo 3. L'opera geometrica di Evangelista Torricelli.
Paragrafo 4. La Geometria speciosa e le integrazioni definite di P. Mengoli. Astronomi, idraulici, ecclettici del secolo 17esimo.
.
CAPITOLO QUARTO. L'ECLETTISMO SCIENTIFICO E L'ISTITUTO DI BOLOGNA.
PREMESSA.
Paragrafo 1. L'Istituto marsigliano e l'Accademia.
Paragrafo 2. L'opera geometrica di Gabriele Manfredi.
Paragrafo 3. L'astronomia in Bologna nel secolo 18esimo. I segretari dell'Istituto - Cenni biografici.
.
CAPITOLO QUINTO. L'EPOCA NAPOLEONICA E LA RESTAURAZIONE PONTIFICIA.
PREMESSA.
Paragrafo 1. L'Accademia delle scienze di Bologna durante l'epoca napoleonica e la restaurazione pontificia.
Paragrafo 2. Le cattedre universitarie.
Paragrafo 3. Cenni biografici di alcuni fra i matematici della Scuola di Bologna che ebbero maggior nome in questo Periodo.
.
CAPITOLO SESTO. LA RINASCITA DEGLI STUDI MATEMATICI.
Paragrafo 1. Gli instauratori della nuova scienza.
Paragrafo 2. La costituzione della scuola matematica.
...
.
...
FINE Indice.
...
.
...
INTRODUZIONE.
...
.
...
In un "Primo periodo", che comprende i secoli 12esimo-15esimoXV, la Matematica apparisce nei Rotuli del nostro Studio, come ancella della Astrologia, e viene coltivata dai Maestri d'abbaco, che leggono Aritmetica e Geometria a scopi essenzialmente utilitarii, ma con indirizzi superiori nel campo della risoluzione algebrica di problemi riducibili al secondo grado, e della Applicazione dell'Algebra a questioni geometriche.
.
In questo campo, e nella Teoria dei radicali, non solo essi riacquistarono ci che dagli antichi e dagli arabi era stato ritrovato, ma seppero aggiungere notevoli sviluppi, che apprestarono un ambiente scientifico, dove, nel "Secondo periodo", che comprende tutto il secolo 16esimo, i matematici bolognesi riescirono a superare d'un balzo l'ostacolo che da pi di cinque millenni incombeva su la scienza dei numeri: SCIPIONE DAL FERRO trovava la soluzione algebrica delle equazioni e dei problemi del 3 grado; LUDOVICO FERRARI estendeva al quarto grado la risoluzione del DAL FERRO; GEROLAMO CARDANO riduceva a teoria quelle scoperte, colla pubblicazione della Ars Magna, opera insigne, dalla quale pu farsi cominciare l'ra moderna nella storia della Matematica: infine RAFFAELE BOMBELLI, colla introduzione degli immaginari, e colla pubblicazione della sua "Opera d'Algebra", stabiliva il campo di validit delle nuove teorie e faceva manifesto l'intimo legame fra le successive estensioni del concetto di numero e le corrispondenti generalizzazioni delle teorie matematiche.
Tutti gli autori che abbiamo nominato furono bolognesi, o lettori del nostro Studio. La storia della Matematica bolognese, nel secolo 16esimo, in cui essi vissero,  per molti riguardi, anche storia universale di quella scienza.
.
Il "Terzo periodo", che comprende tutto il secolo 17esimo,  caratterizzato dalla introduzione nella Scienza dei concetti di infinito, di infinitesimo e di limite. Questi concetti sono certamente impliciti nei procedimenti di dicotomia, e nelle applicazioni del metodo di exaustione degli antichi; ma gli antichi non seppero elevarsi al di l del sensibile, in una scienza di puro raziocinio.
.
In opposizione alla scuola aristotelica, allora dominante, GALILEO per primo osava sostenere la validit di procedimenti infiniti, ed EVANGELISTA TORRICELLI, seguendo le orme del maestro, sommava gli infiniti termini delle progressioni geometriche decrescenti; PIETRO MENGOLI, nelle suo "Quadrature aritmetiche", con pi ampio respiro considerava le serie convergenti come rappresentazioni effettive di quantit non esprimibili con numeri; PIETRO ANTONIO CATALDI rappresentava il valor numerico vero di irrazionalit quadratiche come somma di infiniti termini, o come ultimo elemento di un algoritmo infinito da lui creato: "la frazione continua".
.
Alle considerazioni dell'infinito e del limite nel campo numerico, essenzialmente discontinuo, faceva riscontro la considerazione dell'infinitesimo negli elementi primordiali (indivisibili) della grandezza continua, e dell'infinito nella loro totalit. In questo campo primeggia la figura di BONAVENTURA CAVALIERI: la sua "Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota", preludia all'odierno Calcolo differenziale ed integrale. I fondamenti della Analisi infinitesimale moderna sono arditamente concepiti e genialmente sviluppati nelle Opere geometriche di Evangelista Torricelli; e la "Geometria speciosa" di PIETRO MENGOLI precorre CAUCHY nella concezione e nella definizione di integrale definito.
.
Il "Quarto Periodo", che comprende tutto il secolo 18esimo,  periodo di raccoglimento, di comprensione sotto l'unico punto di vista delle applicazioni pratiche, del materiale scientifico accumulato nei secoli passati. L'Universit di Bologna acquista un nuovo membro nell'"Istituto marsigliano delle Scienze", ad essa aggregato, che integra l'insegnamento dogmatico, tradizionale nel nostro Studio, con una Istituzione di Scienza sperimentale dotata del pi copioso materiale scientifico che a quei tempi fosse dato di poter raccogliere. A presidio della Scienza pura sta l'"Accademia delle Scienze dell'Istituto", ma i pi nobili ingegni che fioriscono in quel periodo, sono volti al progresso delle Scienze di applicazione, meglio che alla pura astrazione scientifica: la Chimica, le Scienze naturali, la Fisica, l'Astronomia, la Medicina... trovano nelle sale dell'Istituto l'ambiente idoneo, e nei maestri, il pi ampio eclettismo di vedute e di metodi.
.
Il "Quinto Periodo" comprende l'epoca napoleonica e la susseguente restaurazione pontificia. "La storia della matematica in questo periodo (scrisse il BRIOSCHI)  cos strettamente legata a quella delle nostre Accademie scientifiche, che soltanto frugando con diligenza negli Atti della Societ dei 40, in quelli delle Accademie di Torino, di Bologna,... possiamo formarci un esatto concetto del fiorire di questi studi in quell'epoca". L'Universit moderna, le scuole medie, le scuole speciali,... sorgevano allora dal caos delle molteplici istituzioni medioevali.
Quelle nuove istituzioni si affermavano e si sviluppavano merc la costituzione di un Corpo, il quale, avendo raccolto nel suo seno quelli fra i dotti ed i funzionari che avevano maggior fama per sapienza e per senno politico, ed essendo munito di ampia facolt di operare, poteva agire come consulta permanente presso il Governo, e come organo direttivo presso le Istituzioni locali. Tal fu appunto "L'Istituto Nazionale", diretta continuazione della Accademia delle Scienze dell'Istituto marsigliano. E gli eclettici bolognesi fornirono i pi eletti esemplari dei dotti, chiamati a far parte di tale Istituto, che ebbe sede in Bologna fin che ebbe vita, cio fino al 1810.
.
Il Periodo pontificio della Universit bolognese,  periodo di progressiva decadenza. I migliori fra gli insegnanti che in essa professarono, furono quelli a lei trasmessi dal periodo napoleonico, che in gran parte furono conservati; ma, a mano mano che le cattedre si facevano vacanti, si chiamarono persone la cui scelta era determinata da considerazioni di ordine politico, meglio che da fama scientifica. Si ebbero cos insegnanti devoti al dovere, ma che, in generale, non ebbero nome nella Scienza, e l'Universit pontificia assunse carattere piuttosto professionale, che scientifico.
.
Ma, col mutare delle condizioni politiche, mutava con esse l'ordinamento degli Studi: si iniziava un "nuovo periodo" nella Universit bolognese.
Venne fra noi chi seppe far rinascere l'amore per gli studi matematici, e sollevare la nostra scuola dall'abiezione in cui giaceva ai pi alti fastigi. Fu questi LUIGI CREMONA, grande come scienziato, grandissimo come fondatore della nuova scuola matematica italiana. Lo Studio di Bologna ebbe la fortuna di ospitarlo nel momento pi delicato, quando avveniva il trapasso dal vecchio al nuovo nel Reggimento politico e negli ordinamenti scientifici. Nel tempo di sua permanenza in Bologna, il CREMONA aveva a collega nello Studio un altro dei grandi matematici italiani, che furono instauratori di nuova scienza: EUGENIO BELTRAMI. Ma, dal 1873, LUIGI CREMONA ed EUGENIO BELTRAMI, furono entrambi chiamati a Roma, e solo nel 1870 la nostra scuola matematica pot dirsi completa nella totalit delle cattedre richieste per il conferimento della laurea, e nella costituzione di un Corpo di scienziati, che diedero ad essa impronta imperitura.
In quello stesso anno venivano fra noi SALVATORE PINCHERLE, CESARE ARZEL, LUIGI DONATI, i primi due per le matematiche pure, l'altro per la fisica matematica. Si fecero tutti cittadini bolognesi, e qui rimasero fin che ebbero vita. I loro nomi sono intimamente legati alla nostra scuola.
...
.
...
CAPITOLO PRIMO.
...
.
...
IL RITORNO DELLA SCIENZA ANTICA ED I PRODROMI DELLA MODERNA.
...
.
...
Paragrafo 1.
...
.
...
Il rinascimento delle Arti come preludio alla rinascita della Scienza.
...
.
...
1. - Gli antichi consideravano come vera Scienza solo quella che ha in vista la ricerca astratta del vero, fatta per puro sforzo di raziocinio, senza alcun rapporto colle contingenze materiali della vita. Ma tale certamente non era la Scienza matematica al suo primo rifiorire, nei nostri Comuni, dopo le tenebre medioevali.
Troviamo invece contrassegni evidenti di una Scienza pi modesta, "di minor guisa", affidata a maestri d'arte: gente di popolo che viveva fra il popolo, e volgeva la sua opera alla soluzione di questioni inerenti all'esercizio delle professioni, od alle contingenze della vita civile.
Dalla esperienza, meglio che dal raziocinio, si ricavavano norme, precetti, metodi che, trasmessi per tradizione orale di generazione in generazione, nell'esempio numerico particolare esprimevano il precetto universale.
Tali collezioni ricordano quelle che gli antichissimi egizii ci hanno tramandato nei loro papiri, ed, i babilonesi, nei testi incisi in tavolette di ceramica; molte delle norme (anche se difettose) contenute in quegli antichissimi prototipi, le troviamo conservate e ripetute anche in manuali composti in tempi a noi pi vicini.
.
2. - Quella matematica di minor guisa a lungo permane, anche in periodi di decadenza: le Arti del navigare, del fabbricare, del tessere, della fusione e della lavorazione dei metalli,... non furono tralasciate, nemmeno nei tempi pi tristi del nostro medioevo; ed all'esercizio di tali Arti occorreva il possesso del computo aritmetico e dei primi rudimenti di geometria. Non mancarono perci, in ogni tempo, scuole e maestri di Arti liberali, e la diffusione della cultura seguiva dappresso il progredire delle condizioni sociali ed economiche degli uomini.
Si ha infatti notizia di scuole di Arti liberali che nella nostra citt gi esistevano nel secolo 12esimo, e, nel 13esimo, prima ancora di essere salite ai fastigi universitari, avevano acquistato fama non inferiore a quella delle scuole di Leggi del nostro Studio.
.
Di ci ci ha dato prove non dubbie il prof. SORBELLI nella sua Storia dell'Universit di Bologna (vol. I, p. 16). Ricorder solo che IRNERIO fu insegnante "in artibus" nella nostra Universit (p. 37), che INNOCENZO Terzo, uomo di acuto ingegno e di profonda dottrina, uno dei pontefici cui pi deve il rifiorire degli studi sacri e profani, fu scolaro a Bologna, ed agli studenti di quello Studio indirizzava le Decretali che egli aveva pubblicato, fino all'anno 12esimo del suo pontificato.
Il pontefice ONORIO Terzo (1216-1227), in una delle sue lettere riportata dal P. SARTI (Parte 2a, p. 57), parlando coi bolognesi rammenta loro che la loro citt "oltre agli altri infiniti vantaggi che ne traeva, per lo studio delle Scienze era divenuta sopra le altre famosa, e per tutto il mondo ne era celebre il nome,... che da essa uscivano i condottieri destinati a reggere il popolo di Dio, che essa, finalmente, dal picciol stato in cui era dapprima, pel concorso degli stranieri, era venuta in grandi ricchezze, e superava oramai tutte le altre citt di quella regione".
La raccolta di Decretali in un Corpo di Giurisprudenza, fatta per ordine di papa GREGORIO IX (successore di ONORIO III), da Raimondo da Pennafort (che era stato scolaro a Bologna), fu da quel pontefice indirizzata alla Universit di Bologna con una lettera nella quale fra altro si dice: "...propter studium quod est Bononiae communius et generalius, praecipue in utroque jure et quasi de omnibus partibus mundi sunt studentes, ideo potius Bononiae diriguntur."
"Dalle monarchie del mezzogiorno venivano scolari e tornavano maestri i longobardi di Benevento ed il gran Segretario Pier delle Vigne"(1), e FEDERIGO II commentava a quegli illustri maestri (dello Studio bolognese) le opere sulla filosofia e la Scienza matematica, che egli aveva appositamente fatto tradurre in latino dagli originali greci ed arabici, contenuti nella sua libreria(2).
...
.
...
Paragrafo 2.
...
.
...
La cattedra di Astrologia.
...
.
...
1. - Nei Rotuli del nostro Studio la matematica speculativa , per tutto il primo periodo, confinata nella cattedra di Astrologia, dove gli Statuti del 1405 prescrivono la lettura dei primi tre libri degli Elementi di Euclide, e delle Sferiche di Theodosio, oltre all'Algoritmo de minutis et integris, che  un trattatello elementare di aritmetica secondo l'algoritmo, cio secondo la numerazione posizionale arabica(3).
Tutti insieme comprendono le nozioni strettamente necessarie alla pratica della Astrologia; ma considerate da un punto di vista abbastanza elevato, che non trascura l'indirizzo speculativo cui si ispirano i libri di Euclide.
.
L'Astrologia, dottrina o scienza degli astri, studia la influenza dei fenomeni celesti sui fenomeni terrestri, per trarne cognizioni od indizi sopra avvenimenti futuri.
Alla pratica della Astrologia occorre anzitutto conoscere le leggi del cammino apparente degli astri, al fine di poter determinare le relative posizioni di essi nel firmamento, in ogni assegnato istante del tempo presente, passato o futuro. Ci ora pu farsi col sussidio di una scienza nobilissima: l'"Astronomia matematica"; ma le origini della Astrologia risalgono a tempi antichissimi, nei quali non si poteva verificare la corrispondenza fra i fenomeni celesti e le predizioni fatte circa gli avvenimenti terreni, se non colla diretta osservazione.
.
2. - Una lunga esperienza aveva per fatto conoscere che, nel riprodursi dei fenomeni celesti, vi era qualche norma riducibile a leggi e regole pi o meno semplici, e che la comprensione di quelle leggi poteva liberare l'astrologo dalla osservazione diretta ed immediata del fenomeno celeste, cui il presagio doveva corrispondere. Invece che sulla osservazione, gli astrologi cominciarono allora a fondare le loro previsioni sul calcolo.
.
E, per evitare volta per volta la effettiva esecuzione di calcoli fastidiosi, si costruirono effemeridi; tavole che, per un assegnato lasso di tempo, determinano le caratteristiche dei fenomeni celesti che di giorno in giorno si presentano.

L'influenza dei fenomeni celesti su le cose terrene certamente esiste e produce effetti di varia natura: meccanici (come le maree), energetici, calorifici, luminosi,... che agiscono sui fenomeni meteorologici, e sulla vita delle piante e degli animali... . I principii da cui muove l'Astrologia sono dunque fondati sopra fatti che ogni giorno osserviamo, ma le deduzioni che da questi si vollero ricavare per il presagio di avvenimenti futuri, ove mancava il sussidio della esperienza sopra fatti naturali e tangibili, si affidarono ad illusorie credenze nel sopranaturale, nel mistico, in tutto ci che sfugge al controllo dei sensi ed alle deduzioni del raziocinio.
.
Si credette che dalla mutua distribuzione degli astri e dalla natura dei loro movimenti, dipendessero non solo gli avvenimenti fisici, ma anche la disposizione degli animi, le azioni degli uomini, la sorte, il destino, la mala o buona fortuna,... in relazione con la mistica natura di una forza che circola e si espande sopra tutto ci che circonda la terra, e gli animali, e le piante che nascono dalla terra.
.
Si crearono leggi generali, col ravvisare immaginarie corrispondenze di causa ad effetto nella eventuale contemporaneit di fatti osservati, e tali leggi si raccolsero in manuali che servivano alla costruzione degli oroscopi.
.
3. - Presso i greci tali credenze penetrarono anche nella mente dei sapienti: ARISTOTELE poneva nei cieli il primo motore di tutte le cose terrene, TOLOMEO dedicava alla Astrologia due delle sue opere: il Centiloquio ed il Quadripartito. Anche i romani vi prestarono fede, specialmente sotto l'impero, quando la scienza greca e l'orientale si diffusero nel mondo latino. Maggiore sviluppo ebbe l'Astrologia presso gli arabi, e grande diffusione prese fra noi, durante il rinascimento.
.
Considerata come primario insegnamento, necessario a tutte le scienze, l'Astrologia ebbe cattedra negli studi universitari. Gli statuti della nostra Universit degli artisti del 1405, alla Rub. 60; p. 264, prescrivevano: "....Quod doctor electus ad salarium ad legendum in Astrologia, teneatur iudicia dare gratis scolaribus dicte Universitatis infra unum mensem postquam fuerint postulata, et etiam singulariter iudicium annj in scriptis ponere ad stationem Bidellorum, et etiam.... debeat quolibet anno disputare duas questiones in astrologia et eas determinare infra octo dies a die dicte disputationis...".
.
Anche nei Rotuli era palesamente espresso l'obbligo, per il lettore di Astrologia (o, come si disse pi tardi di Astronomia, - ma era sempre la stessa materia -) di fare ogni anno il giudizio ed il tacuino; cio il pronostico annuale e l'almanacco coll'aspetto ed il moto dei pianeti.
.
E ci, non solo nell'oscuro medioevo: il celebre BONAVENTURA CAVALIERI, inventore e costruttore della Teoria degli indivisibili, chiamato alla cattedra di Astronomia nell'anno 1629-1630, bench non avesse fede nella Astrologia giudiziaria, dovette studiare i vari modi di fare le direzioni, cio gli oroscopi, per mettersi in grado di poterli spiegare agli scolari. E come compendio di tali studi, componeva l'opuscolo: "Nuova pratica astrologica, di fare le direttioni secondo la via Rationale, e conforme ancora al fondamento di Kepplero per via di logaritmi" (Bologna 1639) a conclusione del quale scriveva: "La probabilit poi di questo modo di diriger come che sia dal Kepplero confermata con dire che questo sia una mistura e un compendio di tutti gli altri modi, tenuti fin ora nel fare le Direttioni, e che possi essere autenticato singolarmente dalla Filosofia Pitagorica; parmi per molto ragionevole che la riconosciamo principalmente dalla esperienza, vero paragone della verit.
.
Onde potranno li studiosi di quest'Arte con dilettevole trattenimento, e con non molta fatica, essendo questo modo assai facile, tentare di vedere in fatti se questa applaudesse forsi a questo pi che a gli altri, per sodisfare in parte al nostro infinito desiderio di sapere il futuro, o perch almeno da tanti modi, ritrovati da noi tutti fallaci e vani, resti in parte rintuzzato il nostro orgoglio e la nostra arroganza, che pretendiamo cos alto privilegio, conoscendosi essere questa facolt propria d'Iddio, mentre disse Isaia al Cap. 41: 'Annuntiate, qua ventura sunt in futurum, et sciemus quia Dij estis vos'."
E, fino all'ultimo Rotulo del nostro Studio, quello pubblicato nel 1799, troviamo costantemente assegnata la lettura di Astrologia colla espressa indicazione: "Conficiat tacuinum astronomicum ad medicinae usum".
.
Alla lettura di Astrologia erano chiamati sia coloro che facevano professione di tale materia, che i matematici ed i filosofi; ma, in prevalenza, i medici; e lo svolgimento della materia, l'indirizzo dell'insegnamento dipendeva dalle speciali attitudini del lettore; ma sempre, come si  detto, l'ufficio dei pronostici annuali e dell'almanacco era affidato al lettore di Astrologia (o ad uno dei lettori di Astrologia, quando se ne aveva pi di uno, od a quello di matematica, se era vacante la cattedra di Astrologia).
.
4. - Nonostante i pregiudizii che la infirmavano, l'Astrologia ha avuto una grandissima importanza sulla conservazione della scienza antica e lo sviluppo della moderna. La necessit di conoscere la posizione degli astri in un dato momento, ha richiesto l'assidua osservazione astronomica ed il continuo perfezionamento degli strumenti; e la ricerca delle leggi che ne regolano il moto apparente, ha promosso tutti i rami della matematica pura ed applicata. La meccanica celeste non solo si giova dei pi sottili, dei pi possenti sussidi analitici, ma promuove sempre nuovi e pi elevati sviluppi. E, senza staccarci dagli elementi, ricorderemo che la trigonometria  nata dalla Astrologia, ed il nostro CAVALIERI dimostrava la opportunit dell'uso dei logaritmi, nella costruzione delle tavole astrologiche.
.
Aggiungo che, sia nella antichit che nel medioevo, i Principi regnanti regolavano tutte le loro azioni sul responso degli astrologi, ed a gara costruivano osservatori astronomici, e li dotavano dei pi perfezionati apparecchi. Le devastazioni delle guerre rispettavano le specole, le classi degli astrologi passavano, senza gravi turbamenti, dalla corte del vinto a quella del vincitore: cos non tutta la scienza periva, e nella pratica dell'Astrologia si conservavano i germi di un futuro rinascimento.
La fama di cui ha goduto la Universit degli Artisti del nostro Studio, era, nei primi secoli principalmente, dovuta alla fama dei nostri astrologi, i quali (per la massima parte anche dotti cultori di vera scienza) erano portati ad operare assai oltre gli obblighi registrati nei Rotuli, od imposti dagli Statuti.
...
.
...
Paragrafo 3.
...
.
...
Cenni biografici di alcuni fra i pi reputati astrologi del nostro Studio.
...
.
...
1. - GUIDO BONATTI (sec. 13esimo) fu il pi celebre fra gli astrologi del suo tempo, ed  il primo che ci abbia lasciato un trattato dove, ai vaneggiamenti astrologici, si trovi aggiunta quella scienza che allora potevasi avere. Tale trattato al tempo del rinascimento ebbe gran voga, fu dei primi ad essere stampato ed ebbe tre successive edizioni (1491, 1506, 1550)(4).
BONATTI si proclama cittadino di Forl, ma pare che sia nato in Toscana od in Umbria. F. VILLANI dice che suo padre esercitava a Cascia professione di notaio.  ignoto l'anno di sua nascita.
Nel 1233 egli era a Bologna e disputava sopra argomenti astrologici col celebre frate domenicano GIOVANNI DA VICENZA. Pare che a Bologna egli abbia fatto i suoi studi di astrologia, materia che quivi era particolarmente apprezzata, e coltivata con successo.
.
GUIDO BONATTI fu successivamente astrologo di EZELINO DA ROMANO, di GUIDO DA MONTEFELTRO, della repubblica di Firenze, e forse anche di FEDERICO II. Si sono a lui attribuiti (od egli stesso si attribuisce) mille prodigi, mille predizioni avverate.
Nella vita scritta da F. VILLANI, si trova menzione del campanile di S. Mercuriale in Forl, su cui il BONATTI saliva, quando il conte GUIDO DA MONTEFELTRO usciva per combattere, e di lass dava col primo tocco della campana, segno di mettere l'armatura, col secondo di salire a cavallo, col terzo di spiegare gli stendardi e partire al galoppo. Si narra anche di una statua di bronzo fatta fondere da GUIDO, la quale rendeva le profezie. Ma, se la statua era infallibile nei suoi presagi, tale non era lo statuario. Si racconta che un giorno, avendo egli dalla osservazione delle stelle presagito bel tempo, ed un contadino, dai moti delle orecchie del suo asino, cattivo, si vide che in effetto l'asino aveva maggior virt profetica che le stelle di BONATTI.
.
2. BARTOLOMEO DA PARMA. - Lettore di Astrologia nel nostro Studio. Negli anni dal 1280 al 1297, ha composto una serie di opere di Astrologia, delle quali ha dato notizia il NARDUCCI(5). Si conservano esemplari manoscritti delle seguenti: "Liber de occultis", colla data 1280, "Breviloquium" 1286, "Geomantia" 1288, "Tractatus de Sphaera" 1297, "Epistola Astrologica", "Significationes naturales planetarum", "Significationes planetarum cum fuerint domini anni mundi", "Tractatus de electionibus".
Il "Tractatus Sphaerae"  stato pubblicato nel Tomo 17 del Bullettino Boncompagni.
.
3. - CECCO D'ASCOLI (Francesco di Simone Stabili). - Nato ad Ascoli intorno al 1257, fu studente in Medicina ed Arti nel nostro Studio, ed ebbe quivi la lettura universitaria "Ad Astrologiam" che si dava per elezione degli scolari a studenti forestieri non ancora laureati. Torn nella nostra citt, e fu lettore di Astrologia e Filosofia negli anni dal 1322 al 1324-25.
.
Quivi compose i "Commentari sulla sfera di Sacrobosco", opera che ebbe molto esito, e fu data alle stampe nel 1476 a Basilea, nell'esordio della quale si parla delle "Praelectiones ordinariae Astrologiae habitae Bononiae" e di una "Epistola seu Tractatulus de qualitate planetorum", asserendo, circa la seconda di queste opere, di averla mandata "ad publicum Cancellarium Bononiae, ut scholaribus suis traderet"(6).
Il padre BOFFITO ha nuovamente scoperto un manoscritto di CECCO(7) che contiene il Commento sui "Principii della Astrologia di Alcabizio", secondo le lezioni date da CECCO da giovine, nel corso della sua lettura universitaria, col titolo: "Incipit scriptum super librum de principiis astrologiae secundum Cicchum dum juvenis erat ellectus per Universitatem Bononiae ad legendum".
.
L'Alcabizio era infatti uno degli autori che gli Statuti del nostro Studio prescrivevano per la lettura di Astrologia.
A Bologna CECCO ebbe molestie da parte di alcuni nemici suoi, che presero a pretesto il contenuto astrologico di quei libri per accusarlo di eresia davanti al tribunale della inquisizione. La sentenza (10 Dic. 1324), impone a CECCO alcune "salutari penitenze" e gli ingiunge di disfarsi di tutti i libri di astrologia e di non insegnare pi tale materia.
Non pare possibile che dopo una tale sentenza, CECCO abbia potuto continuare la lettura di Astrologia, appena incominciata, per l'anno accademico 1424-25 a Bologna; forse avr dovuto limitarsi alla sola lettura di Filosofia; ma sta il fatto che egli, in quello stesso anno, o subito dopo, si rec a Firenze, ove pare sia stato chiamato come medico ed astrologo alla corte di CARLO duca di Calabria, e che mal gli sia incolto, per un poco lieto presagio da lui fatto alla moglie del Duca(8), e che, della sua disgrazia, traessero profitto quegli stessi nemici suoi, col ripetere l'accusa, rincarate le dosi, dinanzi all'inquisitore di Firenze.
.
L'esito del processo  ben noto: CECCO fu mandato al rogo, il 15 Settembre 1327.
Oltre alle ricordate, CECCO compose parecchie altre opere, che sono elencate dal MAZZUCCHELLI (Scrittori d'Italia, Tomo I, parte 2a, p. 1154-1156; v. anche ALIDOSI, Li dottori forestieri, p. 17; LIBRI, "Histoire des sciences mat. en Italie, tomo II, p. 200, e Boffito nella op. citata, ed in molte altre note da lui scritte sopra CECCO D'ASCOLI); ma quella per cui il suo nome rimarr nella storia,  una enciclopedia scientifica in versi volgari da lui intitolata "L'Acerba" (Lacerba, Acerbattas, Acerba aetatis,...). Quest'opera fu da taluni innalzata alle stelle come immortale, divina, e paragonata alla Divina Commedia, comparsa in quello stesso periodo di tempo, cui  infinitamente inferiore dal punto di vista letterario e poetico, ma colla quale ha comune la vastit di vedute sul campo scientifico allora coltivato, e la potenza di divulgazione, nella passionale foga delle sue sestine.
.
Il LIBRI che tante glorie ha rivendicato alla scienza italiana ed all'Italia, ha per primo ricercato il valore scientifico della Acerba, e ne ha fatto diligente analisi, concludendo col dichiarare l'Acerba: "le plus remarquable de tous les ouvrages scientifiques de ce sicle". E le dotte osservazioni di padre BOFFITO, poco tolgono di valore al giudizio del LIBRI, quando si ponga mente allo stato della scienza nel tempo in cui quell'opera fu composta.
.
L'Acerba  uno dei libri che ha avuto maggior diffusione. Nella Biblioteca matematica del RICCARDI si noverano, fra le altre, 21 edizioni anteriori al 1550, ed il GHERARDI al loc. citato ne ricorda una fatta a Venezia dall'ANDREOLO nel 1840 (loc. cit., p. 181). Nella Biblioteca Universitaria del nostro Studio, in Bologna, si conservano tre bei codici, che contengono, ciascuno, un esemplare manoscritto dell'Acerba, colle indicazioni seguenti: 1) CECCO D'ASCOLI, Tractatus qui dicitur Accerbactus, volgarmente l'Acerba,... Codex Chartaseus, an. 1462; 2) Il medesimo col titolo: Tractatus qui dicitur Acerbattas, Codex Char., an. 1462; 3) Il medesimo col titolo: Liber Acerbae Aetatis, Codex Char., Saeculi 14esimo.
.
4. BIAGIO PELACANI (Pelicani) da Parma (?-1416). - Laureato a Pavia nel 1374, lesse in quello Studio logica e filosofia negli anni 1374-76. Lo troviamo rotulato a Bologna per le letture di Astrologia e Filosofia negli anni 1379-82, poi a Padova per le stesse letture negli anni 1384-87, e di nuovo a Bologna 1387-88, a Pavia nuovamente nel 1389,... per le letture di matematica e filosofia, poi a Padova (Matem., Fil., Astrologia) negli anni dal 1407 al 1411; finalmente a Parma 1411-1416.  stato anche a Parigi in epoca indeterminata.(9)
Come astrologo egli era contrario a quel rigido determinismo che fa dipendere tutti i fenomeni del mondo sublunare dai fenomeni celesti; egli anzi esplicitamente dichiarava che "In qualunque maniera gli astri influiscano o possano influire, non potranno mai costringere il libero arbitrio e la volont degli uomini e di Dio. La creatura ragionevole potr resistere alla influenza degli astri, quando lo voglia".
Ha lasciato di s grande fama, e grandissima ne godette all'epoca sua; ma del suo insegnamento si hanno giudizi discordi; pare che, specialmente a Padova, egli fosse poco accetto dalla scolaresca per l'asprezza del suo carattere.
.
Di lui  rimasto l'opuscolo: Questiones super "Tractatu de latitudinibus formarum" per venerandum doctorem magistrum Blasium de Parma de Pelicani; ed un opuscolo: Questio Blasii de Parma de tactu corporum durorum, entrambi pubblicati nella "Collezione matematica di Ottaviano Scoti", Venezia, 1505.
Ha scritto anche delle "Questiones super tractatu de proportionibus", che non risulta siano state pubblicate. Ed  pure rimasto manoscritto (ma divulgato in codici che tutt'ora si conservano) un "Tractatus de ponderibus".
.
5. GIOVANNI AURISPA (Johannes de Noto, Johannes Hisparus). - Nato a Noto, in Sicilia, nel 1369, morto a Ferrara verso la fine del 1460. Fu lettore di Astrologia nel nostro Studio negli anni 1392-1400. Nell'anno 1418 si rec a Costantinopoli per apprendere la lingua greca e per raccogliere codici di antichi autori classici. Torn infatti in Italia con 238 manoscritti di autori greci, e fu di quegli italiani che pi contribuirono al rinascimento delle scienze e delle letterature classiche.
Nell'anno 1424-25 lo troviamo nei rotuli del nostro Studio (JOHANNES HISPARUS) alla lettura di lingua greca. Nell'anno successivo pass ad insegnare la stessa lingua a Firenze, poi a Ferrara, dove trovavasi nel 1438.
Fu chiamato a Roma, quale suo segretario, dal papa EUGENIO Quarto, nell'anno 1441, e confermato da NICOL V nella carica, che tenne per 6 anni. Torn di poi a Ferrara, dove mor nell'et di 90 anni.
"Le premure dei principi e delle citt in chiamare alle loro scuole questo celebre professore, l'amicizia e la stima che ebbero per lui i pi celebri uomini del suo tempo, ci mostrano che l'AURISPA fu avuto in concetto di uno dei pi valenti ristauratori delle lettere classiche" (TIRABOSCHI, Storia della letteratura italiana, t. VI, lib. III, cap. V). Vedi anche: R. SABBADINI, Un biennio umanistico (1425-1426), illustrato con nuovi documenti. "Giornale storico della Letteratura italiana", Supplemento 6, 1903, p. 74; C. MALAGOLA, Della vita e delle opere di Antonio Urceo, detto Codro (Bologna 1878), p. 39.
.
6. - GIOVANNI DI NICOL FONDI. - Laureato nel 1428, comparisce nei Rotuli per 44 anni, fino al 1472-73. In quel lungo periodo, la lettura che fu a lui affidata ebbe nome di Astrologia fino al 1438-39, fu poi detta di Astronomia; ma negli anni 1452-1454/55, ebbe titolo di Astronomia e Matematica, a benefizio di un MAESTRO GIORGIO DA SANTARCANGELO, che negli anni 1452-54 sostitu il FONDI, e nel 1454-55 gli fu compagno, per poi scomparire dai rotuli; colla sua scomparsa, la lettura, tornata al FONDI, riprendeva il nome di Astronomia.
.
Dal 1468-69 accanto al nome di FONDI si trova sui rotuli la annotazione: "non teneatur legere" e la lettura  effettivamente tenuta dal MANFREDI, che figura come suo concorrente. Ma nel lungo periodo dal 1428 al 1468, pu dirsi che la lettura di Astronomia nel nostro Studio, sia stata esclusivamente tenuta dal FONDI, poich o egli fu solo nel Rotulo, o quelli che di anno in anno saltuariamente ebbe a compagni, non tennero insegnamento continuativo. Quando si pensi alla fama che in quel tempo aveva l'Astronomia nel nostro Studio, bisogna ritenere che buona parte del merito spetti all'insegnamento ed all'opera di GIOVANNI FONDI.
.
7. GEROLAMO MANFREDI. - Laureato in medicina e filosofia nel 1455,  nei Rotuli dello Studio dal 1455-56 al 1492-93. Nei primi anni, fino al 1466, lesse logica e filosofia, poi anche medicina ed astrologia. Si dice di lui che, come medico, avesse da solo pi ammalati da curare, che tutti gli altri medici della citt presi insieme. A lui, insieme con PIETRO BONO, fu commessa la cura della prima edizione della Cosmografia di Tolomeo, "come ad astrologi peritissimi".
Abbiamo di lui: "Tractatus de pestilentia" (1478), "Centiloquium de medicis et infirmis" (1488). "Liber de homine et conservatione sanitatis" (1474). Quest'ultima opera, colla intitolazione "Il Perch" ha avuto gran voga e molteplici edizioni.
.
8. - DOMENICO MARIA NOVARA, da Ferrara (1454-1504). - Lesse ininterrottamente nel nostro Studio "Astronomia de mane, diebus continuis et ordinaris" negli anni 1483-1504. Ebbe a coadiutore negli anni 1485-86, F. DE VILLALOBOS; negli anni 1486-93, HIER. DE MANFREDIS; negli anni 1493-96, SC. DE MANTUA, e FR. DE PAPIA; dal 1496 al 1504, JAC. PETRAMELLARA.
Il NOVARA era anzitutto astronomo osservatore. Dalle sue osservazioni risultarono due fatti che valsero a combattere il pregiudizio, fino allora invalso, della invariabilit degli elementi del sistema mondiale.
Il primo di questi fatti riguarda il cambiamento di direzione subto dall'asse terrestre dai tempi di TOLOMEO ai suoi. Di ci egli si avvide per aver nuovamente determinato la posizione delle stelle comprese nell'Almagesto, per le diverse citt d'Italia, e trovato che le altezze del polo erano, di un grado e pi, maggiori di quelle calcolate da TOLOMEO.
.
Il NOVARA ebbe l'avvedutezza di dedurne l'ardita conseguenza che l'asse della diurna rotazione avesse in quel lasso di tempo variato la sua direzione, ed il nostro polo si fosse accostato allo Zenit. Ebbe anche il coraggio di pubblicare la sua scoperta in un Pronostico contenuto nel Tacuino da lui composto per l'anno 1489, che il Magini riport nelle "Tabulae secundorum mobilium coelestium" (Venetiis MDLXXXV, p. 29) e che si legge anche nella memoria di L. SIGHINOLFI (Domenico Maria Novara e N. Copernico)(10).
Il secondo fatto consiste nell'aver determinato la massima declinazione del Sole, cio la obliquit della ecclittica, in 2329', fornendo cos agli astronomi un dato autorevole per lo scoprimento della diminuzione progressiva di tale obliquit, ed a lui stesso un nuovo argomento contro il pregiudizio sulla invariabilit del sistema mondiale.
Uno dei meriti maggiori del NOVARA  quello di essere stato, negli anni dal 1496 al 1500, maestro e guida nello studio dell'Astronomia e nelle osservazioni astronomiche, al COPERNICO, che venne a compiere i suoi studi a Bologna, attratto dalla fama del nostro Ateneo, e da quella del nostro astronomo.
.
9. - Tra la fine del 15esimo e la prima met del secolo 16esimo troviamo per l'Astronomia (o meglio Astrologia) le lunghissime condotte di GIACOMO PIETRAMELLARA (1496-1536)(11), e LUDOVICO VITALI (1504-1554), cui successivamente si accompagnavano GIACOMO BENACCI (1500-06), LUCA GAURICO (1506-07), MARCO SCRIBANARIO (1513-30) e pi tardi LATTANZIO BENACCI (1537-72) e FR. RUSTICELLI (1539-52).
Bench si avessero contemporaneamente tre lettori di buona fama per una stessa lettura, questa, dal 1508 in poi, fu relegata nei giorni festivi; il che potrebbe significare scarso interesse per la materia, o per i lettori. Osservo inoltre che dal 1572, dopo la morte di  LATT. BENACCI, non si trova pi l'Astronomia, nei Rotuli, come lettura ordinaria, ma solo come lettura universitaria, cio, data, anno per anno, per designazione degli studenti, ad uno scolaro non ancora laureato.
.
Fra i nominati merita speciale menzione LUCA GAURICO da Giffoni (Salerno), che fu matematico ed astronomo di molto valore, ed ebbe grandissima fama nella Astrologia giudiciaria; bench non sempre i suoi presagi gli abbiano recato fortuna. Si racconta di lui che, per aver predetto al BENTIVOGLIO la prossima sua cacciata dalla signoria di Bologna, si ebbe cinque tratti di corda.
Tradusse e comment l'"Almagesto di Tolomeo", corresse le Tavole alfonsine, calcol Effemeridi, cur la pubblicazione della traduzione dei "libri di Archimede sulla quadratura della parabola e sulla misura del cerchio". Le sue opere sono state raccolte nella pubblicazione: "Opera omnia, quae quidem extant Lucae Gaurici,... astronomi ac astrologi praestantissimi..." (3 vol. Basileae, 1575).
...

...
Paragrafo 4.
...
.
...
La cattedra "Ad Arithmeticam".
...
.
...
1. - Nello scorcio del secolo 14esimo vediamo apparire nei Rotuli una lettura di Matematica, non contemplata negli Statuti, designata coll'appellativo: "Ad Lecturam Arithmetrice" (sic), ma che comprende sempre la Geometria, anche quando questa materia non  espressamente nominata.
Si tratta di una matematica "di minor guisa", a scopi pratici, utilitarii, che non esclude tuttavia la trattazione (modellata secondo il Liber Abbaci e la Practica Geometriae di LEONARDO PISANO), di argomenti di ordine superiore, cio delle equazioni e dei problemi dei due primi gradi, e di questioni geometriche risolute con procedimenti analitici.
.
2. - Da Firenze furono chiamati i maestri (ANTONIO DA FIRENZE e CHECCO FIORENTINO), che per primi occuparono questa cattedra (dal 1384-85, al 1439-40), e che ad essa diedero il carattere pratico, utilitario, con cui viene presentata nei Rotuli.
Si trova per la prima volta nel Rotulo del 1384-85, affidata al maestro ANTONIO BONINI BELLICTI, a questi patti:
" - In Asmetricha - M. Antonio Boninj Bellictj de Florentia, ad instruendam Asmetricham per triennium cum salarium centum librarum Bon. pro quolibet anno a communi Bononie percipiendo et cum potestate percipiendj a quolibet instruendo ducatum unum in principio persolvendum, quem sic solventem teneatur tam diu in dicta facultate instruere quam diu ad eum accesserit, sine aliqua alia soluptione.
Nec non teneatur omnem mensurare terre et muri et generaliter cuiuslibet laborerij communis Bononiae mensurare et agrimensare, et etiam omnes rationes communis Bononiae male visas et chalchulatas revidere et refformare pro communi Bononiae tociens quociens fuerit necesse, absque aliqua solutione. Et in casu quo miteretur extra civitatem Bononiae, eidem debeat persolvj pro expensis suis prout solvitur alijs accedentibus in servitium communis Bononiae, libras centum bon. pro quolibet anno".
Scaduto il triennio il BELLICTI  confermato, ma la lettura ha preso nome di Geometria, per diventare "Lettura d'abbaco" negli anni 1404-06, poi Aritmetica nel 1406-07, e nuovamente Geometria nel 1407-08, ultimo della condotta di MAESTRO ANTONIO.
Il BELLICTI ebbe a compagno o coadiutore un MAESTRO NICOLA DALL'ABBACO (Nicola Ottaviani da Bologna) negli anni 1386-93, ed un JACOBUS DE BETANIA per l'anno 1395-96.
.
3. - L'obbligo di servire il comune, come sopraintendente ai lavori murari, agronomi, alla revisione dei conti.... si trova registrato anche in un decreto del comune di Pisa, relativo a LEONARDO PISANO, ed era consuetudinario in Toscana per i maestri d'abbaco.
Nel cambiamento di regime politico (dalla signoria dei BENTIVOGLIO alla dominazione papale) quell'obbligo si conservava, ma alquanto attenuato. Leggiamo infatti nel Rotulo del 1407-08:
"Ad Lecturam Geumetrie - M. Antonio Bonini de Florentia, qui tenetur chalchulare jura camere dominj nostrj Pape in civitate Bononiae sicut tenebatur tempore regiminis popularis, in caxu quo precipiatur eidem per dominum Cardinalem presentem vel eius subcessorem vel per Defensores averis".
Non  da escludere che la chiamata a quella lettura di un altro fiorentino (FRANCESCO BARTOLOMEI, CHECCO DA FIRENZE), che rimane nei rotuli dal 1410-11 al 1439-40, possa far ritenere che il maestro d'abbaco dello Studio, continuasse ad essere considerato anche come maestro d'abbaco, o massaro, del comune; ma non risulta che tale ufficio fosse di poi effettivamente esercitato.
Nell'anno 1443-44, la lettura prende nome di "Aritmetica e Geometria" che conserver (salvo qualche rara eccezione) fino alla fine del periodo che stiamo studiando (1544-45). Per l'anno 1451-52 si ha una lettura "Scientiarum mathematicarum diebus festivis" data ad un maestro FRANCESCO DA SANT'ARCANGELO, e negli anni 1452-55 una lettura "Astronomie et Mathematice" per il maestro GIORGIO DA SANT'ARCANGELO. N l'uno, n l'altro di questi lettori comparir poi pi nei Rotuli. Per l'anno 1470-71 una lettura di matematica  affidata al maestro JACOBUS DE BETANIA.
.
4. - Nel lungo periodo 1443-1496, non troviamo alla lettura di Aritmetica-Geometria, nessun nome che abbia risonanza nella matematica(12); ma nell'anno seguente comparisce per la prima volta SCIPIONE DAL FERRO; e, nell'anno 1501-02, troviamo un uomo di fama mondiale: LUCA PACIOLI, alla lettura di Mathematica, per lui espressamente istituita.
Il PACIOLI era allora il pi elevato cultore di quel tipo di matematica che  nobilmente rappresentato dal Liber Abbaci di LEONARDO PISANO, e che, nel nostro Studio, era assegnato alla lettura di Aritmetica; ma, quasi a ribadire la condizione di inferiorit in cui i lettori di tale materia erano considerati, troviamo nei Rotuli, dal 1507-08 in poi, espressamente segnata la clausola: "Cum hoc quod quilibet eorum gratis doceat quattuor pauperes ex verecundis, prout ab eorum procuratoribus commissum fuit".
.
Ma non  dalla lettura dei Rotuli che si pu giudicare dell'effettivo contributo recato allo sviluppo della scienza dall'opera dei professori rotulati.
I maestri d'abbaco (cui era affidata la lettura di Arithmetica), non avevano obbligo di seguire alcun testo, non leggevano, ma insegnavano, ed insegnavano disputando.
Nei trattati di quel tempo, che ci sono rimasti manoscritti, i quali riproducono nella forma dialogica la lezione orale, sempre troviamo una parte notevole dedicata alla risoluzione delle questioni, ragioni, casi,... E la questione da risolvere era enunciata sotto la forma tipica: "Fammi questa raxone...", oppure: "Sel te fusse domandato..., questo sia el modo".
.
La disputazione matematica non era fondata sopra retoriche divagazioni intorno a curialesche distinzioni sofistiche, ma sulla effettiva risoluzione di problemi sottili, che penetravano sempre pi addentro nelle pi riposte teorie, ed eccitavano la scoperta e l'impiego di sempre nuovi sussidi teorici. Il maestro d'abbaco aveva dinanzi a s un meraviglioso modello nelle opere di LEONARDO PISANO, diffusissime allora sia nell'originale, che nei ristretti, fioretti, compendi,... che andavano per le mani di tutti; ma si studiava di dare al suo corso una impronta personale, colla costruzione di sempre nuove questioni, che erano diligentemente raccolte dalla scolaresca, e costituivano poi il materiale delle disputazioni che per disposizione statutaria ogni lettore dello Studio era tenuto a sostenere, e dal cui risultato dipendeva, non solo la fama nella citt e nello Studio, ma anche la conferma nella lettura e gli aumenti di salario.
.
I maestri pi insigni erano chiamati a disputare anche fuori dall'ambiente scolastico; perch il popolo si appassionava a tali dispute, che erano pubbliche. Si disputava nelle piazze, nelle chiese, nelle corti dei signori e dei principi, che tenevano a gloria l'aver al loro seguito maestri abili, non solo alla costruzione di presagi astrologici, ma anche alle dispute sopra difficili e curiosi problemi matematici.
Fra i casi da discutere non mancavano mai quelli detti erratici, od appostati, e pi tardi furono raccolti nelle "Ricreazioni matematiche", n quelle uscite, quei motti di spirito, quei solazzevoli indovinelli che gli antichi usavano "come bona lima allo intelletto dei giovani, perch lo fanno desto e pronto a tutte cose".
.
Il GHALIGAI, a carte 65 della sua Arithmetica, a proposito di una di tali questioni, dice: "Questa scrive Benedetto e Giovanni del Sodo (due famosi maestri d'abbaco), dicendo essere appostata, e che non c' regola ferma; ma mettono queste ragioni per le sere di verno, quando si sta al fuoco, e mancano e' ragionamenti, acciocch si habbi a ragionare di qualche cosa".
Frate LUCA PACIOLI, in quella sua opera "De viribus quantitatis", che possediamo manoscritta nella nostra biblioteca universitaria, registra ben 222 di quelle solazzevoli questioni, e per ognuna insegna le risposte.
NICOL TARTAGLIA, nel suo libro di "Quesiti et inventioni diverse", di cui a suo tempo dovremo parlare, espone sotto vivacissima forma dialogica i quesiti che nelle varie scienze gli furono proposti, le soluzioni date, le discussioni sostenute,... con gustosi particolari che interessano ad un tempo lo storico e lo scienziato. Tutto il popolo, grosso e minuto, si affaccia alla ribalta. Non solo i maestri pi riputati del tempo, ma il DUCA DI URBINO, il PRIORE DI BARLETTA, MARCANTONIO MOROSINI,... e poi, cavalieri di Rodi, lettori di greco, architettori, inzegneri, pittori, frati berettini, bombardieri, schiopettari, gentiluomini, cavallari,... gente insomma di ogni ceto e di ogni risma.
.
5. - Non di rado avveniva che la soluzione di qualche problema genialmente concepito, eccitasse la costruzione di una generale teoria cui quel problema si riferiva, come caso particolarissimo.
Ricorder il problema di "Trovare un numero quadrato cui aggiunto 5 o sottratto 5, sempre ne venga numero quadrato"; proposto da MASTRO GIOVANNI PANORMITA, astrologo di FEDERIGO II, a LEONARDO PISANO, nella disputa sostenuta alla corte di FEDERIGO, che dava occasione a LEONARDO per la costruzione di una intera teoria sulle equazioni indeterminate del secondo grado, che LEONARDO esponeva nel suo "Liber quadratorum", opera che, per la originalit e la potenza dei metodi, e l'importanza dei risultati, faceva di LEONARDO il pi gran genio, nella teoria dei numeri, apparso fra i tempi di DIOFANTO (3 secolo) e quelli di FERMAT (sec. 17esimo)(13).
Ma di ben altra importanza fu la soluzione di problemi del 3 e del 4 grado, proposti a disputa nel secolo 16esimo, perch la soluzione algebrica di tali quesiti, la estensione a tutti i casi che potevano dare origine ad equazioni cubiche o biquadratiche e le discussioni cui parteciparono i pi forti ingegni dell'epoca, sulla possibilit e la univocit delle risoluzioni,.... tutto ci, promosse, non solo la fondazione di una generale teoria delle equazioni algebriche, ma l'inizio di una nuova fase di sviluppo nella storia del pensiero matematico.
.
La prima soluzione, da quattro millenni inutilmente aspettata, di una equazione cubica generale, fu data da SCIPIONE DAL FERRO intorno al 1525.
Dir pi innanzi per quale strada essa fu trovata, e come di poi, venne alle mani di un grande scienziato, lettore del nostro Studio, che era ad un tempo matematico e filosofo: GEROLAMO CARDANO, e come da quella prima scoperta, fu poi generata una intera teoria delle equazioni algebriche, che, per opera della scuola bolognese, nel volgere di pochi decenni, toccava gli estremi limiti che in tale campo era possibile di raggiungere.
Per ora mi baster dare qualche cenno della vita e delle opere del maggiore fra i maestri d'abbaco di quell'epoca; frate LUCA PACIOLI.
...
.
...
Paragrafo 5.
...
.
...
Luca Pacioli.
...
.
...
1. - LUCA PACIOLI (Luca de Burgo, Frate Luca...) (Borgo San Sepolcro 1445?-Roma 1514?). Lettore "ad Mathematicam" nel nostro Studio per l'anno 1501-02.
Della sua vita poco pi si conosce di quel che egli stesso lasci scritto nella sua opera magna: "Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et proportionalit" (Venezia, 1494, Tusculano, 1523)(14).
Quell'opera ha avuto una enorme diffusione, ed ha servito di base ai lavori di tutti i matematici del secolo 16esimo.  una specie di Enciclopedia della matematica pura ed applicata che allora si insegnava in Italia. Interessantissima  la raccolta di problemi spesso curiosi, sottili, atti ad eccitare la ricerca scientifica, che egli d per ogni argomento, a diecine,... a centinaia..., senza preoccuparsi della preparazione culturale dei lettori cui il libro (o le lezioni, perch il libro riproduce lezioni effettivamente dettate)  dedicato, n della sistemazione logica della materia. Suppone fin dalle prime pagine, di rivolgersi a persona gi iniziata negli elementi della matematica, e si preoccupa di approfondire i principii, e di illustrare i precetti con applicazioni a problemi atti ad addestrare nel maneggio dei metodi, nella pratica delle operazioni, ma sopratutto, a svegliare ed acuire nella mente la facolt di invenzione e l'agilit del raziocinio.
Di tale Opera a ragione  stato scritto(15), che, non "solo era quella appunto che i bisogni culturali del tempo richiedevano; ma che fu anche quella che a tali bisogni pienamente seppe soddisfare".
.
2. - Si compone di due parti principali: la prima dedicata all'aritmetica ed all'algebra, la seconda alla geometria. Ogni parte  divisa in Distinzioni, ogni Distinzione, in Trattati, ogni Trattato in Capitoli.
La parte prima comprende nove Distinzioni.
Le prime 5 Distinzioni insegnano l'algorismo, cio la pratica delle operazioni di calcolo, nella numerazione decimale posizionale, secondo i vari modi seguiti dai maestri d'abbaco nelle diverse regioni d'Italia.
La sesta tratta ampiamente dei rapporti e delle proporzioni. Introduce una serie di "Proporzioni mirabili" e di "Regole notabili", quali lemmi utili allo scioglimento di questioni riguardanti grandezze proporzionali, e proporzioni continue. Notevole, fra le Regole notabili, quella che egli trae dalla risoluzione del problema di trovare quattro quantit continuamente proporzionali: u:x:y:z, data la somma della prima e quarta u + z = m, e della seconda e terza x + y = n.
Procedendo "per algebra" al modo solito, si cade in equazioni del quarto grado, o di grado superiore. Egli invece riduce immediatamente il problema al secondo grado colla sostituzione u = x2/y, z = y2/x, nella u + z = m; onde risulta x2/y + y2/x = m; ed, invece di x ponendo n - y, ottiene la relazione (n - y)2/y + y2/(n - y) = m, da cui immediatamente: y2 - ny = - n3/(m + 3n).
.
Della risoluzione di questo problema il PACIOLI si serve per ridurre al secondo grado anche l'altro (non facile) di trovare quattro numeri continuamente proporzionali data la loro somma e la somma dei loro quadrati.
La Distinzione settima tratta della Regola di Elkataym, cio della falsa posizione, semplice e doppia.
L'ottava, dell'Arte maggiore, ovvero della Regola d'Algebra, altrimenti detta Pratica speculativa.
Nei primi due Trattati di questa Distinzione, FRATE LUCA espone minuziosamente, e dimostra, anche geometricamente, le propriet delle operazioni di calcolo nel campo di razionalit costituito dai numeri razionali con segno.
Nel terzo estende il campo colla aggiunta delle irrazionalit quadratiche, interpretando con operazioni di calcolo aritmetico le costruzioni geometriche contenute nelle proposizioni del Libro 10 di EUCLIDE.
Ricordo, fra le pi semplici trasformazioni, quella della radice di un binomio primo  (nel quale, secondo la terminologia euclidea,  supposto che la differenza a2 - b sia numero quadrato), nella somma algebrica di due radicali semplici ; e quella che serve a rendere razionale il denominatore di una frazione, nel quale comparisca la somma di due, od anche di tre, radicali quadratici.
.
Nel Trattato quinto di questa Distinzione finalmente espone la teoria delle equazioni dei primi due gradi, ed anche, pi generalmente, di quelle che hanno la forma: x2m + pxm + q = 0 che egli dice "Proportionali" perch ad esse "proportionaliter infinite altre si possono formare", ed hanno esse stesse una certa intrinseca proporzionalit, perch di quanto il termine pxm si eleva di grado sopra il termine q, d'altrettanto il termine x2m si eleva sul termine pxm.
"Ma nei Capitoli de numero cose e cubo composti (x3+px+q = 0) over de numero cubo e censo (x3+px2+q=0) non s' possuto finora troppo bene formare regola generale, per la disproporzionalit fra loro.... e per ancora degli agguagliamenti loro non se p dar regola generale, se non che alle volte a tastone, in qualche caso particulare,... e per quando in li toi agguagliamenti te ritrovi termini de diversi intervalli, fra loro disproporzionati, dirai che l'arte ancora a tal caso non ha dato modo, s come ancora non  dato modo al quadrare del cerchio".
.
La Distinzione nona  interamente destinata alla pratica della mercatura, degli affari di campagna, dei banchi, dei cambi, dei viaggi, dei giuochi.
Non meno di 368 sono i problemi quivi accumulati sopra tali argomenti. Fra essi ve ne sono, che non avrebbero potuto aver soluzione generale col bagaglio culturale posseduto a quei tempi, poich si traducono in equazioni esponenziali.
Particolarmente interessanti sono i problemi contenuti nel Trattato decimo di questa Distinzione, poich in essi si tratta di questioni di probabilit e di speranza matematica, argomenti che qui per la prima volta si trovano trattati in libri matematici.
I 368 problemi sono seguiti da due Trattati sulla tenuta dei libri commerciali e sulla tariffa: ricchissimi emporii di cognizioni rapporto alle misure, pesi, monete, costumi mercantili di quei tempi.
.
Molti scrittori, anche moderni, attribuiscono a FRATE LUCA il merito di aver trovato la scrittura doppia commerciale; nessuno per ci pretende meno di lui. Egli infatti semplicemente dichiara (carte 198 verso) ".... servaremo el modo de Vinegia, quale certamente fra gli altri  molto da commendare, e, mediante quello, in ogni altro se possa guidare".
La partita doppia pare si sia formata tra le mani dei quadernieri dal 1300 al 1450; quando comparve la "Summa", gi aveva acquistato nella pratica comune, le forme che si rilevano per la prima volta nell'opera di LUCA PACIOLI. (Cfr. CERBONI, Elenco cronologico delle opere di Computisteria e Ragioneria, Roma, 1886, p. 14).
Per la parte che riguarda la "Tariffa" (Trattato 12esimo, Distinzione nona), si  fatto, al PACIOLI, accusa di plagio, per aver ivi riportato, senza far nome d'autore, il libro intitolato "Questo  il libro che tracta de mercatantie ed usanze de paesi", comunemente attribuito ad un GIORGIO CHIARINI, non altrimenti noto. Ma sta il fatto che quell'opera non appartiene al CHIARINI il quale espressamente dichiara di non esserne autore, ma copista del codice da lui trascritto a Ragusa nel 1454(16). Si tratta, d'altronde, di una raccolta di tariffe e ragguagli, anonima, che s'era venuta formando poco a poco ad uso dei commercianti, ed era alle mani di tutti, in svariate edizioni. Il PACIOLI non intendeva, nella sua Summa, di fare opera personale di invenzione, ma di raccogliere tutto ci che maggiormente poteva interessare i lettori.
.
3. - La Parte principale seconda, dedicata alla Geometria, , come lo stesso PACIOLI avverte nella prima pagina del suo libro, quasi per intero ricavata dal Libro di "Practica Geometriae" di LEONARDO PISANO(17).
Comprende otto Distinzioni.
L'ottava, quasi a riepilogo di tutta l'opera, contiene 150 problemi di svariata natura: alcuni prettamente geometrici, altri spettanti alla architettura, alla navigazione, all'ottica, alla astronomia, alla statica, tutti interessanti; meritano speciale menzione quelli sulla inscrizione in un dato triangolo di cerchi fra loro tangenti, che offrono qualche analogia col Problema di MALFATTI.
.
4. - Oltre alla "Summa", FRATE LUCA PACIOLI ha lasciato anche due opere a stampa, pubblicate nel 1509, ed una tuttora inedita, contenuta in esemplare, probabilmente unico, nel Cod. 250 della Biblioteca Universitaria di Bologna.
Le opere a stampa sono: "La Divina proportione", in cui la seconda Sezione  traduzione del Trattato: "De Quinque corporibus regularibus" di PIER DELLA FRANCESCA(18).
Singolare pregio dell'opera sono le 59 tavole, disegnate da LEONARDO DA VINCI, che era legato a FRATE LUCA da cordiale amicizia.
L'altra opera a stampa  l'edizione degli Elementi di Euclide, che il PACIOLI ha curato, arricchito di Commenti, e di figure nuovamente disegnate.
.
L'opera inedita, conservata manoscritta nella nostra Biblioteca Universitaria  intitolata: "De viribus quantitatis". Di essa ha dato esteso resoconto il prof. A. AGOSTINI nella memoria: "Il De Viribus quantitatis di Luca Pacioli" pubblicata nel "Periodico di Matematiche" di Bologna (1924).
Nonostante il suo titolo  tutta in volgare: consta di tre parti: 1) "Delle forze numerali", cio "de Arithmetica"; 2 "Della virt et forza lineale et geometria"; 3) "De documenti morali utilissimi". La prima parte costituisce la prima vasta collezione di giochi matematici e problemi dilettevoli; la seconda consta di 80 questioni geometriche, seguite da 54 giuochi di carattere fisico-meccanico; la terza non ha carattere scientifico, ma ha interesse non piccolo per la conoscenza degli usi e trattenimenti nelle Corti del Rinascimento, contenendo, dopo numerosi proverbi latini ed in volgare, 83 ricette varie e giuochi, e non meno di 222 indovinelli intitolati: "Problemata vulgari a solicitar ingegni et a solazzo".
5. - Non  da escludere che la presenza in Bologna di LUCA PACIOLI, ed il suo insegnamento nello Studio, dove insegnava a quel tempo la medesima materia, o materia affine, SCIPIONE DAL FERRO, abbia eccitato quest'ultimo a tentare lo scioglimento della equazione cubica, che quegli aveva dichiarato "non essersi possuto ancora eseguire con regola generale, s come ancora non  dato modo al quadrare del cerchio".
...
.
...
CAPITOLO SECONDO.
...
.
...
ANALISI ALGEBRICA.
...
.
...
PREMESSA.
...
.
...
Abbiamo chiuso il Primo Periodo con LUCA PACIOLI, perch l'opera di lui rispecchiava il passato e preludiava all'avvenire. Nei primi anni del secolo 16esimo egli fu lettore "ad Mathematicam" nel nostro Studio, dove leggevano Aritmetica ed Astronomia SCIPIONE DAL FERRO e DOMENICO MARIA NOVARA, ed era coadiutore all'Osservatorio astronomico NICOL COPERNICO da Thorn: "quattro uomini, diremo col CANTOR(19), la cui convivenza in una stessa citt ed in uno stesso studio, doveva far maturare gli eventi pi fortunati per le discipline matematiche".
L'evento cos preannunziato fu la scoperta della risoluzione algebrica della equazione cubica.
.
Fin dal IV millennio a. C. era nota la soluzione dei problemi che noi rappresentiamo con equazioni dei primi due gradi; ma nessuna teoria, nessun espediente, in cos lungo volger di secoli, si era manifestato idoneo alla risoluzione algebrica di questioni di grado superiore al secondo. Possiamo da ci immaginare il senso di ammirazione e di stupore, e la fiduciosa baldanza, con cui il pensiero moderno, che per la prima volta si era affermato vittorioso su la civilt classica, si apprestava a nuove battaglie. "....Qui haec attigerit (scriveva il CARDANO nella prima pagina della sua Ars Magna), nihil non intelligere posse se credat".
.
E lo ZEUTHEN, grande matematico e grande storico della scienza, osservava: "Pour gagner la confiance en ses propres forces, confiance si ncessaire pour les rendre bien disponibles, il fallait l'encouragement de se voir capable de trouver quelque chose, qui ft inconnue aux matres vnrs. Voil ce qui explique comment la dcouverte de la rsolution des quations du troisime degr dans la premire moiti du 16esimo sicle, donna le signal d'un dveloppement rapide de toutes les branches des mathmatiques pures et appliques"(20). Sar nostro compito il seguire nei suoi primi inizii tale sviluppo, per quel che riguarda la teoria algebrica, che nel volgere di pochi lustri, ad opera di autori bolognesi, o lettori del nostro Studio, raggiunse il pi alto culmine che ad essa era dato di poter conseguire.
Premetteremo alcune notizie sullo sviluppo ufficiale dell'insegnamento matematico, quale risulta dall'esame dei Rotuli del nostro Studio.
.
Nel secolo 16esimo le antiche letture di Aritmetica e di Astronomia, poco a poco decaddero, poi scomparirono dai Rotuli, per dar luogo ad una sola lettura, col titolo "ad Mathematicam" che, da un punto di vista pi elevato le compendiava tutte, lasciando pi libero campo allo sviluppo delle nuove idee.
Continuarono, tuttavia, fino a spontaneo esaurimento, le letture di Aritmetica gi iniziate di ANTONIO DELLA CROCE (1484-85-1526-27)(21), di PIRRO DEGLI ALBIROLI (1491-92-1547), di ANNIBALE DELLA NAVE (1525-59). Si ebbero poi le lunghe condotte di TOMMASO PASI (1552-88), SCIPIONE DATARIO (1555-1605), ALFONSO NELLI (1580-1628), LUCA NANNI (1588-1611). E quelle pi brevi di G. B. SABBADINI (1546-52), O. FONDULI (1559-67), PETRONIO BONASONI (1563-92), PAOLO BONASONI (1588-93), A. M. BONASONI (1593-1631).
.
Ma gi dal 1584, la lettura di Aritmetica  nei Rotuli segnata fra quelle universitarie; e, dopo la morte di A. M. BONASONI, per lungo tempo rimane vacante.
L'antica lettura ordinaria di Astronomia, fu la prima ad uscire dai Rotuli (seguit poi per qualche anno ad essere conservata, fra le universitarie).
Gli ultimi lettori chiamati a quella cattedra, furono: LUDOVICO VITALI (dal 1504 al 1554), LATTANZIO BENACCI (1537-72), FRANCESCO RUSTICELLI (1549-52), NICOL SIMO (1549-64).
La cattedra rimasta vacante per la morte di L. VITALI, fu coperta colla lettura, di nuovo istituita, "ad Praxis Mathematicae", detta poi semplicemente: "ad Mathematicam", data all'algebrista POMPEO BOLOGNETTI, discepolo di SCIPIONE DAL FERRO, che nel 1570 ebbe per successore FRANCESCO BURDINO (1570-79).
La cattedra che fu di N. SIMO, pass, dopo la morte di lui, col titolo: "ad Mathematicam et dependentes" al celebre LUDOVICO FERRARI, solutore della equazione biquadratica, che la tenne pel solo anno 1564-65, ultimo di sua vita.
.
Dopo la morte di L. BENACCI, che fu l'ultimo ordinario di Astronomia, la cattedra da lui occupata rimase vacante fino al 1576-77, ed in quest'anno fu conferita ad EGNAZIO DANTI, che, fino al 1579, ebbe al fianco il BURDINO, nella lettura ad Mathematicam, e da quell'anno in poi, rimase solo (ma invero assai degno) rappresentante della matematica bolognese, fino al 1583, nel qual anno fu chiamato ad assumere il vescovato in Alatri. Ebbe per successore PIETRO ANTONIO CATALDI, celebre "scuopritore delle frazioni continue", che colla sua opera ed il suo insegnamento, segnava il ponte di passaggio dalla Analisi finita alla infinitesimale.
E non  da tacere, che, insieme con lui, per lunghi anni insegn matematica, nelle sue applicazioni alla Astronomia, GIAN ANTONIO MAGINI.
Se poniamo mente al fatto che in quello stesso periodo leggeva nel nostro Studio GEROLAMO CARDANO, e che quivi sviluppava la sua attivit scientifica RAFFAELE BOMBELLI, troveremo nella nostra citt, raccolti intorno al nostro Studio, i pi bei nomi che potesse allora vantare la scienza matematica.
...
.
...
Paragrafo 1.
...
.
...
La risoluzione algebrica delle equazioni cubiche.
...
.
...
1. - PRODROMI DELLA REGOLA D'ALGEBRA.
.
Nelle sue origini storiche l'"Algebra", o come dicevano gli antichi, "La Regola d'Algebra",  una delle tante che la pratica del calcolo aveva insegnato per rendere facile e spedita la risoluzione dei problemi aritmetici. Fu detta "Regina di tutte le regole in assolvere casi d'abbaco"(22) perch essa pu vantaggiosamente sostituire ogni altra, e serve nei casi in cui nessun'altra  valevole.
Venne fra noi negli albori del nostro rinascimento, come portato della civilt orientale, e fu dapprima pratica utile ai commercianti ed agli artieri, poi pura scienza speculativa. Le sue origini furono per lungo tempo attribuite a scienziati arabi od indiani, ma poi essa fu rinvenuta, in forma gi adulta, nell'opera di DIOFANTO ALESSANDRINO (III secolo dell'ra volgare), e ci richiamava l'attenzione degli storici a quelle fonti classiche, che anche la scienza orientale deve riconoscere. Un nuovo elemento di giudizio rec lo scoprimento, nelle opere classiche della geometria greca, di problemi che sono diretta interpretazione geometrica di quelli che in algebra sono rappresentati dalle equazioni dei primi due gradi. Mentre dunque si confermavano le fonti classiche della Regola d'Algebra, se ne respingevano le origini al periodo ellenico.
Un ulteriore sbalzo ci porta ora ai tempi preistorici dell'antico popolo sumerico nel quarto millennio prima dell'ra volgare.
.
Quegli antichi savi, avevano riconosciuto l'esistenza di una vasta categoria di problemi aritmetici, che potevano essere risoluti con uno stesso procedimento di calcolo: quello stesso che noi ricaviamo dalla risoluzione delle equazioni algebriche del secondo grado, e che essi deducevano dalla soluzione del problema geometrico di "trovare i lati di un rettangolo di area data, essendo nota la somma o la differenza dei lati medesimi"(23).
L'aver saputo risolvere con formula generale questo problema, e trovare quei sagaci accorgimenti che si riscontrano nella riduzione a forma canonica dei problemi sumerici,  indizio certo di un alto grado di civilt, che fa supporre un lunghissimo periodo anteriore di iniziazione, e fa pensare ad un successivo ulteriore sviluppo. Ma questo non avvenne; si ebbe invece un periodo di stasi, anzi di decadenza, che si protrasse fino al V sec. a.C.(24), e fu interrotto solo dal miracolo greco (e potrebbe anche dirsi italico)(25), che segn l'avvento di una nuova fase ascendente nella storia della matematica.
.
Le antiche formule sumeriche riconobbero dalla scienza greca una base rigorosamente razionale; ma, ricoperte da pesante veste geometrica, perdettero molta della loro attivit creatrice: furono interamente sommerse nella tenebra medioevale, risorsero poi a nuova vita ed assursero ai pi alti fastigi nel rinascimento italiano.
Le equazioni ed i problemi dei primi due gradi si trovano sotto forma puramente analitica nell'"Aritmetica di Diofanto" e nel "Compendio del calcolo degli Hindi", che lo scienziato persiano .
MUHAMMED BEN MUSA, EL KUAREZMITA, scriveva intorno all'800, ad istanza del CALIFFO AL-MAMOUN, e che, sullo scorcio del secolo 12esimo, veniva trasportato in Occidente, col titolo: "Liber Mahumeti filij Moysi, alchoarismi de algebra et almuchabala...".
L'opera del KUAREZMITA, per molto tempo riguardata come la prima origine dell'Algebra moderna, apparisce come un compendio di trattati pi elevati, quale  appunto l'Aritmetica di Diofanto(26), non differisce dall'Algebra geometrica dei greci se non per la formulazione degli enunciati, ove all'immagine geometrica dell'elemento incognito,  sostituita una forma vaga ed imprecisa "la cosa", pel felice raggruppamento delle proposizioni e per la forma suggestiva del dettato.
La fortuna di tale Compendio venne dal fatto che, insieme ad esso, veniva introdotto nella scienza dei numeri, una completa riforma, colla introduzione della numerazione decimale, posizionale, che fu detta indiana, od arabica. Tutte le operazioni aritmetiche acquistarono in brevit, agilit, scioltezza, precisione: le trasformazioni di radicali quadratici indicate dalle prop. del Lib. X di EUCLIDE, furono tradotte in formule algebriche di immediata applicazione, e si riaccese la brama, di estendere la regola d'algebra a classi di pi vasta portata, che gi si era manifestata nel periodo di scienza classica.
.
2. - SCIPIONE DAL FERRO.
.
Sono giunte, invero, fino a noi formule risolutive per equazioni del terzo e del quarto grado, di evidente origine araba, ma sono tutte, o particolari equazioni della forma (ax + b)m=c, e date per generali, od ingenuamente errate e prive di ogni fondamento logico e di ogni utilit pratica. Stanno solo ad indicare una aspirazione sempre viva, e sempre insoddisfatta.
L'esame di quei tentativi ci insegna peraltro che, all'uscire del medioevo, si aveva esatta cognizione della natura del problema: si conosceva, come noi ora diremmo, la forma generale delle equazioni del terzo e del quarto grado, e in particolare si consideravano equazioni cubiche dei tre tipi fondamentali:
Cubo e cose eguali a numerox3+ px = q,
cubo eguale a cose e numerox3 = px + q,
cubo e numero eguali a cosex3+ q = px.
In quelle formule si riconoscevano problemi antichi che, n l'arte dei greci, n le industrie degli orientali avevano saputo risolvere: d'onde il giudizio di impossibilit dato per irrevocabile.
Ma nell'inizio del secolo 16esimo, quell'insolubile problema trovava una inaspettata soluzione ad opera di un Maestro dello Studio bolognese: SCIPIONE DAL FERRO.
SCIPIONE DAL FERRO nacque in Bologna il 6 Febbraio 1465; il padre di lui, FLORIANO, esercitava la professione di cartolaro ed abitava nella casa al n. 600 in Via Cartoleria Nuova (ora Via Guerrazzi n. 26).
.
Della sua giovinezza non abbiamo notizie: egli si laure in Arti nell'anno 1496, e nello stesso anno ebbe la lettura di "Aritmetica e Geometria", dove gi si trovavano inscritti ANTONIO .
LEONARDO DELLA CROCE, PIRRO DEGLI ALBIROLI, BENEDETTO PANZARASI; insieme con lui era eletto alla medesima cattedra anche GEROLAMO MACCHIAVELLI.
Dai "Libri Partitorum" del nostro Studio si ricava che il nome di SCIPIONE DAL FERRO scompare dai Rotuli del 1526, perch in quell'anno egli si era trasferito a Venezia; ma che il 29 Ottobre di quello stesso anno, fu nuovamente inscritto (sempre alla lettura di Aritmetica e Geometria) poich era ritornato a Bologna ed aveva dichiarato che quivi avrebbe nuovamente fissato la sua residenza. Una successiva notazione in data 16 Novembre 1526, riferisce la sua morte, come avvenuta da pochi giorni.
In mancanza di altre pi dettagliate informazioni, si pu dunque assegnare la morte di SCIPIONE DAL FERRO in uno dei primi 15 giorni del novembre 1526.
Il DAL FERRO  sopratutto noto per la scoperta della risoluzione algebrica delle equazioni cubiche.
.
Non ci rimane di lui nessun scritto su cui tale scoperta sia registrata; essa gli  tuttavia riconosciuta dagli storici, come comprovata da fatti che  opportuno ricordare.
"Scipio Ferreus bononiensis (scriveva CARDANO nella prima pagina della sua Ars Magna) capitulum cubi et rerum numero aequalium invenit, rem sane pulchram et admirabilem, cum omnem humanam subtilitatem, omnis ingenij mortalis claritatem ars haec superet, donum profecto celeste, experimentum autem virtutis animorum, atque adeo illustre, ut qui attigerit, nihil non attingere posse se credat".
.
Nella stessa opera (pubblicata a Norimberga nel 1545) al Cap. 11esimo troviamo anche un passo che ci ragguaglia sull'epoca della scoperta e su le successive sue vicende:
"De cubo rebus aequalibus numero. - Scipio Ferreus Bononiensis iam annis ab hinc triginta ferme capitulum hoc invenit; tradidit vero Anthonio Mariae Florido Veneto, qui cum in certamen cum Nicolao Tartalea Brixellense aliquando venisset, occasionem dedit, ut Nicolaus invenerit et ipse, qui cum nobis rogantibus tradidisset, suppressa demonstratione, freti hoc auxilio, demonstrationem quesivimus, eamque in modos, quod difficillium fuit, redactam sic subijciemus". [torna a pag. 82]
Di qui intanto risulta che la risoluzione algebrica della equazione cubica avvenne intorno all'anno 1515.
Nel secondo "Cartello di matematica disfida"(27) LUDOVICO FERRARIUS NICOLAO TARTALEAE (Mediolani, Cal. Aprilis M. D. 48) a p. 3 si legge:
"Si Cardano non concedes, ut tua, num saltem permittes, ut aliorum inventa nos doceat? Anno ab hinc quinto cum Cardanus Florentiam profisceretur, egoque ei comes essem, Bononiae Annibalem de Nave virum ingeniosum, et humanum visimus, qui nobis ostendit libellum manu Scipionis Ferrei soceri sui iam diu conscriptum, in quo istud inventum, eleganter et docte explicatum tradebatur. Quod non ascriberem, ne viderem more tuo ea, quae mecum facerent, configere, nisi Annibal ipse adhuc viveret, et posset in hac controversia testis adhiberi".
.
L'ANNIBALE DELLA NAVE, qui nominato, era fra quelli cui il FERRARI spediva in omaggio copia dei suoi cartelli, ed era in quel tempo lettore "Ad Arithmeticam" nello studio di Bologna. Il cartello di FERRARI era stato inoltre mandato, in omaggio, alle personalit pi in vista dello Studio, in particolare a LUDOVICO VITALI (astronomo), ad ACHILLE BOCCHI (umanista), che fin dai tempi di SCIPIONE DAL FERRO leggevano nel nostro Studio dove tuttora tenevano cattedra, ed anche a PIRRO DEGLI ALBIROLI, e GIOVANNI DE' CAMBI, che erano stati colleghi del DAL FERRO nella lettura di "Arithmetica". Non fu dunque possibile al TARTAGLIA il negare, o contrastare quella circostanza.
.
Ed infatti il TARTAGLIA rispondeva (loc. cit.):
"Da poi conseguentemente diceti, che me aprovareti tal cosa non esser mia inventione, attento che z cinque anni, essendo voi insieme con el Cardano a Bologna, un Annibale della Nave, homo ingegnoso et humano el qual vi mostr un libro de man d'un Scipione Ferreo suo socero, in el qual questa medesima inventione elegantemente et dottamente haveva notata".
"Questa particolarit non mi par licita a doverla desputare, ne manco negare,...".
Nella busta segnata n. 595 della Biblioteca Universitaria di Bologna si contiene un fascicoletto manoscritto di 32 carte, col titolo: "Regole principali dell'arte maggiore, detta Regola della Cosa, ovver d'Algibra", che si pu assegnare al periodo dal 1565 al 1582, e pare si riferisca alle lezioni date dal cav. POMPEO BOLOGNETTI SENIORE, che fu lettore "Ad Praxim Mathematicae" nel nostro Studio negli anni 1554-68.
A carte 50 verso, sotto il titolo: "Dil cavaliero Bolognetti, lui l'hebbe da Messer Sipion dal Ferro, vecchio bolognese", si trova una compendiosa, ma quanto mai chiara e precisa esposizione della regola data da SCIPIONE DAL FERRO (vedasi alla pag. seguente la riproduzione del testo originale) nei termini seguenti:
"Il Capitolo di cose e cubo eguale a numero. - Quando le cose e li cubi si eguagliano al numero (ax + bx3 = c) ridurai la equatione a 1 cubo (x3 + px = q) partendo per la quantit delli cubi (dividendo per il coefficiente di x3), poi cuba la terza parte delle cose (p3/27), poi quadra la met dil numero (q2/4) e questo suma con il detto cubato (q2/4 + p3/27), et la radice di deta summa pi la met del numero fa un binomio  et la radice cuba di tal binomio, men la radice cuba del suo residuo val la cosa".
.
Nonostante le ripetute prove, ora riportate, sulla autenticit della scoperta del DAL FERRO, rimaneva qualche dubbio per una singolare lacuna rilevata nel libro: "L'Algebra di Rafael Bombelli" pubblicato a Bologna nel 1572, del quale avremo da parlare nel seguito.
"Mi sta in mente da tempo (scriveva il GHERARDI)(28) che nissuno debba aver scorsa l'Algebra di Rafael Bombelli senza recarsi a grande meraviglia di non vedervi commemorato d'alcuna sorte Scipione dal Ferro. Come mai l'accurato e profondo trattatista solo qualche lustro dopo cotanto inventore concittadino di lui,... pot commettere una omissione di tanto momento?... Questi riflessi forse a taluno avranno insinuato di sospicare fittizio il grido che primieramente un concittadino, e tanto prossimo al detto scrittore, avesse conquistato all'Italia la gloria dell'inaspettato progresso dell'Algebra".
Ora sta il fatto che, se nel libro pubblicato dal BOMBELLI non si nomina il DAL FERRO, nel manoscritto dello stesso libro, che si  rinvenuto, completo in ogni sua parte (nel libro a stampa non fu compresa la seconda parte relativa alle applicazioni dell'algebra alla geometria), che esiste nella Biblioteca Comunale dell'Archiginnasio in Bologna, il DAL FERRO  citato almeno in cinque punti diversi.
.
E non solo vengono attribuiti al DAL FERRO i Capitoli su le equazioni cubiche, e vien chiamata Regola di Scipione dal Ferro (non tartagliana, n cardanica), quella che ne insegna lo scioglimento, ma si d notizia di altre notevoli scoperte del DAL FERRO.
A carte 28 infatti, prima di esporre la regola che insegna a rendere razionale il denominatore di una frazione, nel quale figuri la somma di tre radicali cubici, dice:
"Il modo di partire per un trinomio cubo, fu ritrovato da Scipione dal Ferro bolognese, che fu huomo rarissimo in quest'arte".
Quando si consideri che il problema in questione richiede laboriosi sviluppi di calcolo, il sicuro possesso di un appropriato algoritmo, e di un insieme di cognizioni sussidiarie interamente sconosciute agli antichi, si intender la importanza storica di tale scoperta, la quale ci fa conoscere quale progresso avesse fatto il calcolo algebrico in Bologna, gi fin dall'inizio del 16esimo secolo.
Ricorder infine che il DAL FERRO  nominato nel suo V Cartello dal FERRARI, come geniale geometra.
"....nei vostri primi diecisette quesiti (dice il FERRARI) si contiene quella bella inventione di operare senza mutare l'apertura del compasso, la quale io non so da chi si avesse principio, ma so io bene che da circa a cinquant'anni in qua, molti begli ingegni si sono affaticati per accrescerla, fra i quali in gran parte  stato la felice memoria di Scipione dal Ferro, cittadino bolognese".
Da tutto quanto abbiamo ricordato si scorge come SCIPIONE DAL FERRO avesse veramente forza di ingegno, maturit di cognizioni, vivacit di immaginazione pari all'ardimento che egli dimostr affrontando un problema fino allora tenuto per impossibile.
Ma forse egli non ebbe idea esatta della importanza, nella storia del pensiero scientifico, della scoperta fatta; e "la risoluzione della equazione cubica", riguardata solo come la pi potente arma di offesa e di difesa nei certami accademici, fu tenuta segreta, e rimase per trenta e pi anni sepolta ed improduttiva, fino a che non venne alle mani di uomini di pi larga veduta, i quali, da quel primo necessario inizio, seppero derivare un'intera teoria, che fu il fondamento della matematica moderna.
.
3. - NECESSARI COMPLEMENTI ALLE FORMULE DEL DAL FERRO.
.
Le formule del DAL FERRO suppongono che l'equazione cubica da risolvere sia data nella forma, che fu detta ridotta, priva cio del termine del secondo grado.
A renderla abile anche per equazioni generiche, contenenti il termine del secondo grado, occorreva trovare una opportuna trasformazione di ogni equazione del terzo grado completa ax3 + bx2 + cx + d = 0 in un'altra a1y3 + b1y + c1 = 0, priva del termine quadratico, fatta mediante una relazione razionale della forma x = f(y), dalla quale si potessero ricavare i valori delle radici x della prima, in funzione delle radici y della ridotta.
Inoltre le formule risolutive per equazioni ridotte della forma: x3 + q = px, x3 = px + q (p, q, numeri positivi), nelle quali il termine di primo grado comparisce al secondo membro, contengono un radicale quadratico della forma: che non pu rappresentare nessun numero reale tutte le volte che sia q2/4 < p3/27. In questo caso, che fu detto irreducibile, le formule del DAL FERRO, perdono ogni significato e non possono essere senz'altro adoperate.
L'opera del DAL FERRO richiedeva dunque necessari complementi. Anche questi, come vedremo, le furono recati ad opera della scuola matematica bolognese.
.
4. - CONTRIBUTI DEL TARTAGLIA ALLA RISOLUZIONE DI EQUAZIONI CUBICHE(29).
.
La risoluzione algebrica di equazioni cubiche, fatta da SCIPIONE DAL FERRO per le equazioni trinomie dei tipi: x3 + px = q, x3 = px + q, x3 + q = px, fu tenuta segreta in una stretta cerchia di famigliari e di colleghi. Ma poich di essa si servirono gli iniziati per proporre quesiti relativi a tali equazioni, qualche sentore della fatta scoperta usc dalla scuola di Bologna, e si conobbe infondato il preconcetto di irresolubilit fino allora prevalso.
.
Sappiamo, dai "Quesiti del Tartaglia", di certo ANTON MARIA FIORE, uomo di buona pratica, ma di scarsa teoria, che, per sua stessa ammissione, aveva avuto da "un grande matematico" comunicazione della segreta formula, relativa al caso x3 + px = q, e se ne serviva nelle pubbliche dispute(30).
Sappiamo di altri che, pur non possedendo la formula, andava proponendo quesiti, che egli stesso non avrebbe saputo risolvere(31).
Scrivendo questi dialoghi nel 1546, il TARTAGLIA vuol far credere che, gi nel 1530, egli avesse avuto regola generale alla prima di quelle equazioni.
Ma la sua risoluzione consisteva nella osservazione che, proposta una equazione indeterminata della forma x3 + px2 = y (ove p si suppone razionale, e si chiede che anche il valore di y sia razionale e quello di x invece irrazionale), si pu a priori fissare che tale equazione abbia per radice un numero irrazionale della formadove b  un numero razionale scelto a piacere, purch si faccia a = 2pb - 3b2, e, nella equazione, y = (a + b2)p - 3ab - b3.
(La verifica  immediata).
.
Con ci il TARTAGLIA ha dato elegante soluzione di una interessante questione di analisi indeterminata; ma non  chi non veda quanto il procedimento escogitato sia lontano da quello che pu servire alla risoluzione algebrica delle equazioni cubiche. Esso infatti non insegna a risolvere una data equazione; ma solo a costruire equazioni che ammettano una soluzione irrazionale, prefissata, nota solo al proponente, senza che l'avversario (n lo stesso proponente) abbia regola opportuna allo scioglimento razionale del quesito proposto.
Sta bene il fatto che, prima della pubblicazione della Ars Magna del CARDANO(32), il TARTAGLIA non conosceva le trasformazioni che servono a far scomparire il termine del secondo grado da una equazione cubica, e che, per ci che riguarda la risoluzione algebrica delle equazioni cubiche, egli non era andato oltre le formule trovate da SCIPIONE DAL FERRO.
.
5. - LA RISOLVENTE QUADRATICA DELLA EQUAZIONE CUBICA.
.
Nei famosi Capitoli in versi, che TARTAGLIA consegnava al CARDANO, e che oramai tutti sanno a memoria:
Quando chel cubo con le cose appresso
Se agguaglia a qualche numero discreto
Trovan dui altri differenti in esso.
Dapoi terrai questo per consueto
Che'l lor produtto sempre sia eguale
Al terzo cubo delle cose neto,
El residuo poi suo generale
Delli loro lati cubi ben sottratti
Varr la tua cosa principale,...
il TARTAGLIA ha saputo intravvedere nel binomioche comparisce nelle formule del DAL FERRO, che la risoluzione della equazione cubica x3 + px = q, si fa dipendere da quella della equazione di secondo grado: X2 - qX = p3/27. C' dunque qui la scoperta della risolvente quadratica della equazione cubica; cio uno dei fondamentali principi della teoria delle equazioni algebriche. Tutti, dopo di ci, hanno lavorato su quel fondamento! E questo  un vero contributo dato dal TARTAGLIA alla risoluzione algebrica delle equazioni.
.
6 - IN QUAL MODO CARDANO VENNE IN POSSESSO DELLA FORMULA DI SCIPIONE DAL FERRO(33).
.
Nel tempo in cui CARDANO stava pubblicando il suo libro di "Practica Arithmeticae et mensurandi singularis", egli ebbe notizia della risoluzione della equazione cubica, manifestatasi nel corso delle dispute fra il TARTAGLIA ed il Maestro ANTONIO MARIA FIORE. Desideroso di includere nella sua opera anche quel nuovo Capitolo, fece richiedere al TARTAGLIA, per mezzo di un Zuanantonio libraro, la comunicazione della regola da lui seguita per la risoluzione, od almeno, le soluzioni numeriche dei problemi a lui proposti, od, infine, non potendo aver altro, chiedeva che gli fossero sciolti sette quesiti che a lui erano stati proposti.
.
Il TARTAGLIA (Quesito 31, del 2 Gennaro 1539) rispose negativamente alle due prime domande; quanto alla terza,  da notare che di quei sette quesiti, uno al pi poteva essere sciolto colle formule di SCIPIONE DAL FERRO, gli altri, o davano luogo ad equazioni cubiche contenenti il termine quadratico (che TARTAGLIA non sapeva risolvere con regola generale), o trattavano del caso irreducibile. Dunque il TARTAGLIA aveva cento buone ragioni per non dar soluzione di essi.
Disse solo che conosceva tali quesiti perch essi provenivano da ZUAN DA COI, il quale ne aveva proposto di simili anche a lui, "gi fa dui anni", e che fin d'allora egli aveva fatto confessare al proponente, che nemmeno lui li avrebbe potuto risolvere. E ci bastava al CARDANO, per far tacere il DA COI, che lo aveva provocato.
.
Nel Quesito 33 TARTAGLIA riporta una lettera di CARDANO in cui questi gli avrebbe scritto:
"Se mi mandasti qualche solutione delle vostre, cio regole, over mi dareti, venendo l'haver sommo appiacere perch doveti sapere, ch'io me diletto de ogni gentilezza, & ch'io ho dato fuora una opera pur di Pratica di Geometria, & di Arithmetica, & di Algebra, della quale fin a quest'ora  stampata pi della met, & se voleti, dandomene ch'io la daga fuora sotto vostro nome, io le dar fuora in fin dell'opera, come ho fatto de tutti gli altri me hanno dato qualche cose di bello, & vi poner voi per l'inventore, & se voleti ch'io le tenghi occulte, far come vorreti".
.
"Io avvisai la eccellentia del S. Marchese degli istromenti quali gli mandati (anchorche non siano per fino hora gionti) et gli dissi del cartello, et sua eccellentia mi comand lo leggesse, et tutte queste vostre cose, piacque grandemente a sua eccellentia. Et mi comand di subito vi scrivesse la presente con grande istantia a nome suo, avisandovi che vista la presente dovesti venir a Milano senza fallo, che vorria parlar con voi. Et cos ve essorto a dover venire subito, et non pensarvi su, perch detto S. Marchese  si gentil remuneratore delli virtuosi, si liberale, et si magnanimo che niuna persona chi serve sua eccellentia, mentre sia da qualche cosa, resta discontenta. Si che non restate de venire, et venireti  logiare in casa mia, non altro. Christo da mal vi guardi. Alli 13 de Marzo 1539. Hieronimo Cardano medico"(34).
.
Nel "Quesito 34 - fatto personalmente dalla eccellentia del medesimo messer Hieronimo Cardano in Millano in casa sua add 25 Marzo 1539" - il TARTAGLIA racconta che recatosi a Milano, dietro l'invito ricevuto, non trov il MARCHESE DEL VASTO, che si era recato a Vigevano; e che, aspettando il suo ritorno, dietro formale promessa (anzi giuramento - ad Sacra Dei Evangelia -) di non pubblicare giammai le inventioni a lui comunicate, si era lasciato persuadere dal CARDANO a consegnarli il seguente Capitolo in rima:
.
Quando chel cubo con le cose appresso
Se agguaglia a qualche numero discreto
Trovan dui altri differenti in esso.
Dapoi terrai questo per consueto
Che 'l lor produtto sempre sia eguale
Al terzo cubo delle cose neto,
El residuo poi suo generale
Delli lor lati cubi ben sottratti
Varr la tua cosa principale.
In el secondo de codesti atti
Quando che 'l cubo restasse lui solo
Tu osserverai quest'altri contratti,
Del numero farai tal parte a volo
Che l'una in l'altra si produca schietto
El terzo cubo delle cose in stolo
Delle qual poi, per commun precetto
Torrai li lati cubi insieme gionti
E cotal somma sar il tuo concetto.
El terzo poi de questi nostri conti
Se solve col secondo se ben guardi
Che per natura son quasi congionti.
Questi trovai, e non con passi tardi
Nel mille cinquecente', quattro e trenta
Con fondamenti ben sald' e gagliardi
Nella citt dal mar intorno centa.
.
"Il qual capitolo parla tanto chiaro (soggiunge TARTAGLIA), che senz'altro esempio credo che vostra Eccellentia intender il tutto".
"M. H. (Messer Hieronimo) Come se lo intender, e l'ho quasi per inteso per fina al presente, andati pur, che, come sareti ritornato, ve far vedere se l'haver inteso".
"N. (Nicol) Hor vostra Eccellentia se aricordi a non mancar della promessa fede, perch se per mala sorte quella me mancasse, cio che me desse fuora questi capitoli, o sia in questa opera che fatti imprimere al presente, over in altra anchor che quella li desse fora fatto mio nome, & che mi facesse il proprio inventore, vi prometto, & giuro di farne stampare immediate drio un'altra, la qual non vi sar molto agrata".
"M. H. Non ne dubitati che quello che vi ho promesso ve lo attendar, andati e stati sicuro: tol, dareti questa mia lettera al Signor Marchese da mia parte".
"N. Hor su me arricomando".
"M. H. Andati in buon hora".
"N. Per la fede mia che non voglio andare altramente a Vigevene, anci me voglio voltare alla volta di Venetia, vada la cosa come si voglia".
Con quest'ultima battuta, pare che il TARTAGLIA voglia far credere che il CARDANO lo avesse fraudolentamente ingannato attirandolo a Milano colla falsa promessa della protezione del Marchese del Vasto per defraudarlo delle sue invenzioni, sulla risoluzione della equazione cubica.
Ma egli stesso, poi, in pi luoghi delle sue opere, si smentisce; racconta, in particolare, che il CARDANO condusse a Venezia il Marchese del Vasto e lo present a lui; tutti insieme si intrattennero a lungo, ed egli (il TARTAGLIA) ebbe modo di far sfoggio, in presenza del Marchese, della sua cultura e della sua penetrazione geometrica (v. per es. nella Risposta al quinto Cartello, p. 2, e nel "General Trattato di numeri e misure", parte 5. Lib. 1, Carte 18 v.).
.
Sappiamo ancora che, per intercessione del CARDANO, il TARTAGLIA fu introdotto presso l'ambasciatore cesareo DON DIEGO DI MENDOZA(35), e che a lui pot svolgere quelle sue ricerche meccaniche, che dovevano poi essere uno dei suoi maggiori titoli di gloria (ed anche di biasimo, per il plagio al Giordano).
Per intendere bene lo svolgimento di questa faccenda, bisogna che ci si rifaccia ai costumi del tempo.
Una segreta regola di operare, atta ad assicurare vittoria nelle disputazioni cui erano tenuti i maestri, era allora una merce che aveva valore sul mercato, e poteva vantaggiosamente essere ceduta, o scambiata. Lo stesso TARTAGLIA, nei suoi "Quesiti", racconta di casi in cui, dietro la comunicazione della formula risolutiva per regola generale di qualche importante, o fastidiosa questione, si offre la cessione di letture pubbliche o private.
.
Il CARDANO non carp, con fraudolenti manovre, la formula del TARTAGLIA per la risoluzione della equazione cubica ridotta; ne pattu la cessione, contro promessa del suo appoggio per la introduzione del TARTAGLIA in quegli ambienti universitarii ed umanistici, ai quali, per sua stessa dichiarazione, egli sempre era rimasto estraneo.
Se dunque ci fu contratto (e lo stesso TARTAGLIA lo fa intendere), il CARDANO non manc ai patti.
.
Quanto poi al promesso segreto sulle formule a lui comunicate, per ora ci limiteremo ad osservare che, almeno per quel che riguarda la pubblicazione dell'opera allora in corso, sulla pratica aritmetica, il segreto fu mantenuto, e l'opera usc sulla fine di quello stesso anno (1539) senza contenere alcun cenno della risoluzione della equazione cubica. E che per altri 6 anni, almeno, il segreto fu conservato, lasciando tempo al TARTAGLIA di pubblicare per primo le sue scoperte, se avesse voluto, e saputo, farlo. Frattanto, CARDANO, insieme col suo fedele "creato" LUDOVICO FERRARI, attese a completare la risoluzione della equazione cubica nei punti che erano rimasti oscuri, ed a costituire i fondamenti di una teoria generale delle equazioni algebriche: e solo dopo di essersi assicurato che prima ancora che dal TARTAGLIA l'equazione cubica era stata risoluta, con quelle medesime formule, da SCIPIONE DAL FERRO, pubblic nella "Ars Magna" la risoluzione del DAL FERRO, non senza proclamare apertamente che tale risoluzione era stata a lui comunicata dal TARTAGLIA (v., per es. il passo del Cap. 11esimo, riportato in questo capitolo a pag. 66).
...
.
...
Paragrafo 2.
...
.
...
Il caso irreducibile e la pubblicazione della Ars Magna.
...
.
...
1. - IL CASO IRREDUCIBILE.
.
Quando il CARDANO si prov di applicare le formule comunicategli dal TARTAGLIA a particolari esempi numerici, si avvenne nel caso irreducibile(36), in cui tali formule non sono valide. Egli allora ne chiese spiegazione al TARTAGLIA; nello stesso tempo in cui gli dava notizia dell'esito dei buoni uffici da lui fatti, presso l'ambasciatore cesareo DON DIEGO DE MENDOZA. Ma il TARTAGLIA non poteva insegnare ad altri ci che egli stesso ignorava e d'altra parte non voleva confessare la sua ignoranza: lasciamo che egli stesso racconti in qual modo credette di potersi cavare d'imbarazzo.
.
"Quesito 38, fatto con una lettera dalla eccellentia di messer Hieronimo Cardano, riceputa alli 4 Agosto 1539".
MESSER HIERONIMO,... "ma quando che il cubo della terza parte delle cose eccede il quadrato del numero, all'hora non posso farli seguir l'equatione, come appare, per avria appiacere me solvesti questa: 1 cubo egual a 9 cose pi 10. & di questo mi fareti sommo appiacere...".
"Ve avviso anchora qualmente indirizzai da voi il Signor DON DIEGO DE MENDOCIA ambasciatore della maest dell'imperatore, qual se diletta di queste scientie, qual penso non vi sar inutile, & gli dissi dell'altezza delle virt vostre, come meritati...".
.
"NICOL. Sto in fantasia di non dar risposta a questa, si come ho fatto anchora delle altre due, pur vi voglio rispondere, & farli intendere quello che ho inteso di lui. Et de poi che vedo che va sospettando sopra la retta via del capitolo di cose e numero egual a cubo, voglio tentare se gli potesse cambiare li dati che ha in mane, cio removerlo di tal via retta, & farlo entrare in qualche altra, a bench credo non vi sar meggio, nondimeno il tentar non nuoce...".(37).
Troncata cos ogni corrispondenza col TARTAGLIA, il CARDANO si rec a Bologna, insieme col suo creato L. FERRARI, e col cerc di ANNIBALE DELLA NAVE, genero e successore, nella cattedra, di SCIPIONE DAL FERRO, per avere da lui qualche lume sulla intricata faccenda.
Ecco la notizia che ne d lo stesso FERRARI nel 2 Cartello (p. 3):
"Anno ab hinc quinto (siamo nel 1547), cum Cardanus Florentiam proficisceretur, egoque, ei comes essem, Bononiae Annibalem de Nave virum ingeniosum et humanum visimus, qui nobis ostendit, libellum manu Scipionis Ferrei soceri sui iam diu conscriptum, in quo istud inventum, eleganter et docte explicatum tradebatur. Quod non ascriberem, ne viderem more tuo ea, quae mecum facerent, configere, nisi Annibal ipse adhuc viveret, et posset in hac controversia testis adhiberi".
.
Il CARDANO ebbe cos la prova che le regole confidategli dal TARTAGLIA erano state da altri ritrovate prima di lui; ma non trov, presso il DELLA NAVE, quella risposta ai suoi dubbi sul caso irreducibile, che nessuno a quei tempi avrebbe potuto dare. D'altra parte sarebbe stato necessario trovare qualche opportuno rimedio, perch, mentre per equazioni del secondo grado x2 + px + q = 0, il caso di eccezione, in cui la formulaperde ogni significato, corrisponde ad equazioni che non hanno radici reali, cio a problemi insolubili nel campo reale; per le equazioni cubiche, il caso irreducibile si presenta appunto quando tutte le radici sono reali e la impossibilit non  nella natura del problema, ma nel procedimento analitico di risoluzione.
.
Allo studio di quel problema il CARDANO ha dedicato molte delle pi interessanti pagine della sua "Ars Magna", e tutta intera la sua opera "De Regula Aliza".
.
2. - UN PRIMO ACCENNO AI NUMERI IMMAGINARI E LE TRASFORMAZIONI RAZIONALI DELLE EQUAZIONI ALGEBRICHE.
.
Cerc prima il Cardano di indagare la natura del simbolo numerico, che si presenta quando un radicale quadratico  sovrapposto ad un numero negativo. Vide che, se fosse proposto di "dividere un segmento di retta lungo 10 in due parti il cui rettangolo fosse 40, l'applicazione materiale della nota formula di risoluzione per le equazioni quadratiche porterebbe alle espressioni:. Se fosse lecito operare su questi simboli con le leggi ordinarie della aritmetica, si vedrebbe che effettivamente la loro somma sarebbe 10, ed il prodotto 40. Ma poich quelle quantit sono sofistiche e lontane dalla natura dei numeri, talch nessun segmento potrebbe da esse essere misurato, conclude col dire: "Hucusque progreditur subtilitas, cuius hoc extremum ut dixi, adeo est subtile, ut sit inutile".
Poich, d'altra parte, l'ostacolo che nel caso irreducibile si presenta, non  dipendente dalla natura del problema, ma dal mezzo seguito nella risoluzione, il CARDANO volle vedere in che quel mezzo era deficiente, e cercare qualche altro provvedimento applicabile anche nel caso irreducibile. Fu cos condotto alla sistematica ricerca dei principi su cui pu essere fondato un procedimento idoneo alla risoluzione delle equazioni algebriche. Trov alcune, fra le pi importanti, delle relazioni fondamentali che, in qualsiasi equazione algebrica, intercedono fra i coefficienti e le radici, e fece studio accurato delle trasformazioni che possono servire a ridurre una data equazione ad altre pi agevolmente risolubili, e delle classi di equazioni cui tali trasformazioni possono essere vantaggiosamente applicate. E, dopo aver coordinato in esposizione sistematica tutti i risultati pertinenti alla teoria generale delle equazioni, per tal modo ottenuti, fece diligente analisi di tutti i casi che si presentano nella risoluzione delle equazioni cubiche, ed espose anche i primi fondamenti della risoluzione delle equazioni biquadratiche, in un'opera cui attese, colla collaborazione di LUDOVICO FERRARI, per non meno di 6 anni, e che pubblic col titolo di: "Artis Magnae, sive de regulis algebraicis", nell'anno 1545.
.
Dalla pubblicazione di tale opera pu farsi incominciare la fase moderna, nella storia della matematica.
CARDANO studi principalmente quelle trasformazioni che anche oggi vengono dette: a radici contrarie, a radici reciproche, a radici aumentate.
Le trasformazioni a radici contrarie si eseguiscono mediante la formula: x = - y. Per effetto di questa trasformazione cambiano di segno i termini di grado dispari, e rimangono invariati quelli di grado pari. Ogni data equazione si trasforma in un'altra le radici della quale hanno lo stesso valore assoluto di quelle della proposta, ma segno contrario. Per tal modo le radici negative di una equazione si trovano tutte, col segno positivo, nella sua trasformata.
Ci aveva importanza al tempo di CARDANO, perch allora le radici negative erano dette false, o finte, e non erano prese in considerazione. Ma CARDANO non ebbe difficolt a considerarle tutte come effettive soluzioni della equazione proposta.
Egli ha in particolare osservato che, se una equazione contiene solo termini di grado pari (o costanti) e se essa ha radici positive, essa possiede altrettante radici negative, cogli stessi valori assoluti.
La trasformazione a radici reciproche si fa mediante la formula x = 1/y: per essa una equazione in x della forma: si trasforma in una equazione in y della forma.
Da qui si vede che, se nella proposta manca il termine lineare (cio se an-1 = 0), nella trasformata manca il termine di grado n - 1.
La trasformazione a radici reciproche vale dunque a dare forma ridotta alle equazioni algebriche prive del termine lineare.
Tale trasformazione  stata trovata dal FERRARI che usava la formula di trasformazione x = k/y per la quale l'equazione x3 + ax2 + b = 0 si trasforma nell'altra: k3/y3 + ak2/y2 + b = 0; cio: y3 + ak2/b  y + k3/b = 0. Il FERRARI, ponee ne risulta l'equazione ridottache conserva il coefficiente a. ("Demonstratio alia similis nostrae generali, capituli septimi inventa a Ludovico de Ferraris").
.
Anche pel caso generale, della equazione completa x3 + ax2 + bx + c = 0 trov regola valevole a dar forma ridotta, mediante la trasformazione a radici aumentate: x = y - a/3, colla avvertenza che, se il termine quadratico ax2  al secondo membro (cio se a  numero negativo), la trasformazione ha la forma x = y + a/3. "Et haec demonstratio fuit inventa a Ludovico Ferrario, et ostendit clarius rationem supradictarum operationum".
Nel corso di queste ricerche, il CARDANO ha fatto una importante osservazione. Ha osservato cio che, l'equazione cubica pu avere tre radici, ed in questo caso il coefficiente del termine quadratico  eguale alla somma algebrica delle radici (p. 78).
"Ex hoc patet, quod numerus quadratorum, in his tribus exemplis, in quibus aestimatio rei triplicatur, semper componitur ex tribus aestimationibus iunctis simul,... Et patet etiam, quod omnes modi hi, ad additionem semper possunt referri, quamvis minus cum additur, vicem gerat, plus cum detrahitur, ostensum est enim quod tantum est minuere 4 ex 12, quantum addere 4 m: ad 12, utroque enim modo fiet 8."
Il CANTOR (loc. cit. p. 505) trova in queste conclusioni del CARDANO, un prodigioso avanzamento nelle teorie algebriche:
"Von grosser Wichtigkeit ist ein Ausspruch Cardanus, der sich in 18esimo Capitel findet,... Schon darin lag ein ungeheuer Fortschritt, da noch niemals Gleichungen mit mehr als zwei Wurzelwerthen bekannt geworden waren. Aber Cardano geht viel weiter. Er addirt die jedesmaligen Wurzelwerthe und bemerkt, dass in allen drei Fllen, die Summe der Wurzelwerthe den Coefficienten des quadratischen Gliedes bilde".
.
3. - I CARTELLI DI MATEMATICA DISFIDA.(38)
.
1. La pubblicazione della "Ars Magna" (1545) provocava da parte del TARTAGLIA la pubblicazione dei "Quesiti et inventioni diverse", ed a questa, secondo l'uso dei tempi, seguiva un Cartello di disfida a disputazione, da parte di LUDOVICO FERRARI, collaboratore del CARDANO nell'opera incriminata. A questa seguiva una risposta del TARTAGLIA, poi un secondo Cartello di disfida, ed una seconda risposta,... e cos di seguito per 6 Cartelli e per sei risposte.
Qui non abbiamo la riproduzione pi o meno esatta del fatto storico, ma il fatto medesimo, nel suo effettivo svolgimento. Le rivendicazioni, le refutazioni, fatte apertamente, mediante opuscoli a stampa, firmati dall'autore e controfirmati da persone autorevoli e note, largamente distribuiti in tutta Italia, diffusi anche fuori, mentre erano viventi e presenti i testimoni, dnno la pi sicura garanzia e la pi chiara visione dei fatti. E la collezione dei 62 quesiti proposti, risoluti, discussi in quei cartelli dai migliori matematici del tempo, costituiscono un materiale prezioso per la storia della scienza matematica.
.
Ma questa fonte  stata, fino ai nostri giorni, trascurata, o sconosciuta: solo nel 1876 si ripubblicarono i 12 cartelli, autografati sull'unico esemplare autentico e completo allora esistente, riuniti in un sol volume dal GIORDANI, in una edizione di 212 esemplari numerati che ora costituiscono una rarit bibliografica, difficilmente accessibile agli studiosi.
Ci che fu scritto prima della ripubblicazione dei Cartelli, sull'argomento in discorso,  quasi esclusivamente fondato sulle recriminazioni del TARTAGLIA e su fantastiche narrazioni, che nel trapasso da libro in libro si sono andate di mano in mano sovrapponendo, fino alla creazione di un romanzetto, del quale, i solerti compilatori di manuali storici, non vogliono privare il loro pubblico,... "qui ne cherche jamais dans une histoire, que les sottises qu'il sait dj" (Cfr. A. FRANCE, L'le des pingouins, Prface, p. IV).
Tuttoci interessa in modo speciale la storia della matematica nella scuola di Bologna, ma una trattazione esauriente di un tale argomento ci porterebbe oltre i limiti assegnati in quest'opera: si trover ampiamente e completamente sviluppata nel citato articolo di E. BORTOLOTTI.(39)
.
4. - LA RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI DEL QUARTO GRADO.
.
La risoluzione delle equazioni del quarto grado  dovuta a LUDOVICO FERRARI, bolognese. Fu occasionata da un particolare problema aritmetico proposto a disfida matematica da quella testa bizzarra di GIOVANNI DA COI al CARDANO, nel tempo in cui questi era lettore di matematica a Pavia.
Dalla soluzione di quel problema venne regola generale per tutte le equazioni del quarto grado date sotto forma ridotta, prive cio del termine cubico, ed anche per tutte quelle prive del termine di primo grado (che assumono forma ridotta con una trasformazione a radici reciproche).
Ma lasciamo che lo stesso CARDANO ce lo racconti (Ars Magna, Cap. 39, Regula 2).
"Alia est regula nobilior precedente & est Ludovici de ferrarijs, qui eam, me rogante, invenit, & per eam habemus omnes aestimationes ferme capitulorum: quadrati-quadrati, & quadrati, rerum, & numeri, vel quadrati-quadrati, cubi, quadrati & numeri...
"Exemplum. Fac ex 10 tres partes in continua proportione,(40) ex quarum ductu primae in secundam, producantur 6.
Hanc proponebat Johannes Colla, & dicebat solvi non posse, ego vero dicebam, eam posse solvi, modum tamen ignorabam, donec Ferrarius eum invenit"(41).
Si tratta, come subito si scorge, della equazione:
x4 + 6x2 + 36 = 60x.
Si aggiunga ai due membri 6x2, e si avr:
x4 + 12x2 + 36 = 60x + 6x2.
Il primo membro  un quadrato perfetto (il quadrato di x2 + 6) se tale fosse anche il secondo membro, sarebbe facile la risoluzione.
Poich tale non , si aggiunga ad ambi i membri una espressione formata da un termine del secondo grado e da un termine noto, in modo che il primo membro conservi la propriet di essere quadrato perfetto, e che tale propriet acquisti anche il secondo membro. Indicando con y un numero da determinare, si aggiunga dunque ad ambi i membri 2x2y + (y2 + 12y). Verr:
x4 + 2(y + 6)x2 + (y + 6)2 = 2x2y + y2 + 12y + 60x + 6x2 =
= 2(y + 3)x2 + 60x + y2 + 12y
che scriveremo:
Perch anche il secondo membro sia quadrato perfetto, baster determinare y per modo che sia
2(y + 3)(y2 + 12y) = 302 = 900.
Fatte le riduzioni, troveremo
y3 + 15y2 + 36y = 450,
1 cubus p. 15 quadratis, p. 36 positionibus aequantur 450.
Questa appunto  la "Risolvente di Ferrari".
Non  inopportuno ricordare che quello stesso problema, che il FERRARI ha risoluto con regola generale, era stato qualche anno prima proposto, dallo stesso GIOVANNI COLLA, anche al .
TARTAGLIA, il quale si era salvato solo affermando che lo stesso proponente non lo avrebbe saputo risolvere.
Il FERRARI ha osservato che il suo procedimento vale per le equazioni di quarto grado prive del termine cubico, e per quelle prive del termine lineare, che, con una sostituzione a radici reciproche, si trasformano in altre prive del termine cubico. Ma fa meraviglia che egli, che aveva trovato la sostituzione a radici aumentate, che serve in ogni caso a dar forma ridotta a qualsiasi equazione cubica, comunque proposta, non si sia accorto che una simile trasformazione (x = y - a/4) vale anche, senza eccezioni, a dar forma ridotta (priva del termine cubico) a qualsiasi equazione biquadratica, x4+ax3+bx2+cx+d = 0, e che perci la risoluzione da lui trovata, per le equazioni del quarto grado,  assolutamente generale, e pu in ogni caso essere applicata.
...
.
...
Paragrafo 3.
...
.
...
L'Algebra di Raffaele Bombelli.
...
.
...
1. - LA VITA.
.
RAFFAELE BOMBELLI  l'ultimo, in ordine di tempo, di quella schiera di algebristi bolognesi coi quali si apre il periodo moderno nella storia della matematica. Fra le due edizioni della sua "Algebra", sta la scoperta della Aritmetica di Diofanto; la sua "Geometria", che  stata recentemente tratta dall'inedito, segna il distacco fra l'"Algebra geometrica" degli antichi e la moderna "Geometria Analitica".
Non si ha notizia n della data, n del luogo di nascita di RAFFAELE BOMBELLI; nel suo libro egli si dichiara "Cittadino bolognese". I BOMBELLI infatti appartenevano alla nobilt del contado bolognese, e si stabilirono a Bologna nei primi anni del secolo 13esimo, provenienti dal Castel de' Britti (sul fiume Idice, a 15 km. circa da Bologna). Ma nello scorcio di quel secolo tutti i BOMBELLI che erano di parte lambertazza furono banditi dalla citt: si dispersero per le ville del contado e non tornarono se non dopo la cacciata dei Bentivogli nei primi anni del secolo 16esimo.
.
Le notizie su la vita di RAFFAELE BOMBELLI provengono tutte dalla sua Opera "L'Algebra", pubblicata nel 1572 a Bologna, e conservata manoscritta nel codice B. 1569 della Biblioteca dell'Archiginnasio in Bologna.
Dice di aver avuto a precettore messer FRANCESCO MARIA CLEMENTI da Corinaldo, del quale nessun'altra cosa sappiamo all'infuori di quello che lo stesso BOMBELLI ci racconta, cio che da lui furono essicate le paludi di Foligno, a' tempi di Paolo III. Pare lecito supporre che il CLEMENTI lo abbia istruito nelle cose di idraulica, e che egli, bolognese, abbia attinto le cognizioni matematiche nello Studio di Bologna, allora, per questa scienza, nel massimo suo splendore.
.
Il BOMBELLI racconta che per l'opera sua, e per ordine di Mr. ALESSANDRO RUFINI, vescovo di Melfi, si essic la palude Chiana in Toscana, "con tanta salude e felicitade de' popoli "circonvicini...", e che, da una interruzione dei lavori della Chiana trasse origine la sua Opera d'Algebra.
Quest'Opera d'Algebra rimase lungo tempo inedita, ma fu certamente diffusa fra gli studiosi, perch nelle Biblioteche di Bologna ne esistono ancora due esemplari manoscritti: l'uno in cinque libri, nel codice anzidetto nella Biblioteca dell'Archiginnasio, l'altro, che comprende solo il terzo libro, nella Universitaria.
.
Frattanto il BOMBELLI ebbe agio di conoscere l'Aritmetica di Diofanto, in un codice della Biblioteca vaticana: "essendosi ritrovato un'opera greca di questa disciplina nella libraria di nostro Signore in Vaticano, composta da un certo Diofanto Alessandrino, autor greco, il quale fu a' tempi di Antonin Pio, et havendomela fatta vedere Messer Antonio Pazzi reggiano(42) pubblico lettore delle matematiche in Roma, e giudicatolo con lui autore assai intelligente de' numeri (ancorch non tratti de' numeri irrationali, ma solo in lui si vede un perfetto ordine di operare) egli et io, per arrichire il mondo di siffatta opera, ci dessimo a tradurlo e cinque libri (delli sette che sono) tradutti ne habbiamo, lo restante non havendo potuto finire, per gli travagli avvenuti all'uno e all'altro..."(43).
.
Non avendo potuto arricchire il mondo di siffatta opera, il BOMBELLI pens almeno di arricchirne la propria Algebra, inserendo in essa tutti i problemi diofantei di cui era venuto a cognizione; e nel far ci, procedette ad una generale revisione dell'opera, che volle apprestare per la stampa, e della quale infatti nel 1572 uscirono a Bologna, coi tipi di G. Rossi, i primi tre libri.
Nelle ultime pagine del volume si scusa di non poter dar subito in luce la parte geometrica della sua opera "...perch non  ancora ridutta a quella perfettione, che la eccellentia di questa disciplina richiede, mi sono risoluto di volerla prima meglio considerare avanti che la mandi al conspetto degli huomini.
Goda dunque il lettore di questa prima parte delle mie fatiche che in breve l'altra darogli...".
Questa seconda parte non fu pi pubblicata, e si credeva perduta. Fu invece ricuperata, essendosene trovata copia manoscritta nel codice gi ricordato, B. 1569, della Biblioteca dell'Archiginnasio(44). Questo codice contiene la intera opera di BOMBELLI, cio la parte algebrica, e la geometrica (che occupa i libri IV e V), entrambe in quella prima stesura, che il BOMBELLI dice non ancora ridotta alla dovuta perfezione.
Ci fa credere che il BOMBELLI sia mancato di vita poco tempo dopo la pubblicazione del suo volume.
.
2. - L'OPERA.
.
L'Algebra di RAFFAELE BOMBELLI raccoglie e coordina tutto il meraviglioso contributo di idee, di risultamenti, di metodi, che, nel fervido rinascimento scientifico, promosso dalla risoluzione algebrica delle equazioni cubiche, era tumultuosamente sbocciato dalla ardita genialit creatrice degli algebristi italiani della prima met del secolo 16esimo.
Ha pregi singolari che la distinguono da ogni altro trattato di quell'epoca.
Non solo, infatti, in essa si presenta per la prima volta una compiuta sistemazione logica della teoria delle equazioni dei primi quattro gradi; ma il concetto informatore di tutta l'opera, la disposizione e l'ordine della materia, i procedimenti costruttivi e dimostrativi, essenzialmente analitici, in essa seguiti, rappresentano un passo notevole verso la aritmetizzazione della scienza matematica.
Il primo dei tre libri che compongono l'opera, con concetto che si direbbe moderno,  interamente dedicato alla successiva estensione del campo aritmetico di razionalit.
Qui per la prima volta si considerano come enti aritmetici i numeri immaginari, e si rappresentano con simbolismo opportuno al loro calcolo.
.
Il BOMBELLI credette dapprima di poter considerare i nuovi numeri come radici quadrate di numeri negativi e di poter applicare ad essi il calcolo dei radicali. E senz'altro li rappresent con simboli della formache si vedono costantemente usati nella edizione manoscritta della sua opera.
Ma nel ventennio trascorso fra la prima compilazione e la pubblicazione di essa per le stampe, si  accorto di aver che fare con numeri di diversa natura: "Ho trovato (egli dice) un'altra sorta di radici.... molto diversa dall'altra.... la quale ha nel suo algoritmo diversa operatione dall'altra e diverso nome".(45)
Egli scrive perci p. di m. b (pi di men. b) per rappresentare il numero immaginario + ib, e m. di m. b, per - ib; considera i binomi ed i recisi: a p. di m. b (a + ib) e a m. di m. b (a - ib) e cos rappresenta anche i numeri da noi detti complessi. Egli ha anche avvertito che nella risoluzione delle equazioni ogni radice complessa  sempre accompagnata dalla sua coniugata. ("Si deve avvertire che tal sorta di radici legate, non possono intravenire se non accompagnato il binomio col suo residuo..").
Ci fatto stabilisce il calcolo aritmetico nel campo di razionalit che risulta per l'aggiunta, al campo euclideo, dei nuovi numeri cos definiti, ed  da ammirare la sicurezza con cui egli poi procede nei calcoli, anche se complicati da radicali, sui numeri complessi; la qual sicurezza fa strano contrasto con le incertezze, i paralogismi e gli errori che su tale argomento si commisero quando si vollero considerare i numeri immaginari come radici di numeri negativi, e parve lecito l'applicare ad essi tutte le regole che si hanno nel calcolo dei radicali aritmetici.
Di fondamentale interesse  la formula di trasformazione da lui indicata(46) per i radicali cubici (1) 
Seguendo lo stesso procedimento da lui insegnato nel caso che si tratti di numeri reali, dimostra che occorre determinare u, v, in modo che sia (2) 
Dal codice bombelliano B. 1569, riporto, alla pag. 100, in riproduzione fotografica, un esempio della trasformazione indicata dalla formula (1):
Si tratta di cercare la radice cubica. si ha. dunque per le (2) dovremo cercare due numeri u, v, tali che sia: (3)
Bisogna, come dice il testo, che il quadrato di u, sia minore di 17 e il suo cubato maggiore di 52.
Un tal numero  4.
Se u = 4, sar per la prima delle (3), v = 1. Questo valore di v soddisfa anche la seconda delle (3); dunque sar:  o, al modo moderno,
.
L'introduzione, nel campo aritmetico di razionalit, dei numeri complessi, si  presentata nella risoluzione delle equazioni cubiche, pel caso irreducibile, ma ha per s stessa valore universale di primaria importanza.
Il campo di validit della analisi matematica ha raggiunto con quella introduzione, la sua massima estensione; e, mentre ai primi inizii sembrava che tale estensione non potesse essere percorsa che nel minuscolo campo che appartiene al caso irreducibile delle equazioni cubiche, si  visto di poi che non c' ramo di matematica pura ed applicata, che non si estenda sopra di esso, ed in ogni direzione.
Ed anche nella tecnica del calcolo dei numeri complessi, le regole fissate dal BOMBELLI, precorsero quelle che tre secoli dopo furono date dal GAUSS, fin d'allora manifestarono l'intima natura dei nuovi enti aritmetici, ed a quella natura pienamente si uniformarono.
.
Il Libro secondo dell'Algebra, studia i polinomi algebrici e le equazioni algebriche dei primi quattro gradi.
Incomincia colla definizione di variabile (il tanto) e delle sue potenze, ed introduce un sistema di simboli a tipo esponenziale; col rappresentare la nostra x con un semicircoletto sormontato dall'esponente 1,  il quadrato della incognita, x2, con lo stesso semicircoletto sormontato dalla cifra 2,  cos per tutte le altre potenze(47).
Allo studio preliminare sui polinomi e sulle frazioni algebriche segue la teoria delle equazioni, o, come egli dice: "dello agguagliare".
Incomincia dalle equazioni del primo grado, e sale gradatamente fino alle equazioni del quarto grado complete, esaminando tutti i possibili casi, con discussione ordinata, precisa, esauriente. Per ogni tipo di equazione d la regola pratica di risoluzione, e la dimostrazione, che, all'uso dei tempi,  geometrica. Ma egli non disconosce il valore di dimostrazioni puramente analitiche; ed una tale fa, p. es., per la risoluzione delle equazioni del secondo grado. Talch il LIBRI pot dire: C'est l qu'on voit pour la premire fois la rigueur de la synthse, applique aux dmonstrations algbriques" (vol. III, p. 184).
Per le equazioni cubiche egli d dimostrazione geometrica al modo di CARDANO della formula del DAL FERRO, mostrando come un cubo materiale si scomponga nei due cubi e nei sei parallelepipedi rappresentati dalla nota formula che d il cubo del binomio.
.
Per quel che riguarda il caso irreducibile, che si presenta per la equazione x3 = px + q, egli osserva anzitutto, ed  qui veramente l'essenziale contributo che egli ha dato a questa teoria, che anche in questo caso la formula di SCIPIONE DAL FERRO
pu dare il valore della radice, nonostante che essa sia complicata cogli immaginari (col pi di meno), ogni qual volta si riesca a trovare il lato cubico delle espressioni che in essa compariscono, perch allora si dovranno sommare numeri complessi coniugati, la cui somma  numero reale.
Dallo stesso codice riproduco un perspicuo esempio di risoluzione di equazione cubica nel caso irreducibile. Faccio notare il quadro delle formule, fatto dall'insegnante alla lavagna, riprodotto nitidamente a fianco del testo, e fin d'ora invito ad osservare, in questo codice della met del secolo 16esimo, le notazioni algebriche: gli indici dei radicali, le parentesi, gli esponenti, positivi o nullo, della incognita, e la disposizione chiara e suggestiva.
.
Si tratta della equazione:
x3 = 15x + 4
qui p3/27 = 53 = 125, q2/4 = 22 = 4, dunque la cosa vale:(48)
questa formula  sofistica, cio complicata coll'immaginario; ma applicando la trasformazione insegnata, si trova
e dalla somma di queste risulta il valore reale 4, valuta della cosa.
.
Il BOMBELLI ha voluto trovare anche per questo caso una opportuna dimostrazione geometrica.
Sugli assi ortogonali AO, OH, si prenda AO = 1, OH = q/p, e per H si conduca HK parallela ad AO.
Preso poi a piacere un punto D, sull'asse OH, si ponga DO = a > 0. Si congiunga D con A, si tiri DE perpendicolare a DA, ed EK parallela ad OH, e si congiunga D con K; la DK incontrer AE in un punto che chiamer C.
Sar AOOE = OD2, cio a2 = OE = HK.
Dai triangoli simili DOC, DHK, si ha:
cio 
Se ora facciamo variare a con continuit da 0 ad 8, il segmento OC crescer con continuit da 0 ad 8, dunque esister un valore positivo di a ed uno solo, pel quale sar OC = p e quindi:, od infine: 
.
Il segmento a cos determinato  dunque radice della equazione proposta, e questa perci avr sempre una radice positiva ed una sola.
Il BOMBELLI ha coronato queste sue ricerche col trovare la relazione di questo problema analitico col problema geometrico della "Trisezione dell'angolo".
Egli dice espressamente (p. 321) che la risoluzione dell'equazione cubica nel caso irreducibile "servir in dividere l'angolo in tre parti pari", come a suo tempo si vedr.
E ci appunto ha fatto nella parte geometrica, di cui pi oltre brevemente parleremo.
Noter di sfuggita che il VIETA ritrov egli pure, ma molto pi tardi, la relazione fra il caso irriducibile dell'equazione cubica ed il problema della trisezione dell'angolo, e per questa scoperta fu detto di lui che egli aveva dato "une marque du gnie la plus clatante" (Montucla, I, 605).
La risoluzione delle equazioni del quarto grado, era stata fatta dal FERRARI, in un caso che oggi pu essere considerato come generale, ma allora era, per dirla collo ZEUTHEN, cosa troppo nuova perch il CARDANO avesse osato di farne una teoria completa parallela a quella da lui fatta per le equazioni cubiche, ove ogni lacuna avrebbe potuto essere indizio di ignoranza. Il BOMBELLI si accinse a quell'opera, per quei tempi formidabile, e svilupp completamente quella teoria risolvendo e discutendo separatamente, con acume e sicurezza di metodo, tutti i 42 casi che si possono presentare.
.
Anche il simbolismo e la tecnica dell'algoritmo presentano nell'Algebra di BOMBELLI notevoli progressi: per l'uso delle parentesi nelle formule algebriche, e, specialmente nel manoscritto, degli indici dei radicali, e, per una rappresentazione delle potenze della incognita, che, adottata poi da A. GIRARD, da A. ROMANO, dallo STEVIN,... per successivi adattamenti ha dato luogo alla odierna rappresentazione esponenziale delle potenze.
Le notazioni introdotte dal BOMBELLI hanno dato al calcolo algebrico una scioltezza che nulla cede al calcolo moderno. Ne abbiamo dianzi dato un esempio nel quale si espone il calcolo fatto per la risoluzione di una equazione complicata da irrazionali.
.
Il LIBRO TERZO dell'Algebra costituisce una interessantissima raccolta di problemi dei primi quattro gradi, che il BOMBELLI risolve dando prova di vera virtuosit, con la eleganza dei procedimenti analitici, con la semplicit della interpretazione geometrica, con l'arte con cui sa evitare i procedimenti analitici che danno luogo a costruzioni spaziali.
Interessantissimi sono quelli tolti dal libro di DIOFANTO, e di grande momento  stato l'impulso che per essi  venuto allo studio della analisi indeterminata, ed in generale della teoria dei numeri, che dal libro di BOMBELLI deve riconoscere il primo inizio della sua rinascita in Occidente.
Il libro del BOMBELLI  stato per pi di un secolo testo universale di Algebra superiore. L'HUYGENS stimava di fare un grande elogio al LEIBNIZ, scrivendogli: "Vous avez plus fait que Bombelli"(49).
.
Lo stesso LEIBNIZ, che sul libro di lui aveva compiuta la sua educazione algebrica(50) considerava BOMBELLI come maestro egregio ("Egregium certe artis analyticae magistrum"), ed apprezzava principalmente le ricerche da lui fatte sul caso irreducibile delle equazioni cubiche, che egli pose a fondamento di ulteriori progressi(51).
"Haec difficultas omnibus hactenus Algebrae scriptoribus crucem fixit, nec quisquam eorum est, qui non professus sit regulas Cardani in hoc casu exceptionem pati. Primus omnium Raphael Bombelli, cujus Algebram perelegantem Italico sermone jam superiore seculo Bononiae editam vidi, invenit, eas servire posse ad eruendas radices veras rationales sivi numeris exprimibiles, quando tales habet aequatio; sed quando radices veras illae rationales sunt falsae sive negativae".
.
3 - I LIBRI GEOMETRICI DELL'ALGEBRA DI R. BOMBELLI.
.
I libri IV e V, comprendenti la "Parte Geometrica", inedita, dell'"Algebra", opera di RAFFAELE BOMBELLI da Bologna, tratta dal Mns. B. 1569 della Biblioteca dell'Archiginnasio, sono stati pubblicati nel vol. VII della "Collezione per la Storia e la Filosofia delle Matematiche", promossa dall'Istituto Nazionale per la Storia delle Scienze, l'anno 1929, dallo Zanichelli, in Bologna.
 un volume di 302 pagine, che, nell'Introduzione contiene anche una diligente e minuta analisi della Parte algebrica, edita nel 1572, non pi pubblicata, opera rara e poco nota.
Il libro IV si presenta come diviso in tre parti, che diremo Capitoli. Al primo capitolo si pu dare titolo di "Algebra Geometrica" o, come dice il BOMBELLI: "Algebra linearia". Definisce le operazioni aritmetiche sui segmenti: insegna cio a "sommare de linee, sottrare, moltiplicare, partire, trovare il creatore (estrarre la radice), e la lunghezza delle dignit (innalzare a potenza)".
.
Come molto pi tardi fece il CARTESIO, per rendere possibile la moltiplicazione, il quoziente, le potenze dei segmenti, introduce nelle sue costruzioni il segmento unitario, e pi ardito dello stesso CARTESIO, non teme la introduzione nella sua algebra linearia di segmenti negativi e di aree negative, o nulle.
L'estrazione della radice quadrata, che nell'"Algebra linearia non patisce la difficolt che pate nel numero",  eseguita con la costruzione che serve a trovare la media proporzionale fra il dato segmento e l'unit. L'estrazione di radice cubica  costruita mediante una delle costruzioni strumentali che servono a trovare due medie proporzionali fra la comune misura, et la linea che se ne ha da pigliare il creatore.
.
Il Capitolo 2, ad imitazione del lib. 10 di EUCLIDE, tratta geometricamente della struttura del campo di razionalit che si ottiene aggiungendo al campo euclideo una irrazionalit cubica.
Nel Capitolo 3 il BOMBELLI riprende quei problemi che aveva trattato nel Lib. 3 di Algebra, e li traduce in altrettante questioni geometriche; ma il suo procedimento  l'inverso di quello che segue l'algebra geometrica degli antichi: invece di considerare la costruzione geometrica come procedimento necessario alla giustificazione della validit dei risultamenti ottenuti per via analitica, fa consistere la dimostrazione della costruzione geometrica nella corretta interpretazione delle deduzioni ottenute colla regola d'algebra.
Parmi superfluo il far rilevare l'importanza storica di questo fatto, mentre perfino il VIETA riteneva di non potersi esimere dal dare dimostrazione geometrica di ogni suo procedimento analitico.
.
Il libro 5 tratta della applicazione dell'Algebra a problemi di geometria.
In questa trattazione si ha esempio della determinazione di un punto del piano di un dato triangolo mediante coordinate ortogonali, ed  notevole, a proposito della inscrizione nel cerchio dell'ennagono regolare, la riduzione del problema della trisezione dell'angolo alla risoluzione di una equazione cubica nel caso irreducibile(52).
...
.
...
Paragrafo 4.
...
.
...
Cenni biografici - Tartaglia, Cardano, Ferrari(53).
.
1. - NICOL TARTAGLIA.
.
NICOL TARTAGLIA  nato a Brescia intorno al 1500. Egli stesso racconta le vicende dei primi anni della sua vita, in un dialogo, che finge avvenuto con GABRIELE TADINO, da Martinengo, cavaliere di Rodi e Priore di Barletta, pubblicato nel Quesito ottavo del Libro 6 dei suoi: "Quesiti et inventioni diverse".
Di suo padre sa solamente che aveva nome MICHELE, teneva un cavallo, e con esso correva le poste da Brescia a Bergamo, a Crema, a Verona,... Non sa qual sia il suo casato, n se suo padre avesse cognome: era semplicemente chiamato "Micheletto cavallaro"; mor quando egli aveva "....anni sei vel circa,... et cos restai io et un altro mio fratello poco maggiore di me, et una mia sorella menore di me, con nostra madre vedova et liquida di beni di fortuna".
.
Quando contava circa 12 anni, nell'occasione del sacco che i francesi diedero a Brescia, bench egli si fosse riparato nel Duomo, insieme colla madre e molti altri, si vide brutalmente assalito, e n'ebbe 5 mortali ferite, tre sulla testa, e due sul volto, una delle quali gli tagli per mezzo le labbra. L'estrema povert, cui era ridotta, non permise a sua madre di usare altro rimedio, che quello di nettargli le ferite, come meglio poteva; e, tuttavia, in termine di pochi mesi ne guar.
.
Ma non essendo ben saldata la piaga delle labbra, stentava a parlare, gli altri fanciulli cominciarono a chiamarlo il Tartaglia, ed egli volle ritenere tal sopranome a memoria del fatto.
Alle scuole, non frequent che quelle del lggere, in et di 5 a 6 anni; ed in et di 14, per soli 15 giorni, quella dello scrivere. D'allora in poi, "....mai pi fui, n andai, ad altro precettore, ma solamente in compagnia di una figlia di povert, chiamata industria, sopra le opere degli huomini defonti continuamente mi sono travagliato...".
Null'altro egli dice della sua vita di studioso e di maestro.
.
Risulta peraltro, dalle sue opere, che egli fu per una diecina d'anni a Verona, poi (dal 1534), a Venezia. Nel 1548, al tempo della sua contesa col FERRARI, era a Brescia, ma di poi (in seguito all'esito della disputazione reale in Milano?) fu costretto a tornarsene malconcio e malcontento a Venezia, dove rimase gli ultimi anni della sua travagliata esistenza, che ebbe termine nel 1559.
.
Delle scoperte da lui fatte nella teoria delle equazioni cubiche abbiamo parlato.
I nove libri di "Quesiti et inventioni diverse" (1546) costituiscono una delle pi interessanti fra le sue Opere. I primi tre libri trattano di balistica e di artiglieria: notevoli sono le osservazioni sulle traiettorie dei proiettili, sul riscaldamento dei pezzi, sul modo di ripararsi dai tiri di rimbalzo.... Il quarto libro tratta delle ordinanze degli eserciti in battaglia; il quinto di topografia, i tre successivi, di fortificazioni, e di problemi relativi alla statica. Il nono contiene le sfide del FIORE, del COLLA, del CARDANO,... relative alle equazioni cubiche, di cui abbiamo gi parlato.
.
Sulla balistica, il TARTAGLIA aveva gi (fin dal 1537) pubblicato un notevole libro intitolato: "Nova scientia", dove quella materia  per la prima volta trattata dal punto di vista matematico; ivi, fra altro, si dimostra (se pur non esattamente) che la massima gittata si ottiene tirando sotto un angolo di 45.
Al TARTAGLIA si deve anche la prima traduzione in volgare degli Elementi di Euclide, accompagnata da pregevoli commenti, ma redatta in barbaro stile.
Per un lungo tempo si  attribuito al TARTAGLIA anche la traduzione in un latino barbaro del trattato di ARCHIMEDE "De insidentibus aquae", che  considerato come il primo germe da cui  nata l'idrostatica moderna; ma si  poi accertato che quella traduzione si deve al MOERBEKE, matematico del secolo 13esimo.
.
Ho gi avuto occasione di ricordare la "Travagliata inventione" (Regola generale di sollevare... ogni affondata nave). Ma l'opera massima di TARTAGLIA  il "General Trattato di numeri e misure": enciclopedia matematica, che ha avuto grande esito e buona fama. La prima parte di quell'opera  stata pubblicata nel 1556, l'altra, dopo la morte dell'Autore, nel 1560.
.
2. - GEROLAMO CARDANO.
.
GEROLAMO CARDANO nacque in Pavia il 24 settembre del 1501. Suo padre FAZIO, oriundo di Gallarate, fu uomo di grande ingegno e dottrina, professava la giurisprudenza in Milano, insegnava geometria nelle scuole fondate dal PIATTI, manteneva relazioni con letterati ed artisti, fra i quali LEONARDO DA VINCI, e godeva stima universale.
Giunto all'et di 5 anni, GEROLAMO, invece di frequentare le scuole, fu obbligato a seguire, nel suo peregrinare professionale per la citt, il padre, che fu suo maestro ed educatore. Da quella peripatetica educazione spirituale, trasse GEROLAMO il maggior profitto: a 19 anni poteva presentarsi all'Universit di Pavia, e col continuare gli studi superiori, cui si diede intensamente.
.
Nel 1524 pass dalla Universit di Pavia, a quella di Padova, dove nel 1525, non ancora laureato, fu nominato Rettore della Universit degli studenti.
Dopo la morte del padre incominciarono per lui le preoccupazioni finanziarie: profess medicina pratica a Sacco ed a Gallarate, ma con scarso profitto economico e poca soddisfazione.
A Sacco tuttavia si accas con LUCIA BANDARENO, che fu sposa fedele, buona massaia, madre amorosa, e con lui convisse gli anni oscuri di stenti e di sacrifici, non quelli susseguenti di agiatezza e di gloria.
A Gallarate ebbe la ventura di acquistare la benevolenza e la protezione di FILIPPO ARCHINTI, ricco prelato, che gli fece ottenere l'insegnamento della matematica a Milano, dove nel 1534 trasport la famiglia.
A Milano svolse la sua attivit di scienziato, pubblic nel 1539 la sua "Practica Arithmeticae", e compose l'"Ars Magna", pubblicata a Norimberga nel 1545. Nel 1546 accettava la cattedra di medicina a Pavia, e nel 1550 pubblicava il Libro "De Subtilitate"; ma nel 1551 lasciava Pavia, per mancato pagamento dello stipendio, e si dava alla professione libera della medicina, ed agli studi prediletti.
Richiamato all'insegnamento in Pavia, nel 1559, fu col colpito dalla sua pi grande sciagura. Il suo primogenito GIAMBATTISTA, nel 1560 perdeva la vita sul patibolo, per aver avvelenato la propria moglie.
.
CARDANO fu per impazzire dal dolore, lasci Pavia, per recarsi, nel 1562, a Bologna, dove rimase, lettore di medicina nel nostro Studio, fino al 1570. In questo stesso anno pubblicava a Basilea l'"Opus novum de proportionibus numerorum" e la "Regula Aliza".
Deferito al tribunale della Inquisizione, per alcuni suoi scritti astrologici, fu carcerato il 6 ottobre 1570; liberato dal carcere il 22 dicembre di quello stesso anno, rimaneva a Bologna fino alla fine del settembre 1571, per recarsi poi a Roma, dove pass i cinque ultimi anni di sua vita, accolto da quel Collegio dei medici, contornato da grande reputazione, fornito di una pensione dal pontefice, lasciato tranquillo a riordinare e completare le sue opere. Col moriva il 20 settembre 1576(54).
.
Delle opere di CARDANO, che abbiano attinenza colla matematica, abbiamo ricordato le pi importanti, cio l'"Ars Magna", la "De Subtilitate", l'"Opus novum de proportionibus" e l'opuscolo sulla "Regula Aliza".
Della "Ars Magna" abbiamo gi parlato. Il Trattato "De Subtilitate"  una vera enciclopedia scientifica; non fatta col raccogliere fatti ed idee altrui, ma col discutere, con idee proprie, sulla natura delle cose, su la interpretazione dei fenomeni, sulle leggi che governano gli eventi fisici, lo sviluppo delle arti e delle scienze, i sensi, i sentimenti, le passioni degli uomini.
.
Ricorder solo che il quesito primo, proposto dal FERRARI(55) nel suo Terzo Cartello, nel quale si chiedeva la proporzione che hanno i lati alle diagonali in un ettagono regolare, attirava l'attenzione del CARDANO su quella speciale proporzione che passa fra i lati di un triangolo quando in esso uno degli angoli  doppio di uno dei rimanenti.
Egli chiama tale proporzione col nome di "Proportio reflexa" e ne studia le propriet intrinseche, caratteristiche.
La soluzione del FERRARI del problema da lui proposto,  esposta dal CARDANO, essa conduce ad una equazione cubica, nel caso irreducibile.
.
Il CARDANO torna sullo stesso problema nella "Opus Novum de proportionibus" (prop. 106) e dimostra la inversa, cio che se in un triangolo c' proporzione riflessa fra i lati, corrispondentemente uno degli angoli  doppio di uno dei rimanenti, e cerca di applicare la sua proporzione riflessa al problema generale di trovare il rapporto fra due corde di un cerchio, noto il rapporto degli archi da esse sottesi. "Quales proportiones angulorum doceant laterum proportiones".
.
Nell'"Opus novum", si trattano anche interessanti problemi di meccanica: della influenza della resistenza del mezzo sul moto dei proiettili, e del rapporto fra le densit di certi corpi in relazione colla resistenza al moto di proiettili che li attraversano. Applicando questi principi al caso dell'acqua e dell'aria, ha trovato che la densit (il peso) dell'acqua  circa 50 volte quello dell'aria. Ed  questa una prima, se pur molto imprecisa, determinazione sperimentale del peso dell'aria.
.
De Regula Aliza. - Il COSSALI nel secondo volume della sua opera sulla "Origine, trasporto in Italia e primi progressi in essa dell'Algebra" ha un bel capitolo nel quale studia le indagini del CARDANO sul caso irreducibile, contenute nella "Regula Aliza". Bench egli non sia troppo tenero del CARDANO comincia col dire (p. 441) che "le meditazioni profonde, e le sottili indagini ed i bei discoprimenti sul caso irreducibile, gli conferiscono il pi luminoso diritto alla immortalit". Ma poi osserva che: "le folle di errori numerici nei calcoli,... la mancanza d'ordine,... ci fanno scorgere che il libro  l'atto del tentare, non un ordine delle scoperte" e tenta egli stesso di coordinare quelle ricerche coi vari spezzamenti che si possono fare della equazione x3 = px + q in un sistema di due equazioni con due incognite, dei quali  esempio classico quello che si ottiene col fare x = y + z d'onde la formula:
y3 + z3 + 3(y+z)  yz = p(y+z) + q
che si spezza nelle due: y3 + z3 = q, 3yz = p, che conducono alle formule del DAL FERRO.
Lo spezzamento potrebbe anche farsi col porre:
3y2  z + 3y  z2 = q, y3 + z3 = p(y + z).
.
Il COSSALI indica 7 modi diversi di fare tale spezzamento; dice che CARDANO li ha esaminati tutti, nessuno di essi  stato trovato di applicazione universale, ma quando il primo non valga, si pu tentare qualcuno degli altri.
Non seguiremo il COSSALI in quelle sue disamine, n il CARDANO nella sua Regula Aliza; ci baster di dare un esempio dello spezzamento che ha condotto il CARDANO alla soluzione, mediante equazioni cubiche e del secondo grado di una equazione particolare del grado 6.
Data l'equazione
x6 + ax4 + a2x2 + a3 = bx3
dividendo per x3 abbiamo:
x3 + ax + a21/x + a3/x3 = b;
posto a/x = y, si ha
x3 + x2y + xy2 + y3 = b;
che possiamo scrivere
x3 + y3 + x2y + xy2 + 2x2y + 2xy2 - 2x2y - 2xy2 = b
da cui:
(x + y)3 - 2xy(x + y) = b ossia (x + y)3 - 2a(x + y) = b
Da questa si potr ricavare x + y, e combinando i valori trovati colla equazione xy = a, si avranno le radici della proposta.
.
Il CARDANO ci ha anche lasciato un abbozzo di autobiografia, composto negli ultimi anni di sua vita.
Inizi la composizione di questo libro verso la met del 1575, e la termin nell'aprile 1576, pochi mesi prima di morire, senza aver avuto il tempo di rileggere e perfezionare l'opera sua. Nel Cap. 13esimo che tratta dei suoi costumi, vizi ed errori, dichiara di denunziare i suoi vizi, ad espiazione delle sue colpe, tratto da quello stesso spirito cristiano che faceva ritenere a S. Francesco di essere il pi immeritevole degli uomini. Enumera le cattive inclinazioni, che aveva sortito per natura, ma soggiunge anche che sapeva dominare, colla fede religiosa e la ragione, i malvagi istinti.
.
L'Autobiografia del CARDANO, bench risenta della debolezza e degli acciacchi della vecchiaia, riportata integralmente ed interpretata umanamente non torna a disdoro del CARDANO, anzi (ed  stato dimostrato)(56) a riprova del candore dell'animo, della integrit morale, della intera devozione alla verit, e rendono la sua figura, non solo per altezza di ingegno, ma per rettitudine, nobilissima.
.
Ma la ingenua confessione delle sue cattive inclinazioni  stata presa come confessione delle colpe e dei delitti che da esse sarebbero derivati, se egli non avesse saputo contrastarle. Lo si disse reticente nell'accusare il male, falso nell'enunciare il bene che era nel suo animo e nelle sue azioni. Cos, poich egli confessava la sua passione per il gioco, lo si disse baro, ed i trasporti giovanili nell'anno di suo rettorato in Pavia, di cui egli amaramente si rammaricava, furono pretesto a dichiararlo dissoluto, violento, malvagio, crudele, scellerato!... La violenza che il TARTAGLIA diceva di aver subita durante la disputa a Milano (che egli stesso in altri passi delle sue opere ha poi sconfessato) e che nelle successive narrazioni dei compilatori di manuali pseudo-storici, di libro in libro cresce di tono, fino a diventare minaccia della vita, sarebbe stata ordita dal CARDANO!
.
L'invincibile prevenzione spiega, ma non giustifica, la sistematica denigrazione che del CARDANO e della sua opera si fa, anche in manuali che vanno per le mani di tutti, nei quali si arriva al punto di dare come straordinario ritratto, che egli avrebbe fatto di s medesimo, un brano di prosa, che non si trova in nessuna pagina della Autobiografia, ma  stato fabbricato di sana pianta, col togliere qua e l parole in libert, ed accomodarle a beneplacito, secondo le viste dello storico!
.
Il RICCARDI, nella sua "Biblioteca matematica" termina l'enumerazione delle sue opere col dire:
"Nella nostra Biblioteca non potevamo che brevemente indicare l'importanza delle opere di questo raro genio. Un uomo del quale le 138 opere pubblicate non sono che la met di quelle da lui scritte, in ogni ramo dello scibile, e che ha fatto contemporaneamente progredire l'analisi finita, la fisica, le scienze naturali, la medicina e la filosofia, ben meriterebbe dai suoi compatrioti l'onore di una estesa biografia, che ora a nostra vergogna, siamo costretti a leggere in lingue straniere".
.
3. - LUDOVICO FERRARI.
.
Nato a Bologna il 2 febbraio 1522, si rec quattordicenne a Milano, e, postosi alla scuola del CARDANO, fece cos rapidi progressi, che, mentre contava soli 18 anni, gi teneva scuola di matematica e partecipava a disputazioni matematiche. Memorabile quella contro GIOVANNI COLLA, il quale aveva proposto al suo maestro, CARDANO, un quesito che n il TARTAGLIA, n il CARDANO, n lo stesso proponente sapevano risolvere; FERRARI non solo risolvette il quesito numerico proposto, ma da tale soluzione ricav legge generale per la risoluzione algebrica delle equazioni del quarto grado. Come gi abbiamo visto.
.
I sei "Cartelli di matematica disfida", da lui scambiati col TARTAGLIA, dal 10 febbraio 1547 al 24 luglio 1548, sono prova ad un tempo del suo alto valore nelle discipline matematiche, e della singolare eleganza del suo stile letterario. Essi costituiscono la fonte pi cospicua e pi sicura per la storia della matematica nel secolo 16esimo.
In seguito all'esito della pubblica disputa, tenuta contro il TARTAGLIA a Milano il 10 agosto 1548, gli furono offerte le pi favorevoli condizioni: per una lettura pubblica in Roma, per una privata assai vantaggiosa in Venezia, per l'opera di precettore al figlio dell'imperatore; ...egli prefer accettare l'ufficio di Capo del catasto per la provincia di Milano, offertogli da FERDINANDO GONZAGA.
.
Ma una sopravvenuta indisposizione lo obblig a lasciare tale ufficio. Nell'anno 1564 ebbe la lettura di Matematica nel nostro Studio nella quale fu confermato anche per l'anno 1565-66; ma nell'ottobre del 1565 improvvisamente cessava di vivere.
 considerato come il pi acuto e profondo matematico della sua epoca.
CARDANO ha scritto una breve storia della sua vita, pubblicata nel Tomo 9 (Opuscolo 7), della "Opera Omnia".
...
.
...
CAPITOLO TERZO.
...
.
...
ANALISI INFINITESIMALE.
...
.
...
PREMESSA.
...
.
...
Il periodo che vogliamo ora studiare, comprende tutto il secolo 17esimo; pu dirsi di analisi infinitesimale per essere caratterizzato dalla introduzione, nella scienza, dei concetti di infinito, di infinitesimo e di limite, e perch in esso si inizia quel nuovo metodo di analisi matematica, che pi tardi ebbe nome di "Calcolo infinitesimale".
In tale periodo si possono distinguere due successivi momenti: nel primo si avverte il passaggio dal finito all'infinito nella grandezza discreta, colla somma dei termini di una serie infinita, e collo sviluppo di frazioni continue infinite; nel secondo l'indagine matematica si approfondisce nello studio dell'intima costituzione della grandezza continua, come totalit di elementi infinitesimi, e studia le mutue relazioni di dipendenza fra il rapporto di due grandezze finite, e quello dei loro elementi indivisibili.
.
Nel primo momento EVANGELISTA TORRICELLI, superando secolari prevenzioni scolastiche, riesce a risolvere in un tratto solo (per dirla con GALILEO) la infinit dei termini di una serie convergente; PIETRO ANTONIO CATALDI svolge le irrazionalit quadratiche nella somma degli infiniti termini di una serie, o nei successivi quozienti di una frazione continua infinita, e PIETRO MENGOLI studia le quadrature aritmetiche e d un primo esempio di teoria dei limiti.
.
Nel secondo momento primeggia la figura di BONAVENTURA CAVALIERI che nella sua "Geometria degli indivisibili", per primo ha costruito un compiuto sistema geometrico, fondato sulle nuove concezioni del continuo, che preludia all'odierno Calcolo infinitesimale, ed, accanto a lui, quella di EVANGELISTA TORRICELLI, nella sua "Opera geometrica", dove i fondamenti della analisi infinitesimale moderna trovano geniale manifestazione ed ampio sviluppo in tutti i rami della analisi matematica, ed infine quella di PIETRO MENGOLI, che, colla sua "Geometria speciosa", precorre CAUCHY, nella definizione di integrale definito.
.
L'insegnamento ufficiale si trova nei Rotuli distribuito al modo seguente:
Continuano le due letture "ad Mathematicam" di P. A. CATALDI (1583-1626), e G. A. MAGINI (1588-1618).
Al CATALDI succede BONAVENTURA CAVALIERI (1629-1648). Al CAVALIERI, il padre G. RICCI (1649-65); al RICCI, G. MONTANARI (1665-79), al MONTANARI, P. MENGOLI (1679-86); al MENGOLI il GUGLIELMINI (1689-99).
.
Dopo la morte del MAGINI, la cattedra da lui occupata rimane vacante fino al 1633, ed in quell'anno, viene conferita ad OVIDIO MONTALBANO (1633-52), cui subentr D. CASSINI (1652-69).
Frattanto era stata istituita una lettura di Meccanica, data al MENGOLI, che la tenne dal 1650 al 1678, per passare poi, l'anno appresso, a quella di matematica, come abbiamo veduto.
Una seconda cattedra di matematica fu tenuta dal RONDELLI, al fianco di GUGLIELMINI, negli anni 1690-1699.
Come preludio ai nuovi tempi, troviamo che, dal 1696-97, la lettura di D. GUGLIELMINI, ha per titolo: Matematica idrometrica.
Nel fatto, poi, l'antica lettura di Astronomia non fu mai abolita, perch uno dei lettori "ad Mathematicam" era incaricato di leggere Astronomia, secondo gli antichi programmi.
...
.
...
Paragrafo 1.
...
.
...
I primi algoritmi infiniti.
...
.
...
1. - LE VARIE CORRENTI DEL PENSIERO SCIENTIFICO NEL RINASCIMENTO.
.
Le opere classiche della matematica antica, perfette nella loro ermetica forma deduttiva, insegnano l'arte della dimostrazione, ma nascondono le strade della scoperta; il loro studio pu servire a sviluppare il raziocinio, ma ottunde la fantasia, che  il primo movente delle grandi opere e delle grandi idee. Ci spiega la stasi che ha seguito il periodo di formazione della scienza geometrica, ed il successivo periodo di decadenza.
All'uscire del medio-evo uno spirito nuovo aleggiava su la scienza rinnovata. La matematica si riaccostava alle sue origini pitagoriche nelle scuole di abbaco dei nostri maestri, e nelle universit degli artisti dei nostri Studi, dove si lasciava campo libero alla intuizione analitica, e le leggi del calcolo numerico, meglio che le proposizioni geometriche, erano poste a fondamento della scienza.
.
I successi riportati nelle teorie analitiche dalla spregiudicata estensione del concetto di numero, e la risoluzione della equazione cubica, che i venerati maestri non avevano saputo intraprendere, resero accette, anche ai dotti ricercatori della scienza classica, le nuove idee ed i metodi nuovi. Si incominci a sospettare che qualche cosa si potesse aggiungere, ed in qualche punto modificare quello che aveva lasciato il sommo ARCHIMEDE, e che i dettami del divino ARISTOTELE potevano essere sorpassati.
.
O, s'io mi sento in gambe esser ben destro
A varcar quel confin, perch al mio piede,
Poni il peripatetico capestro?
scriveva GALILEO in un suo Capitolo giovanile(57) interpretando giocondamente il sentimento comune.
Il pi dotto degli umanisti: FEDERIGO COMMANDINO, osava completare i libri di ARCHIMEDE "Sull'equilibrio dei piani", con un suo: "Liber de centro gravitatis solidorum" (Bononiae ex officina Alexandri Benacii, MDLXV). Ed in quello stesso torno di tempo, anche MAUROLICO trattava il medesimo soggetto, in un'opera che fu stampata solo nel 1685. Ma in quelle trattazioni il metodo archimedeo era rigorosamente seguito.
Altri andava oltre, sopprimendo nelle dimostrazioni archimedee la fastidiosa riduzione all'assurdo, in forza di un principio che divenne poi fondamentale nella teoria del limite.
.
In quel medesimo tempo lo sviluppo in serie delle irrazionalit quadratiche, che era rimasto allo stato potenziale nei procedimenti di approssimazione degli antichi, veniva tradotto in atto da PIETRO ANTONIO CATALDI; che trovava le leggi formali di quegli sviluppi, e ne determinava la rapidit di convergenza. Dallo studio di quelle serie il CATALDI traeva motivo per creare una nuova operazione aritmetica, un nuovo procedimento infinito: "la frazione continua", che, nella stessa sua rappresentazione formale, induceva il pi suggestivo concetto di procedimento ciclico indefinitamente continuato.
Per una terza strada, finalmente, il pensiero scientifico concorreva verso la scienza nuova, e ci avveniva col diretto ritorno alla concezione monadica dei primi pitagorici, cio alla costruzione di una Geometria degli indivisibili.
Di quelle tre diverse correnti del pensiero scientifico, daremo breve cenno.
.
2. - UMANISTI.
.
Dagli stessi umanisti venne il primo impulso ad un rinnovamento nella tecnica delle quadrature archimedee; e l'effettivo distacco fu fatto, quasi contemporaneamente, in Italia da un nostro umanista: LUCA VALERIO, e nei Paesi Bassi, da un seguace della nostra scuola: SIMONE STEVIN.
LUCA VALERIO, nato a Napoli nel 1552 da padre ferrarese, fece la sua prima iniziazione a Corf, ma presto si trasfer a Roma, dove fu allievo nel collegio Romano. Fece grandissimo studio della lingua greca, ed a cominciare dal 1591, fu lettore di matematica e di lingua greca a quel medesimo Collegio ed alla Sapienza. Ebbe dunque, al pari di COMMANDINO, modo di poter studiare ARCHIMEDE nella lingua originale.
Pubblic, nel 1604, un'opera: "De centro gravitatis solidorum", nella quale sciolse molti problemi di quadratura e di centrobarica, imitando, o divinando ARCHIMEDE(58) ma introducendo nella tecnica delle proposizioni archimedee, notevoli semplificazioni, col sostituire la riduzione all'assurdo con dimostrazioni dirette, appoggiate a principii intuitivi, analoghi a quelli che ora sono posti a fondamento della teoria dei limiti, e col ridurre a generalit di metodo i procedimenti sparsamente seguiti da ARCHIMEDE per le singole proposizioni. Egli infatti ha osservato che la dimostrazione data da ARCHIMEDE, delle prop. 19, 20 dell'opera sui Conoidi e Sferoidi, si pu, tal quale, applicare a qualsiasi figura avente le medesime propriet specifiche che col sono da ARCHIMEDE presupposte.
.
Elimina poi la dimostrazione per assurdo, facendo uso di un principio che noi enunciamo brevemente col dire che il limite del quoziente  eguale al quoziente dei limiti.
L'abbandono delle sottigliezze logiche insite nel metodo di exaustione, ed il ritorno puro e semplice alla intuizione geometrica si riscontrano anche nelle operette composte da SIMONE STEVIN intorno al 1586 sull'equilibrio di figure geometriche, pubblicate in fiammingo col titolo: "De Beghinselen der Weeghconst", e "De Beghinselen des Waterwichts", tradotte in latino nella "Hypomnemata Mathematica", del 1608; ma divulgate solo nel 1634 nella traduzione francese di ALBERT GIRARD(59).
.
Lo STEVIN, buon conoscitore della matematica italiana, aveva in pregio l'"Algebra" di RAFFAELE BOMBELLI, da cui prese la notazione esponenziale delle potenze della incognita, conosceva anche il "De centro gravitatis" di COMMANDINO, e fu novatore pi ardito di entrambi. Prese anch'egli a trattare i problemi archimedei conservando l'impostazione tecnica della esposizione, ma tralasciando ogni cautela di ordine logico-critico, e fondandosi sopra principii intuitivi.
Credo che, a dichiarazione del suo modo di trattare quelle questioni, possa esser sufficiente il passo che qui riporter dalla traduzione del padre BOSMANS relativa alla nota sul centro di gravit della parabola(60):
"....j'argumente ainsi:
A. Entre toutes les pesanteurs qui diffrent, on peut assigner une pesanteur moindre que leur diffrence.
O. Entre les pesanteurs ADC et ADB, on ne saurait assigner de pesanteur moindre que leur diffrence.
O. Les deux pesanteurs ADC et ADB ne diffrent pas".
Il principio che qui si applica pu enunciarsi nella forma affermativa: "Due grandezze sono eguali se non si pu assegnare grandezza minore della loro differenza". Sostanzialmente non  diverso da quello che, nello stesso torno di tempo aveva enunciato anche LUCA VALERIO, ed  fondamentale nella teoria del limite.
Le opere dello STEVIN non ebbero grande divulgazione, fuor che nei Paesi Bassi, prima della pubblicazione postuma fatta nel 1634 da ALBERT GIRARD. Quelle invece di LUCA VALERIO furono, fin dal loro primo apparire, accolte con grande plauso e con universale consentimento. LUCA VALERIO fu detto novello Archimede, ed in grazia di quelle opere, accolto fra i Lincei, colla pi lusinghiera presentazione(61). Ci spieghi la rapida diffusione delle nuove idee e l'impulso che per esse ne venne al progredire del pensiero scientifico.
.
3 - SVILUPPI IN SERIE DI IRRAZIONALI QUADRATICI. LE FRAZIONI CONTINUE DI PIETRO CATALDI.
.
Nello stesso tempo in cui la geometria metrica iniziava una nuova fase di sviluppo con la introduzione del concetto di limite, nel vecchio tronco della Logistica il medesimo concetto innestava un nuovo ramo, che ha dato alla scienza frutti prodigiosi.
Il passaggio dal finito all'infinito, creava infatti le serie, i prodotti infiniti, le frazioni continue, che sono gli elementi costitutivi dell'Analisi moderna.
L'algoritmo infinito delle frazioni continue  un portato della scienza moderna; procede dalla Logistica, non dalla scienza pura dei classici,  sorto dalla indefinita iterazione di procedimenti empirici, ha preso posto nella scienza con la introduzione dei concetti di infinito e di limite, concetti che la critica eleatica aveva fatto bandire. Ma si riattacca alla crisi, che potrebbe dirsi eleatica, generata dalla scoperta dell'irrazionale, poich le sue prime origini sono appunto nella rappresentazione aritmetica delle irrazionalit quadratiche.
I pi antichi trattati di aritmetica pratica, dopo aver dato la regola per il calcolo della parte intera a della radice quadrata di un numero N = a2 + r, insegnano a calcolare rapidamente una radice assai prossima con regole empiriche, che conducono ad una delle due formule:
a1 = a + (N - a2)/ 2a, a1 = a + (N - a2)/ (2a + 1).
.
La prima di esse corrisponde al calcolo della media aritmetica fra il valore a e quello approssimato in senso opposto N/a. La seconda corrisponde alla antica regola di doppia falsa posizione.
Lo studio di tali mezzi di approssimazione per il calcolo di radici (anche di indice qualunque) era stato posto in primo piano dalla disputa fra FERRARI e TARTAGLIA. I quesiti 22, 23, 24, 25 proposti dal TARTAGLIA nel suo 2 Cartello, richiedono appunto regola opportuna al calcolo approssimato di radici di indici 5, 6, 7, 8 di particolari numeri proposti. E, sul modo tenuto per tale approssimazione, vi furono lunghe contese.
.
Anche BOMBELLI, nella sua "Algebra", se ne  occupato, ed ha dato elegante dimostrazione della formula approssimata a + (N - a2)/ 2a, con procedimento che avrebbe potuto condurre alla frazione continua, se il BOMBELLI avesse avuto preventiva cognizione di quel particolare algoritmo. Ma n lui, n gli altri aveva ancora mai pensato ad un tale genere di operazioni aritmetiche(62).
Le frazioni continue sono il risultato finale di una serie di ricerche fatte da PIETRO ANTONIO CATALDI, lettore "ad Mathematicam" nello Studio di Bologna negli anni dal 1548 al 1627(63), per la determinazione del modo pi rapido, pi semplice e pi sicuro, pel calcolo approssimato della radice quadra dei numeri(64).
.
Egli si sforza dapprima di giustificare ed estendere i procedimenti usati ab antiquo, e studia l'operazione risultante dalla indefinita iterazione di essi. Vede che il valor prossimo pu rappresentarsi come somma di termini, il cui numero va indefinitamente crescendo per successiva aggiunta di un nuovo termine, atto a correggere e migliorare la somma degli antecedenti. Ha in vista cio la rappresentazione del valore esatto come somma di infiniti termini, e, bench non rappresenti formalmente una tale somma infinita, ne d effettiva determinazione collo stabilire la legge di formazione di ogni termine dal precedente, ed, egli per primo, d la legge degli errori, cio della convergenza delle serie trovate, col dare regola opportuna al calcolo della differenza fra il quadrato della somma dei primi n termini ed il dato numero N del quale si cerca la radice, senza che occorra quadrare la somma trovata(65).
Considera poi le possibili generalizzazioni dei procedimenti antichi, e si propone di determinare quello, fra tutti, che d la massima approssimazione col minor travaglio, cio il modo brevissimo di trovare la radice quadra dei numeri: per tal modo riesce a scuoprire la frazione continua, insegna a costruirla, e ne trova tutte le fondamentali propriet formali.
Osserva anzitutto che la espressione(66)  sempre radice eccedente del numero N, sia la a0 che quantit si voglia (positiva) e che se colla radice trovata si forma una nuova radice la quale si scriver: od anche essendo
r0 = N - a02, r1 = a12 - N.
E, se si continua cos operando su questa seconda radice, e poi sulla terza che da lei si ottiene.... e cos dell'altre quanto si piacesse, "le radici
che per tal modo si formano, sono tutte eccedenti, e sempre pi propinque essendo l'eccesso del quadrato della quantit della radice trovata sul dato numero, eguale al quadrato della quantit che si cava dalla radice precedente per formare quella che si considera" cio che
Da cui si vede che la differenzatende rapidamente allo zero, e la somma an dei primi n-1 termini della serie tende rapidamente alla radice di N, qualunque sia il valore assegnato al primo termine a.
.
Questo fatto si verifica immediatamente dall'esame della figura che interpreta geometricamente il metodo di approssimazione di NEWTON, di cui la formula [torna a pag. 136] immediata applicazione, ma la scoperta di questo fatto, veramente inaspettato,  dovuta al CATALDI.
Analoghe considerazioni fa il CATALDI per la serie della forma:
e per quelle pi generali della forma:
a, radice scarsa, b radice eccedente,   che avvicinano per valori tutti scarsi, alla radice quadrata del numero
.
Il CATALDI ha osservato che c' arbitrariet nella scelta del valore da dare a b nel procedimento indicato, e che alle diverse scelte, corrispondono diverse rapidit nella tendenza al valore vero della radice. E ci lo porta allo studio generale del Problema: indicato il valore prossimo della radice del numerocolla espressionetrovare con regola generale quanto il quadrato della radice prossima

formata col porre un numero determinato p/q al posto di x  maggiore o minore del dovere, senza quadrare la radice.
Ha indicato col nome di Rotto aggiunto la frazione p/q, che va posta al luogo di x, di Rotto totale la frazione risultante
ed ha, in particolare, trovato che: La radice prossima risultante
sar scarsa od eccedente, secondo che il Rotto aggiunto era eccedente o scarso.
Ora, poich il rotto p/q = r/2a,  eccedente, da esso ricaveremo un rotto scarso ed essendo questo scarso, sar eccedente il terzo da esso generato: e questo terzo ne produrr un quarto scarso e cos sempre.... all'infinito.
Eccoci giunti alla frazione continua. E lo stesso procedimento seguito per la sua formazione ci dice che il rotto (noi diciamo la ridotta dell'ordine n) si ricava dal precedente (di ordine n-1) mediante la formula (67)
.
e se la  eccedente o scarsa, lasar scarsa od eccedente. Cio le successive ridotte saranno alternativamente scarse ed eccedenti.
Il CATALDI ha dunque, non solo scoperto e costruito la frazione continua, ma ha anche dato modo di trovare immediatamente la relazione fra due ridotte consecutive, dalla quale tutte le propriet formali di quell'algoritmo immediatamente si derivano.
Ha inoltre paragonato la rapidit di convergenza al valor vero della frazione continua e delle serie precedentemente da lui studiate. Ha visto che le serie che danno valori scarsi, riproducono tutte le ridotte di ordine pari, della frazione continua; quelle che danno valori eccedenti, solo alcune di quelle di ordine dispari; nessuna pu da sola generare tutte le ridotte. Cosicch gli antichi procedimenti per il calcolo approssimato della radice quadra dei numeri non avrebbero potuto immediatamente condurre alla scoperta della frazione continua.
.
4. - LA CONTINUIT NEL CAMPO NUMERICO.
.
Le serie infinite studiate dal CATALDI per il calcolo di radicali quadratici, e la frazione continua da lui genialmente costruita, introdussero nel campo numerico, squisitamente discontinuo, idee e metodi prima d'allora riservati alla determinazione delle aree e dei volumi nel campo geometrico, essenzialmente continuo.
L'irrazionale, inesprimibile con numero, figura come elemento di separazione fra le somme sempre crescenti delle serie scarse, e quelle sempre decrescenti delle eccedenti, nello stesso modo che l'area del cerchio figura come elemento di separazione fra quelle dei poligoni inscritti e dei circoscritti. Ed alla determinazione della differenza evanescente fra le aree dei poligoni inscritti e circoscritti, corrisponde, nella trattazione di CATALDI, quella dell'errore che si commette assumendo per valore prossimo la somma di un determinato numero di termini di una delle due serie di CATALDI, ed una speciale ridotta della frazione continua, e CATALDI dimostra anche che quell'errore pu farsi piccolo a piacere.
Che pi mancava per la introduzione nel campo aritmetico del concetto di limite, che gi si era affacciato nel campo geometrico? Mancava l'attribuzione, al corpo numerico, del valore vero, inesprimibile, delle radici quadrate di numeri non quadrati. Il passaggio al limite non poteva, in quei primi tempi, essere concepito senza la preventiva cognizione della grandezza cui i termini di una successione infinita indefinitamente si accostano, senza mai poterla raggiungere.
.
Ma, sopratutto, mancava, o non era ancora sufficientemente chiaro, il concetto di infinito attuale, nella comprensione unitaria di un procedimento che la mente vede continuato, oltre lo scritto, all'infinito.
Concetto che GALILEO esprimeva eloquentemente quando, parlando della indefinita divisione eleatica, diceva: "niuna di tali divisioni esser l'ultima, ma ben l'ultima esser quella che lo risolve in infiniti indivisibili, alla quale si perverrebbe nella maniera che propongo io: di distinguere e risolvere tutte le infinite in un tratto solo".
.
5. - L'INFINITO ATTUALE E L'INFINITESIMO ATTUALE, NELLA MATEMATICA.
.
Ed invero non oserei affermare che CATALDI, con un tratto solo si rappresentasse l'irrazionale quadratico, come identificato nella totalit dei termini di una delle sue serie, o nell'ultima ridotta della frazione continua. Nello stesso modo che, nelle quadrature archimedee, il cerchio non pu dirsi considerato come poligono di infiniti lati.
Ma si pu ben dire che lo studio di serie infinite e la scoperta della frazione continua, hanno aperto un gran varco per l'infinito nel campo numerico, prima d'allora chiuso a tali indagini, poich, dopo un periodo, relativamente breve, di incubazione, vediamo le serie, le frazioni continue, i prodotti infiniti apparire quasi contemporaneamente nelle opere dei maggiori matematici di quel tempo.
Le idee erano infatti gi rivolte verso i nuovi indirizzi: le prolisse dimostrazioni per esaustione sono buttate da parte con indicibile sollievo, ed  una gara nel rifare, al modo nuovo, la matematica antica. Sono di quel tempo le interpolazioni, le contaminazioni delle proposizioni e dei testi euclidei ed archimedei coi nuovi concetti di infinito e di limite, fatte parte per adattare gli antichi testi alle nuove esigenze, parte per conferire alle nuove idee l'autorit del nome, cui si fa ricorso quando il convincimento non pu essere ottenuto con deduzioni logiche da indiscussi principii. E, nella discussione dei principii, si ritorna a DEMOCRITO, perch i pochi frammenti e le incerte tradizioni, lasciano adito alle pi ardite ricostruzioni.(68)
.
6. - KEPLERO E LA STEREOMETRIA DOLIORUM.
.
La concezione monadica, non solo della materia fisica, ma anche delle grandezze geometriche, conferiva perspicuit alle indagini ed apriva largo campo alla fantasia. E si esager, anche, su questa strada.  del 1615, due anni dopo la comparsa dell'opera di CATALDI sulle frazioni continue, la "Stereometria doliorum", dove G. KEPLERO intende di fare, a modo suo, un supplemento ad ARCHIMEDE, con procedimenti affatto personali, senza unit di metodo, anzi senza metodo, se non si voglia considerare come metodo, la verificazione a posteriori del risultato finale ottenuto per particolari problemi.
Lo stesso KEPLERO, del resto, pare non prenda troppo sul serio il suo libro, quando a conclusione della seconda parte di esso, dedicata al calcolo della capacit delle botti da vino, pone questa graziosa parodia di CATULLO:
"Et cum pocula mille mensi erimus,
Conturbabimus illa, ne sciamus.(69)
.
Sta il fatto che, se alcune delle sue quadrature furono genialmente concepite, ed ebbero, nel seguito, importanti applicazioni, altre, appoggiate ad intuitive vedute, o ad affrettate deduzioni "per analogia", sono fondamentalmente errate, onde venne che tale pubblicazione, nel primo tempo almeno, non favor, anzi rallent lo sviluppo dei metodi nuovi; ma, ad ogni modo, col destare vivace discussione, attir sui nuovi problemi l'interesse della scienza(70).
.
7. - SOMMA DI SERIE INFINITE. E. TORRICELLI.
.
Di ben altra importanza, pel progresso del pensiero scientifico, furono le opere di GALILEO e dei suoi discepoli: BONAVENTURA CAVALIERI, EVANGELISTA TORRICELLI, PIETRO MENGOLI.
Nel Discorso sopra due nuove scienze, pubblicato nel 1638, ma nelle parti essenziali noto fino dal 1620, nella Geometria degli indivisibili, nell'Opera Geometrica di Torricelli, l'Analisi infinitesimale moderna ha trovato, non solo le origini, ma i suoi fondamentali sviluppi..

La quadratura di figure geometriche aventi estensione lineare o superficiale infinita, le acute considerazioni di ordine infinitesimale che accompagnano l'esposizione dei principi su cui TORRICELLI fondava il suo metodo - "per lineas supplementares" (che preludia al metodo differenziale del LEIBNIZ), dimostrano che il passo necessario alla comprensione del concetto di infinito attuale nella totalit degli elementi di una successione infinita, era gi stato compiuto e superato(71). Lo stesso principio degli indivisibili di CAVALIERI suppone in atto l'infinitesimo nell'indivisibile, e l'infinito nella totalit di tali elementi.
.
Ma giova qui considerare che, pur rimanendo nel campo geometrico, e senza scostarsi dal rigore proprio delle opere classiche, fino dal 1641(72) EVANGELISTA TORRICELLI riesciva a costruire un segmento atto a rappresentare la somma di tutti gli infiniti termini di una progressione geometrica decrescente di segmenti, comunque data, ed insegnava a sommare progressioni geometriche infinite, decrescenti, di qualunque specie di grandezza (etiam in numeris).
.
Questo passo (nello sviluppo della teoria del limite e delle serie), del quale si fa grande merito a GREGORIO DI SAN VINCENZO ed allo scolaro suo ANDREA TACQUET(73)  di capitale importanza nella storia del pensiero scientifico, perch non si tratta di sviluppare in serie (od in frazione continua) una grandezza nota; in altri termini di trovare una legge costante con cui si seguano i termini di una serie infinita, in modo che la somma dei primi n di essi vada sempre pi avvicinandosi alla grandezza data, col crescere di n, e si possa poi concludere che la somma di tutti non ne differisce affatto. Si tratta invece del problema inverso: si suppone cio che sia data una serie di infiniti termini (cio che sia data la legge di formazione con cui da ogni presupposto termine si generi il successivo), e si vuol antivedere quale sar il valore dell'ultimo, e la somma di tutti.
.
 ben vero che, nella fattispecie, si tratta di una classe speciale di serie (quelle di grandezze continuamente proporzionali); ma  anche vero che questo specialissimo caso non si seppe - o non si ard - risolvere, nella antichit classica, e che, nelle moltissime questioni in cui ebbe a presentarsi, si cercarono strade traverse, trascurando la soluzione diretta, per raggiungere lo scopo(74). Sar dunque opportuno che, brevemente si accenni alla strada diretta, seguita dal TORRICELLI, e, (dopo di lui), da GREGORIO DA SAN VINCENZO, e dal TACQUET(75).
Le proposizioni torricelliane sono esposte nei Lemmi 24, 25, 26, 27 dell'operetta "De dimensione parabolae" pubblicata nel 1644, e riportata anche nella edizione faentina delle opere di TORRICELLI al tomo I, parte I (pp. 147-150).
.
Nel Lemma 24 TORRICELLI dimostra che se le rette AB, CB concorrono nel punto B, e se fra esse  tracciato il flessilineo CADEFG... in modo che siano fra loro paralleli i segmenti CA, DE, FG, ...., AD, EF,....; i segmenti fra loro paralleli sono in proporzione continua.
Nel Lemma seguente dimostra che: se poniamo fra le rette concorrenti AB, CB, i segmenti AC, DE, paralleli fra loro, e, congiunti A,D, immaginiamo il flessilineo continuato ad infinitum, si troveranno in esso tutti i termini (omnes et singulos ad unguem terminos) della proporzione geometrica infinita che ha per primi termini AC, ED.
.
Dimostra anche che niuno dei termini della progressione, pu non appartenere al flessilineo.
Lemma 26, Problema: Data la progressione geometrica decrescente di segmenti a1, a2, a3,... trovare un segmento eguale alla somma di tutti. (Suppositis infinitis rectis lineis continua proportione maioris inaequalitatis, rectam lineam, quae praedictis sit aequalis reperire).
Fatto AC = a1, DE = a2, se i segmenti AC, DE, saranno paralleli, le rette AE, CD, concorreranno in un punto B, e nel flessilineo continuato all'infinito fino al punto B, saranno compresi tutti i termini della progressione. Dal punto B, si conduca BL parallela a DA, fino ad incontrare la AC nel punto L. Sar CL il segmento richiesto.
Infatti, tutti i segmenti del flessilineo, dei quali il primo  CA, (cio tutti i termini della progressione) sono eguali ai segmenti similmente posti del segmento CL.
Lemma 27(76). Suppositis infinitis magnitudinibus in continua proportione geometrica maioris inaequalitatis, erit prima magnitudo media proportionalis inter primam differentiam et inter aggregatum omnium.
Assumpta enim praecedenti constructione, ducatur DU aequidistans ipsi AB, et erit CU prima differentia. Sed CU ad primam magnitudinem AC est ut CD ad CB, hoc est ut CA ad CL, aggregatum omnium.
Dalla proposizione torricelliana viene immediatamente la formula oggi usata per la somma degli infiniti termini della progressione geometrica decrescente. Si ha infatti:
da cui:
.
8. - LE QUADRATURE ARITMETICHE DI PIETRO MENGOLI.
.
Si deve ad uno scolaro di CAVALIERI, il Bolognese PIETRO MENGOLI, la ripresa degli studi che il suo concittadino PIETRO ANTONIO CATALDI, aveva iniziato sugli algoritmi infiniti. Ci nell'opera "Novae quadraturae arithmeticae" pubblicata a Bologna nel 1650(77).
Le opere del MENGOLI erano ai suoi tempi pregiate e diffuse anche fuori d'Italia; ma poi, forse per la terminologia ed il simbolismo da lui introdotti e non pi usati, furono trascurate e dimenticate. Furono G. ENESTRM e G. VACCA(78) a rivendicare a MENGOLI il merito di aver per primo sommato serie infinite diverse dalle progressioni geometriche, e dimostrato l'esistenza di serie il cui termine generale tende allo zero, e nelle quali la somma degli infiniti termini pu superare qualsiasi quantit data.
.
Il MENGOLI nella prefazione delle sue "Quadrature Aritmetiche" dice di essere stato indotto a quello studio dalla contemplazione della memoria di ARCHIMEDE sulla quadratura della parabola, dove si considerano infiniti triangoli procedenti in proporzione quadrupla, e dalla dimostrazione fatta da geometri (TORRICELLI) che la somma di infinite grandezze, in qualsiasi proporzione continua decrescente, converge verso una quantit finita.
Considera in generale le serie il cui termine generale tende allo zero, e trova che alcune di esse hanno somma finita, altre, infinita. "Ut aliqua possit assumi minor qualibet proposita, vel ut deficientes in infinitum evanescant, infinitae compositae omnem propositam quantitatem valeant superare" (p. 1 della Praefatio).
Dimostra infatti, con procedimento analogo a quello seguito da TORRICELLI per la divergenza dell'integrale  la divergenza della serie armonica, ed in generale della serie degli inversi di una progressione aritmetica.
.
Il prof. VACCA ha fatto giustamente osservare (loc. cit.) che "L'ENESTRM non rende giustizia al MENGOLI, pretendendo che nello scritto del MENGOLI manchi la conclusione. Essa c', e pi volte ripetuta(79).  veramente ingiusto, dopo aver letto il MENGOLI, l'attribuire ancora a GIACOMO BERNOULLI il merito di avere per il primo, nel 1689, dimostrato la divergenza della serie armonica".
.
Il MENGOLI considera poi la serie delle inverse dei numeri triangolari; dice che questa si pu quadrare e che la somma  eguale ad 1, perch la somma dei primi n termini  data da n/n+ 2(80), e questa differisce da 1 meno di qualsiasi quantit data: "Quod aggregatae quotlibet a prima sunt aequales numero multitudinis ipsarum denominato per numerum binario maiorem, et propterea semper unitate sunt minores eo defectu, qui iuxta multitudinis additarum fractionum incrementum infra quamlibet assignatam magnitudinem diminuitur et in infinitum evanescit" (P. 7 della Praefatio).
Troviamo qui, non solo il chiaro concetto di limite, e di somma di una serie infinita, ma l'implicita definizione di questi concetti espressa in forma che per precisione di termini non perde al confronto di quella che, dopo CAUCHY,  entrata nell'uso comune.
Questo teorema, enunciato nella prefazione,  dimostrato, nelle prime 17 proposizioni del testo, con rigore euclideo di deduzione logica: notevole fra quelle proposizioni l'Assioma primo (p. 18).
"Quando infinitae magnitudines infinitae sunt extensionis, possunt in aliqua multitudine sumi, ut superent quamlibet propositam extensionem", che d una implicita definizione di quantit variabile tendente all'infinito.
La proposizione seguente (Prop. 15) d la condizione di convergenza di una serie a termini positivi: "Quando in ordine magnitudinum, quotlibet assumptae sunt minores una eandem proposita magnitudinem generis eiusdem, omnes a prima in infinitum dispositae, et aggregatae sunt extensione finitae".
Con eguale rigore logico il MENGOLI dimostra che converge la somma degli inversi dei numeri n(n + r) ed :
Cos pure degli inversi di numeri solidi:
con procedimenti che valgono in generale per serie della forma
Ed infine che convergono le serie:
dove le am, le p e le h sono numeri interi positivi, ed  per ogni m, am+1 > am.
"...So viel ich weiss (osserva a questo punto l'ENESTRM) sind Reihen der fraglichen Art sonst nicht vor Taylor(81) und Nicole(82) summirt worden".
Il modo con cui dal MENGOLI  condotta la trattazione di queste nuovissime sue proposizioni, implica la conoscenza di una compiuta teoria dei limiti. Tale  difatti quella che egli ha esposto nell'"Elementum tertium" dei suoi: "Geometriae speciosae elementa". Spetta al prof. AGOSTINI il merito di aver scoperto questa teoria e di averla interpretata con terminologia e simbolismo moderno; ch appunto la terminologia ed il simbolismo introdotti in essi dal MENGOLI ne rendono oscura la interpretazione(83). MENGOLI considera gli enti numerici a/b, definiti dal limite(an, bn interi positivi) e dimostra che le propriet dei rapporti e delle proporzioni valgono anche al limite, per rapporti a/b cos definiti, quando essi siano diversi da zero e da infinito, e, nel caso contrario, enuncia propriet del calcolo degli infiniti e degli infinitesimi.
Sono in sostanza i principii della "Teoria dei limiti" ed il "Calcolo dei limiti", esposti con metodo classico. E tutto ci ventotto anni prima che NEWTON pubblicasse i suoi: "Philosophiae naturalis principia mathematica".
Della Geometria speciosa di PIETRO MENGOLI, e degli integrali definiti col calcolati, daremo cenno nel paragrafo seguente.
...
.
...
Paragrafo 2.
...
.
...
Primordi del Calcolo infinitesimale.
...
.
...
1. - LA GEOMETRIA DEGLI INDIVISIBILI DI BONAVENTURA CAVALIERI.
.
CAVALIERI BONAVENTURA (1598?-1647, Bologna).  sconosciuto il nome di battesimo, quello di BONAVENTURA essendo il nome da lui assunto entrando in religione. Nemmeno la data di nascita  conosciuta, e l'anno 1598, bench concordemente dato dai suoi biografi, non  sicuro.
Entr giovanissimo nell'ordine dei Gesuati [torna a pag. 212] (non gesuiti!) di S. Girolamo, in Milano; trasferitosi intorno al 1616 a Pisa, pot quivi essere guidato negli studi di matematica da BENEDETTO CASTELLI, lettore, in quel tempo, di matematica nello Studio di Pisa.
Le premure del GALILEO, quelle non meno pressanti del CASTELLI e le concordi informazioni sul merito singolarissimo di lui, mossero i signori del Reggimento della citt di Bologna, a chiamarlo alla primaria cattedra di matematica (resasi vacante per la morte del CATALDI), che egli occup a partire dall'incominciamento dell'anno scolastico 1629-30, fino al termine della sua vita.
.
Fu, a Bologna, priore del convento di Santa Maria della Mascarella, chiamato a questa carica (del tutto onoraria) con breve di URBANO OTTAVO, "perch potesse stare con quiete in quello, e non havesse altro superiore al quale fosse soggetto". La sua attivit scientifica fu interrotta solo dai gravi e frequenti attacchi di gotta, che incominciarono in giovine et, e pi tardi gli tolsero quasi affatto l'uso delle gambe, cos da costringerlo a farsi trasportare sulla cattedra.
.
L'esercizio del suo insegnamento che richiedeva lo svolgimento della teoria dei pianeti ed esigeva il calcolo delle effemeridi, per uso astrologico, lo obblig, per un verso, ad approfondire la teoria copernicana circa il sistema del mondo, che, primo in Italia, egli divulgava dalla cattedra, e, d'altro lato, pur rifuggendo dai pregiudizii della "Giudiciaria", a fare la figura celeste per quanto spetta alla astrologia, "per acconciarsi al genio del paese e all'andazzo dei tempi"(84).
Questo aspetto della attivit scientifica del CAVALIERI si manifesta in alcune delle opere minori di lui, le quali tuttavia sono notevoli, sia per interessanti sviluppi pertinenti alla trigonometria sferica, sia per geniali applicazioni della teoria dei logaritmi, che egli per primo ha introdotto in Italia, sia per la costruzione delle coniche per mezzo di fasci proiettivi, nell'interessante opuscolo sullo Specchio ustorio(85).
.
Ma l'opera capitale del CAVALIERI, quella per cui egli rimarr nella storia della matematica,  la "Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota".
Una lettera al GALILEO del 15 dicembre 1621 ci mostra che fino da quell'epoca il CAVALIERI era in possesso delle idee fondamentali cui si impronta la nuova sua Geometria. L'opera era compiuta nel novembre 1627, e nel 1629 il manoscritto fu consegnato al Reggimento del comune di Bologna, come titolo di appoggio alla sua domanda per la cattedra di matematica. Ma la stampa ne fu procrastinata, e non pot essere finita che nel 1635(86).
.
Come fondamento logico della sua teoria, CAVALIERI aveva posto una genesi delle figure geometriche, per cui queste erano rappresentate come totalit di elementi primordiali che furono detti indivisibili: la linea, come totalit di punti, la superficie come totalit di linee, il corpo geometrico, come totalit di superficie.
O, meglio, CAVALIERI considerava la totalit degli elementi indivisibili di un dato ente geometrico, come posti in corrispondenza biunivoca cogli indivisibili omologhi di un'altra figura, cui la prima era riferita, ed a presupposte (o verificate) relazioni fra gli indivisibili, deduceva necessarie relazioni fra la loro collettivit, cio fra le figure proposte. Nella forma pi elementare quel principio si riduce a ci: Date due figure piane, comprese fra rette parallele, se tutte le rette parallele ad esse determinano in dette figure segmenti eguali, anche le figure saranno fra loro eguali (in area). E se i segmenti corrispondenti avranno fra loro rapporto costante, anche le figure proposte avranno fra loro il medesimo rapporto.
.
E se si tratta di figure solide, poste fra piani paralleli, diremo che: se tutti i piani paralleli ad essi determinano, in dette figure, superfici di egual area, anche le figure proposte avranno egual volume, e se fra due superfici corrispondenti passa rapporto costante, egual rapporto avranno fra loro i solidi considerati.
.
"Figurae planae habent inter se eandem rationem, quam eorum omnes lineae iuxta quamvis regulam assumptae; Et figurae solidae, quam eorum omnia plana iuxta quamvis regulam assumpta"(87).
.
Si vede subito quanta semplicit porti l'applicazione di un tale principio allo studio di figure geometriche.
Il famoso teorema, sul rapporto di due piramidi aventi la stessa altezza, che in EUCLIDE porta via non so quante pagine di sottili elucubrazioni, si dimostra in due parole, osservando che i piani paralleli alle basi, nelle due piramidi, aventi egual distanza dalle basi stesse determinano in dette piramidi superfici che stanno fra loro come le basi.
E la regola per il calcolo dell'area della ellissi, si ricava immediatamente da quella del cerchio. Le sezioni FG, FH, fatte nella semiellissi e nel semicerchio, con una retta che si muova con moto di traslazione uniforme, mantenendosi parallela alle tangenti comuni (al cerchio ed alla ellissi) nella estremit del diametro, sono fra loro nel rapporto costante dei semiassi b : a. Tale sar dunque anche il rapporto delle aree di quelle figure, e si avr: area ellissi : area cerchio :: b : a da cui: Area ellissi = pab.(88).
.
Facendo rotare la figura, qui sotto descritta, intorno all'asse OH, il quadrato OHBC genera un cilindro, il triangolo OHB, un cono, ed il quadrante OHKC, una emisfera. Dalla relazione , cio: , od anche (89), si ricava che fra le sezioni determinate in quelle figure da un piano che si muova di moto di traslazione mantenendosi normale all'asse, passa questa relazione: che tutti i cerchi del cilindro sono rispettivamente eguali alla somma dei corrispondenti cerchi della emisfera e del cono. Anche il volume del cilindro sar dunque eguale alla somma dei volumi della emisfera e del cono. Cio: = vol. emisf. +da cui Vol. emisfera =.
.
Si voglia quadrare il segmento parabolico VAB, del quale VA  asse ed x = py2 la equazione.
Si consideri anzitutto che l'area cercata  differenza fra l'area del rettangolo circoscritto VABC, e quella del trilineo VEBCD. (Ci che corrisponde alla integrazione per parti).
Considerando una qualunque delle infinite secanti DE, parallele a VA nel trilineo, e prolungata questa in DF = VD, si vedr che tutte le misure dei segmenti DE sono eguali al prodotto di p per l'area del corrispondente quadrato FDF1D1; anche tutta l'area della figura VEBCD sar dunque eguale al prodotto di p per il volume della piramide VGCC1G1, cio si avr:
e, per l'area del segmento parabolico:
.
Abbiamo preso, un poco a caso, questi esempi della pratica applicazione del metodo generalissimo che CAVALIERI ha introdotto nella scienza, ed a cui, anche oggi, ricorriamo per l'effettivo calcolo degli integrali definiti. Le trasformazioni cavalieriane sono, infatti, quelle che facciamo integrando per parti, per sostituzione, per scomposizione in somma di termini integrabili,... esse domandano come punto di partenza la nozione effettiva di certe quadrature, che possono dirsi fondamentali, perch da esse poi le altre si derivano.
.
CAVALIERI, con intuito geniale, fiss come punto di partenza la quadratura delle parabole generali, delle curve cio, che noi rappresentiamo colla equazione:, scopr la proposizione che ne d la quadratura, , ne diede dimostrazione per quei valori di m che correntemente si presentano nelle questioni geometriche, ed ebbe coscienza della sua generalit, che il suo scolaro TORRICELLI dimostrava per qualunque valore razionale (anche frazionario e negativo) dell'esponente m.
Non solo egli riesciva per tal modo a trovare, con procedimento semplice ed uniforme, tutte le quadrature che da ARCHIMEDE in poi con svariatissime industrie erano state faticosamente eseguite, ma ad indicarne infinite altre, che da quelle potevano essere derivate.
.
 meravigliosa la diffusione dell'opera di CAVALIERI, e la forza di suggestione che essa seppe esplicare: non solo i dotti subito si giovarono, nelle loro indagini, dei concetti e perfino del frasario degli indivisibili; ma in tutte le scuole si insegn geometria al modo degli indivisibili; incominciando dalle prime classi con le "Leons de Gomtrie de Lacaille", fino alle pi elevate, colle "Lectiones geometricae" del BARROW, che fu maestro di NEWTON. Gli stessi scienziati cui si attribuisce la creazione del calcolo infinitesimale, riconoscono nella "Geometria degli indivisibili" l'origine delle idee e dei metodi seguiti nelle loro ricerche.
Gli infinitesimi del LEIBNIZ non sono altro che gli indivisibili del CAVALIERI; ed egli usa promiscuamente quei due nomi nel dare i fondamenti della sua teoria. Perfino il simbolo ?, che noi ora usiamo per l'integrazione, fu introdotto dal LEIBNIZ colla dichiarazione espressa che esso dovesse rappresentare la frase: "omnes lineae", usata a quello scopo dal CAVALIERI(90). E nell'opuscolo: "De Geometria recondita et Analysi indivisibilium atque infinitorum (Acta Eruditorum, Lipsia 1686, p. 298), scriveva "Primi Galileus et Cavallerius involutissimas Cononis et Archimedis artes detegere coeperunt".
.
Nel Commento alla "Philosophiae Naturalis Principia Mathematica" di NEWTON, t. I, p. 80(91), si legge "Hic pedem fixerant veteres, primusque longius progredi ausus est celeberrimus geometra Bonaventura Cavalerius, qui anno 1635 indivisibilium methodum in geometriam introduxit".
Il WALLIS scriveva al granduca di Toscana: "Il vostro Torricelli ha illustrato e promosso il metodo degli indivisibili del CAVALIERI, che  il fondamento della mia "Aritmetica degli infiniti"(92).
Ricorderemo infine che lo CHASLES nel suo "Aperu historique" scrive: "La Gomtrie des indivisibles de Cavalieri (1635) vint enrichir la science, et marquer l'poque des grands progrs qu'elle a fait dans les temps modernes" (p. 57).
.
2. - LE ESERCITAZIONI GEOMETRICHE.
.
Eccitato dalle critiche di taluni oppositori, il CAVALIERI, a chiarire la metafisica della sua teoria, scrisse le "Exercitationes geometricae Sex" (pubblicate a Bologna nel 1647, pochi mesi prima della sua morte), nelle quali esponeva due diversi punti di vista, che dovevano diventare classici nella scienza(93).
Dal punto di vista della continuit, che, in causa della rappresentazione geometrica si manifestava sotto forma di movimento e si presentava spontaneamente quando GALILEO imprendeva lo studio del movimento fisico con l'applicare ad esso la geometria, gli indivisibili possono essere considerati come privi di spessore, a condizione di supporli animati da un movimento(94), cio da una flussione. Gli enti geometrici vengono considerati come fluenti nei loro indivisibili, e la misura della estensione si desume dal confronto "collective, hoc est comparando aggregatum ad aggregatum".
.
In una seconda interpretazione, guidata dai concetti di infinito e di limite, che allora si affacciavano nella scienza, il confronto fra gli indivisibili poteva esser fatto "distributive, comparando singillatim.... quamlibet rectam figurae, ABCD, cuilibet recta figurae EFGS, sibi in directum existenti"(95).
La parola e l'idea del CAVALIERI, nel primo punto di vista, ebbero pi tardi fortuna nella scuola di NEWTON, che considerava il Calcolo infinitesimale, come Calcolo delle flussioni.
Il secondo punto di vista considerava gli indivisibili come enti geometrici aventi estensione non assolutamente nulla, ma infinitesima, e portava alla valutazione di rapporti fra infinitesimi dello stesso ordine. Questo concetto, dal CAVALIERI appena intravisto, fu meglio sviluppato in talune produzioni geometriche dei suoi scolari, e segnatamente dal TORRICELLI. Dal LEIBNIZ fu posto a base del Calcolo differenziale ed integrale.
...
.
...
Paragrafo 3.
...
.
...
L'opera geometrica di Evangelista Torricelli.
...
.
...
1. EVANGELISTA TORRICELLI (Faenza? 15 ottobre 1608-Firenze 25 ottobre 1637).(96) - Egli stesso volle sempre essere chiamato faentino, ma non  ben noto il luogo di sua nascita. Fece i suoi primi studi a Faenza, sotto la guida dello zio ALESSANDRO, monaco camaldolese, e dei padri gesuiti che avevano a Faenza un collegio con alcune scuole.
Nell'et di 18 anni fu mandato a Roma alla scuola di BENEDETTO CASTELLI, e presso di lui, per circa 15 anni, fu ad un tempo scolaro, segretario, confidente. Nei primi di ottobre 1641, per invito di GALILEO, entrava nella casa di lui, prima come aiuto e compagno, poi, dopo appena tre mesi, come successore per la sopravvenuta morte di quel grande.
.
2. - Nei suoi primi saggi, TORRICELLI si contenta di far mostra di erudizione, studiandosi, pi che altro, di emulare gli antichi nella perfezione della forma e nel rigore del metodo. Ci nel periodo, che pu dirsi preparatorio, e non va oltre l'anno 1641. Appartengono a questo periodo gli opuscoli sui Solidi sferali, sui Contatti, e la maggior parte di quelle proposizioni e di quegli sparsi problemi che, raccolti dal VIVIANI, costituirono le collezioni che vanno coi nomi di "Campo di Tartufi", "De planis varia", "De solidis varia", "De circulo et adscriptis",....
.
3. Inviluppi. - Fin da quei primi inizii, peraltro, egli seppe dar saggio della sua fantasia geometrica con la scoperta degli inviluppi di curve, dei quali, nel gennaio 1641, dava il primo esempio colla cosidetta: "Parabola di sicurezza"(97).
 opinione diffusa che si debba riconoscere la prima manifestazione del concetto di inviluppo ed il primo inizio della dottrina degli inviluppi nel problema della determinazione della curva tangente alle infinite parabole descritte da proiettili usciti da uno stesso punto con costante velocit, ma con inclinazioni diverse. La risoluzione di questo problema si attribuisce a G. BERNOULLI, la sua generalizzazione al LEIBNIZ; e, dal Commercio epistolare fra LEIBNIZ e BERNOULLI (1691) si fa datare l'origine della teoria degli inviluppi(98). D'altra parte  noto che quel problema era stato trattato (50 anni prima) anche dal TORRICELLI; e ci potrebbe far credere che l'opera del TORRICELLI dovesse essere riguardata come trascurabile.
Leggiamo infatti nella classica opera del CANTOR(99).
"Il TORRICELLI seppe che se si lanciano proiettili da uno stesso punto e colla medesima velocit iniziale, lasciando variabile l'angolo secondo essi sono diretti, il luogo geometrico dei vertici delle parabole percorse da tali proiettili  una nuova parabola. Egli ha con ci presentito il concetto di curva inviluppo, sebbene egli non lo abbia mai direttamente conosciuto".
.
Ma quelle affermazioni non rispondono ai fatti: e valga il vero:
1) TORRICELLI non ha mai detto che il luogo dei vertici di quelle parabole sia una nuova parabola. Questo luogo infatti non  una parabola. Invece  una ellisse, e questa verit, scoperta fin dal 1641 dal TORRICELLI, si trova esattamente enunciata e rigorosamente dimostrata alla Prop. 19 del libro 2 nell'opera: "De motu gravium naturaliter descendentium" da lui pubblicata l'anno 1644(100).
2) L'ellisse di TORRICELLI, luogo dei vertici delle parabole considerate, non  affatto inviluppo per tale famiglia di curve. L'inviluppo richiesto  invece una parabola, la quale fu appunto scoperta, insieme colla propriet di essere tangente a tutte le parabole della famiglia, da TORRICELLI, che fin dal 1641 comunicava la sua scoperta ai matematici italiani, e, nel 1643 anche a quelli di Francia.
3) La propriet caratteristica di quell'inviluppo si trova, non solo perfettamente enunciata, ma dimostrata con ogni desiderabile rigore al Libro II, prop. XXX dell'opera di TORRICELLI: "De motu gravium", superiormente ricordata.
4) TORRICELLI, infine, non solo d prova di avere chiara cognizione del concetto di inviluppo, ma espone con esattezza e perspicuit questo concetto, e dimostra con rigore geometrico ogni proposizione da lui enunciata.
.
4. Gli indivisibili curvi di TORRICELLI. - Invitato da CAVALIERI a sciogliere alcuni problemi, TORRICELLI Si trov obbligato a prendere cognizione del metodo degli indivisibili, che dapprima parve non voler accettare senza le pi prudenti riserve; ma del quale poi, fatta esperienza della fecondit del metodo e della certezza dei risultati, si fece efficacissimo promotore.
Il concetto di indivisibile assume in TORRICELLI una pi vasta estensione. Prescindendo dalla traslazione della retta (o del piano) che nella geometria cavalieriana determina le sezioni corrispondenti nelle figure da confrontare, TORRICELLI suppone gi preesistente in tali figure la totalit degli elementi primitivi (di aree o di volumi) che intende di porre in confronto, senza alcuna limitazione nella forma di tali indivisibili, n sul modo con cui si intendono generati.
Baster un paio di esempi a chiarimento di tale principio e della sua pratica applicazione.
.
1. La regola per l'area del cerchio dedotta da quella che serve per l'area del triangolo.
Nel cerchio che ha per raggio OB, sia il segmento di retta BC tangente nel punto B, ed in lunghezza eguale alla circonferenza del cerchio dato. Si completi il triangolo OBC. Se una qualsiasi delle circonferenze concentriche contenute nel dato cerchio incontra il raggio OB nel punto A, ed  tangente alla retta AD, sar anche il segmento AD eguale in lunghezza a tale circonferenza. Dunque tutti i cerchi del circolo dato sono rispettivamente eguali a tutte le linee del triangolo, e sar anche il cerchio eguale in area al triangolo.
.
2. L'area racchiusa fra la spirale archimedea AFGO e la corda AO, dedotta da quella del segmento parabolico OCA, avente per base il segmento OA ed asse BC (normale ad OA).
Consideriamo la totalit degli archi di cerchio, come DF, col centro in O, contenuti nella spirale, e quella delle corde come ED, della parabola, parallele all'asse, ed indichiamo con a la lunghezza OA.
Sia equazione della spirale ? = k(a - ?) ed equazione della parabola y = k  x  (a - x); sar: arco DF = OD  ? = k  OD(a - OD); corda DE = k(OD(a - OD)).
Tutti gli archi di cerchio della spirale sono dunque eguali, ciascuno a ciascuno, a tutte le corde del segmento parabolico; sar perci l'area della spirale eguale a quella del segmento parabolico.
.
5. Somma degli infiniti termini di una serie convergente. - CAVALIERI aveva intuita ed affermata la generalit della formula; ma l'aveva dimostrata solo per alcuni valori interi dell'esponente n. P. FERMAT affermava di essere riescito a darne dimostrazione valevole per ogni valore positivo razionale dell'esponente, cio per le curveche allora si dicevano "parabole generali"; ma rimaneva da dimostrare il caso delle infinite iperbole, rappresentate da equazioni della forma xmyn = k essendo m, n, interi positivi.
Questo caso presentava particolari difficolt, per il fatto che in tali curve l'origine  punto di infinito. TORRICELLI riesc a superare tali difficolt coll'aderire alle vedute di GALILEO sui concetti di infinito e di infinitesimo attuali.
Nella lettera a MICHELANGELO RICCI del 17 marzo 1646 (Opere, Tomo 3, p. 361) egli infatti scriveva: "Prima io dimostrai che infinite quantit in progressione geometrica majoris inaequalitatis sono misurabili, poi, che un solido infinitamente lungo era misurabile, e sapevo che descrivendosi una figura piana, le cui linee andassero continuamente come i circoli del predetto solido, anco quella era misurabile".
.
6. Il Flessilineo. - Cominci dunque col sommare la progressione geometrica infinita decrescente, saltando il fosso che separa la somma dei primi n termini, gi nota ad EUCLIDE, dalla somma di tutti gli infiniti della intera serie, che gli antichi non sapevano, o non osavano concepire come attualmente compiuta.
.
E ci fece colla costruzione di un flessilineo che, operando sui due primi termini, d l'esatta rappresentazione geometrica della somma di tutti(101).
A noi sembrer ben picciol cosa l'aver calcolato, nel 1644, la somma degli infiniti termini di una progressione, mentre fin dal III secolo a. C. EUCLIDE aveva dato regola generale per calcolare la somma dei primi n, comunque grande quel numero n fosse pensato. Ma non furono troppi, venti secoli, a superare quel transito, se 12 anni dopo la scoperta di TORRICELLI, ANDREA TACQUET, nella sua "Arithmeticae Theoria, et Praxis" (1656), dopo aver riportata la proposizione torricelliana (suppressis autorum nominibus) non poteva trattenersi dall'esclamare: "Vides, opinor, qui haec legis, quam facilis sit, quod supra me ostensurum promiseram, a progressione finita ad infinitam transitus. Unde mirum est, priores Arithmeticos, qui progressiones finitas tenerent, infinitas ignorasse, cum hae ab illis immediate dependeant"(102).
.
7. Il solido infinitamente lungo. - La misura del solido infinitamente lungo generato dalla rotazione intorno all'assintoto (assunto come asse delle y) della iperbola BMC, rappresentata analiticamente dalla equazione xy = 2k2, si ottiene immediatamente da TORRICELLI considerando la totalit degli involucri cilindrici generati dalla rotazione delle corde, come MN, parallele all'asse, in esso contenute; poich uno qualunque di tali involucri ha area eguale al prodotto= 2pxy = 4pk2, cio eguale all'area del cerchio di diametro. Dunque tutti gli involucri cilindrici del solido infinitamente lungo, sono eguali a tutti i cerchi del cilindro OAED, sar dunque il volume del solido eguale a quello del cilindro, cio a
Al limite, per x?0, l'involucro degenera nell'asse del conoide, la sua lunghezza  infinita ed il raggio  nullo; ma, per essere ultime vestigia di grandezze fra loro eguali, sar anche l'asse del conoide eguale - in quantit - al cerchio di raggio AE.
Nel fatto poi, i cerchi del cilindro sono elementi di volume, cio dischi di spessore non-quanto, e gli involucri cilindrici non sono superficie euclidee, ma elementi di volume, ed hanno spessore infinitesimo.
.
La scoperta di un solido infinitamente lungo, avente area infinita, ma volume finito e misurabile, parve cosa meravigliosa allo stesso CAVALIERI(103), e fu una di quelle che maggiormente giovarono al progresso della scienza nuova. Fu pubblicata, insieme coi Lemmi sulla somma della progressione geometrica, nella Memoria: "De dimensione parabolae", a Firenze, nel 1644.
.
8. Lemma fondamentale. - L'introduzione nel campo matematico degli infiniti e degli infinitesimi galileiani, diede agio a TORRICELLI di trovare generale dimostrazione del teorema cavalieriano relativo all'integrale. A tal fine egli considera le curve rappresentate da equazioni della forma, m, n, interi positivi, m/n diverso da -1, e dimostra (Lemma fondamentale) che: Presi i punti P1, P2 sulla curva, e di questi fatte le proiezioni Q1, Q2, R1, R2 sugli assi, si completino i rettangoli P1Q2, P2Q1, R1P2, R2P1; il rapporto dei rettangoli inscritti sar maggiore di quello degli esponenti, e quello dei circoscritti, minore.
.
E, precisamente: pel caso parabolico sar: e, per l'iperbolico:
La dimostrazione  stata interpretata con simbolismo algebrico nella memoria: E. BORTOLOTTI, La memoria "De infinitis hyperbolis" di Torricelli. "Archivio di Storia della Scienza", vol. VI, 1925, p. 140; e, nella forma geometrica propria di TORRICELLI, nella memoria: E. BORTOLOTTI, I progressi del metodo infinitesimale nell'Opera geometrica di Evangelista Torricelli. "Periodico di Matematiche", serie IV, vol. VIII, pp. 57-59. V. anche: E. BORTOLOTTI, L'Opera geometrica di Evangelista Torricelli. "Monatsch. f. Mat. und Ph.", 48 Bd., p. 460-462.
9. Teorema del gnomone mistilineo. - Dal Lemma fondamentale, dianzi enunciato, TORRICELLI con elegante dimostrazione per esaustione, dimostra (Opere, vol. I, parte II, p. 256-257) che: "I quadrilinei che risultano dalle proiezioni dell'arco P1P2 (v. figure alla pag. 179) su gli assi, stanno fra loro nel rapporto medesimo degli esponenti:
".
.
10. Quadrature. - Dal teorema del gnomone mistilineo, pel caso parabolico, componendo, si ha:
ossia:
e, nel caso iperbolico, dividendo:
ossia: (104)
Ecco dunque la pi generale dimostrazione del teorema fondamentale di calcolo integrale: (105)
.
11. - Condizioni di convergenza per integrali impropri estesi ad intervalli infiniti, o comprendenti un punto di infinito nell'intervallo di integrazione. Il calcolo di tali integrali si presentava nel caso iperbolico, quando c'era da valutare la superficie infinitamente estesa compresa fra la curva ed un assintoto. Ed anzitutto occorreva dare un criterio atto a distinguere i casi in cui tale area  finita, da quelli in cui  infinita, perch in questi ultimi casi, non  possibile applicare la regola data al n. 10 per la quadratura(106).
Il criterio trovato da TORRICELLI  quello stesso che noi ora, per solito, usiamo, fondato sulla considerazione dell'ordine di infinitesimo per x tendente all'infinito, della ordinata corrispondente.
.
Eccolo nella chiara esposizione di TORRICELLI: "Oportet exponentem asymptotalium majorem esse exponente dignitatis ad ipsam applicatarum, alias figura plana, non solum longitudine, sed etiam magnitudine infinita esset, ut a nobis demonstratur"(107).
La dimostrazione  semplicissima: Si prendano su l'asintoto a partire dal centro, punti Q1, Q2, Q3,... tali che sia
OQ1 = Q1Q2, OQ2 = Q2Q3, OQ3 = Q3Q4,....
Pel Lemma fondamentale si avr:
e, componendo:
Per essere OQ1 = Q1Q2, avremo anche:
e similmente: ma dunque...
Da cui si vede che se 2n = n + m, cio se n = m, si ha: T1Q2 < T2Q3 < T3Q4 <.... Dunque nell'area compresa fra l'assintoto, la curva e l'ordinata Q1P1, si possono inscrivere infiniti rettangoli tali che ciascuno di essi sia maggiore del precedente. L'area stessa  perci infinita.
Questa dimostrazione, per il caso di n = m = 1, cio per la iperbole apolloniana, coincide con quella (nota col nome di BERNOULLI), usata per provare la divergenza della serie armonica.
.
Se invece si suppone n < m, considerando rettangoli circoscritti, si dimostrer che l'area  finita. Ed in questo caso, si calcola immediatamente il suo valore usando il teorema del gnomone mistilineo, e dividendo, come gi si  visto al n. 10.
12. Tangenti. - Dal lemma fondamentale segue subito la costruzione delle tangenti alle curve considerate. Si prolunghi la corda P1P2 fino ad incontrare l'asse delle x nel punto S; (fig. alla pag. 184), e si completi il rettangolo P1Q1S (nel caso iperbolico, oppure P2Q2S in quello parabolico); avremo:
Osservando che i rettangoli CD, P1R2, P1D, P2R1 sono posti fra le medesime parallele, avremo ancora:
Se ora si considera che, quando P1 muovendosi sulla curva, viene a coincidere con P2, anche i punti Q1, Q2 vengono a coincidere, indicando con T la intersezione della tangente coll'asse x, avremo: "Se la retta P2T  tangente alla curva, si ha: , cio:e potremo concludere che: Il rapporto della sottotangente alla ascissa  eguale al rapporto n/m, degli esponenti. Il problema della tangente  per tal modo risoluto.
.
13. Il rapporto di due indivisibili. - La risoluzione del problema della tangente, per curve non rappresentabili da equazioni della forma, richiedeva un pi intimo esame della natura degli indivisibili, ed a ci TORRICELLI si accinse, seguendo le idee ed i precetti galileiani, che egli interpretava al modo indicato dai passi seguenti: (Opere, Tomo I, Parte II, p. 230).
"Che gli indivisibili tutti siano eguali fra loro, cio i punti alli punti, le linee in larghezza alle linee, e le superficie in profondit alle superficie,  opinione, a mio giudizio, non solo difficile a provarsi, ma anco falsa.
.
Se siano due cerchi concentrici, e dal centro si intendano tirate tutte le linee a tutti i punti della periferia maggiore, non  dubbio che altrettanti punti faranno i transiti delle linee sulla periferia minore, e ciascuno di questi punti sar tanto minore di ciascuno di quelli, quanto il diametro  minore del diametro....
Nel parallelogrammo ABCD, se prenderemo nel diametro BD qualunque punto E, sar il semignomone EBC eguale al semignomone EBA. Ma se divideremo per mezzo BE nel punto I, sar il semignomone assotigliato IBC eguale al semignomone assotigliato IBA, e se questa divisione si far, o se supporr fatta infinite volte, ci ridurremo ad havere in cambio di semignomoni, una linea BC eguale alla BA. Dico eguale di quantit, non di lunghezza; poich sebbene indivisibili ambedue, sar la BC tanto pi larga della BA, quanto questa  pi lunga di quella,... e questo in proportione delle lunghezze".
.
Le linee AB e BC, considerate come indivisibili del rettangolo ABCD, sono da TORRICELLI dette "Linee supplementari" (del rettangolo). Le linee supplementari sono dunque elementi d'area, aventi lunghezza finita e spessore infinitesimo. In ogni coppia di linee supplementari (del rettangolo) gli spessori sono in ragione inversa delle lunghezze. E questa propriet, nella trattazione torricelliana, tien luogo di quelle che, molti anni dopo, si ricavarono dall'esame del cosidetto "triangolo elementare".
"L'istesso si dice nelle parabole e nelle iperbole. - Sia la parabola ABC, e preso qualunque punto B in essa, per le cose dette altrove (pel teorema del gnomone mistilineo), sar la figura BCE alla BCG come l'esponente delle applicate all'esponente delle diametrali; ma, se divisa per mezzo la FE in I, applicheremo la DI, sar la figura DCE alla DCG nel medesimo modo, come l'esponente all'esponente; et se faremo o supporremo fatta, infinite volte questa divisione, resteranno in cambio di figure due linee, CE, CG, le quali, non secondo la longitudine, ma secondo la quantit, saranno nel medesimo modo, come l'esponente all'esponente".
.
Le linee EC, CG, non sono supplementari al modo superiormente considerato, ma potrebbero dirsi supplementari nella parabola.
La linea EC, come elemento d'area, ha per lunghezza l'ordinata y, del punto C, e per spessore l'incremento dx della ascissa. La linea CG ha la lunghezza della ascissa x, e lo spessore dy dell'incremento della ordinata. TORRICELLI ha dunque dimostrato che, per funzioni della forma, vale la relazione differenziale: ydx : xdy :: n : m, che potremo anche scrivere: .
.
14. Il problema della tangente. - Secondo le vedute di GALILEO gli indivisibili delle linee non sono punti euclidei, ma elementi d'arco, ed hanno lunghezze paragonabili fra loro, bench infinitesime, ed anche direzione e verso. Di ci GALILEO trova esempio nella teoria dei moti: gli indivisibili degli spazi percorsi da un punto mobile, sono gli impeti, le velocit, ed hanno la direzione ed il verso della tangente nel punto considerato.
.
Riferita la curva ad un sistema di assi ortogonali, la tangente BE nel punto B avr dunque la direzione dell'elemento (indivisibile) di arco B1B. Completato il rettangolo EFBD, avremo in esso le linee supplementari FB, DB, nelle quali gli spessori dy, dx, sono in ragione inversa delle lunghezze:.
Conoscendo il rapporto dy/dx, sar noto anche il rapporto, della ordinata alla sottotangente, ed il problema della tangente potr dirsi risoluto. E questo vale per qualsiasi curva avente tangente. Per quelle rappresentate da equazioni della forma, studiate da TORRICELLI, il valore del rapporto dy/dx si ricava dalla relazione differenziale gi trovata: dy/dx = m/n  y/x. Si avr dunque, sostituendo , ossia:.
TORRICELLI, seguendo anche in ci GALILEO, faceva consistere il problema della tangente appunto nella determinazione del rapporto della sottotangente alla ascissa:; egli perci stabiliva direttamente il valore di tale rapporto col ragionamento seguente:
"Hora, stante queste cose, sia una delle infinite parabole ABC, e al punto B devasi tirare la tangente. Sia tangente BE, applicata BD, et finiscasi la figura DF, et intendasi che per il medesimo punto B, per il quale passa la tangente, passino adeguatamente la BD et la BF.
Saranno dunque la BD et la BF linee supplementari. La lunghezza ED alla AD sar come la lunghezza FB alla BG, e, per essere FB et BD supplementari, come la quantit BD alla BG, cio come l'esponente all'esponente"(108).
.
15. L'integrale indefinito (funzione del suo limite superiore). - Nella terza giornata del suo "Dialogo sopra due nuove scienze", GALILEO definisce il moto rettilineo uniformemente vario, come quello in cui la velocit cresce proporzionalmente al tempo, e rappresenta il moto mediante un diagramma, in cui il tempo t = OQ,  assunto come ascissa e la velocit v = gt, come ordinata.
Lo spazio  dato dall'area, ossia dall'integrale indefinito 
Ed  questo il primo esempio di integrazione indefinita, nella storia della scienza.
.
Nelle "Opere di Torricelli" troviamo l'integrale indefinito, per casi pi generali (vol. I, parte II, p. 259 e 312). Egli suppone che il punto L si muova su OF con velocit data dall'ordinata ME della curva BEC, e che nello stesso tempo, la retta OF si muova con moto equabile di traslazione, in modo che il punto O percorra la retta OH con velocit costante AV (che si pu supporre eguale alla unit). Nel tempuscolo elementare M il punto mobile sulla retta OF, percorra lo spazietto elementare L, e su OH, il punto O percorra lo spazietto elementare N. Questi spazietti (indivisibili) staranno fra loro come le velocit relative, cio si avr: L/N = ME/MI. E questo sempre, qualunque sia il tempo M.
E, poich sono fra loro eguali tutti gli elementi N, ed eguali fra loro anche tutti i segmenti MI, potremo, da quelle infinite relazioni, dedurre che la somma di tutti gli spazietti L, cio il segmento OF, sta alla somma di tutti gli elementi N, cio al segmento OH, come la somma di tutte le ME, cio l'area BAC, alla somma di tutte le MI, cio all'area BAV.
Si ha dunque:
OF : OH :: BAC : BAV.
Se indichiamo con t il tempo OH, con v(t) la velocit AC al tempo t, con s(t) lo spazio percorso sulle ordinate al tempo t, la somma di tutte le AC sar rappresentata dall'integrale, la somma di tutte le MI, che supporremo eguali alla unit, sar espressa da t, e si avr:
, da cui:.
Dunque, data la velocit del moto, si ottiene lo spazio con una quadratura, o, come scrive TORRICELLI, gli spazi percorsi dal mobile lungo la ordinata, nei tempi BM, BA, stanno fra loro come gli integrali estesi a quei medesimi intervalli delle velocit da cui il mobile  animato (ut sunt omnes simul gradus velocitatis).
In particolare, se la velocit  espressa da una funzione lineare v = at, si ha per lo spazio una funzione quadratica s = at2/2, che risulta dalla integrazione indefinita della funzione lineare proposta. Se la velocit  funzione quadratica, v = at2, lo spazio  funzione cubica s = at3/3; se la velocit  funzione cubica, lo spazio  funzione quartica s = at4/4,....
Ecco, come il problema di trovare la espressione dello spazio in funzione del tempo abbia provocato la introduzione nella analisi matematica di una nuova operazione funzionale: "la integrazione indefinita".
.
16. Il teorema di inversione. - Suppongasi ora data la espressione dello spazio in funzione del tempo s = s(t), e si cerchi quella della velocit v = v(t). Si osservi a tal fine che, nella rappresentazione geometrica della funzione s = s(t), l'ordinata NP ha il valore numerico dell'area BEM, ed il suo incremento ds,  l'indivisibile ds = ME = v(t)dt, di quella stessa area. La funzione v, incognita,  dunque data dal rapporto v(t) = ds/dt = NP/TN. Cio  espressa dal rapporto della ordinata alla sottotangente, o, se si vuole, dalla derivata della funzione data s(t).
Concludiamo dunque che l'integrale indefinito, considerato come funzione dell'estremo superiore, ha per derivata la funzione sotto il segno di integrazione. Ed ecco verificato il carattere inverso delle due operazioni di integrazione e di derivazione. O, per dirla al modo di TORRICELLI, dei due problemi di quadratura e di tangente.
17. Centro di gravit di figure geometriche. - Si deve a TORRICELLI la scoperta della regola opportuna al calcolo delle coordinate del centro di gravit di figure geometriche mediante il rapporto di integrali definiti. L'occasione gli fu presentata dalla soluzione di un quesito propostogli dal CAVALIERI con lettera 1 agosto 1645, nei termini seguenti:
"Sia, sopra la parabola ACB come base, il corpo colonnare, o cilindrico, come lo chiamo io in Geometria, ADEBCF sicch DEF sia l'opposta base, anche essa parabola simile; eguale et similmente posta come ACB; stendasi poi un piano per la retta AB e per la cima F della parabola DEF. Ora, dissi, che io cercavo la proportione delli due frusti di detto corpo fatti dal piano AFB"(109).
.
Il TORRICELLI subito vide che il rapporto di detti frusti era appunto il medesimo che il rapporto dei segmenti in cui il centro di gravit sega l'asse della parabola; e questo, non solo pel caso della parabola, ma in generale, qualunque fosse la forma della figura su cui si ergeva il solido cavalieriano.
Di qui, con geniale intuizione, egli seppe assurgere ad una generalissima proposizione, che egli comunicava contemporaneamente al maestro suo BONAVENTURA CAVALIERI, ed all'amico .
MICHELANGELO RICCI, il giorno 7 aprile 1646, nei termini seguenti(110):
"Il centro di gravit in tutte le figure piane o solide (purch abbiano o l'asse o il diametro) sega sempre l'asse o il diametro che sia, con la medesima regola. La natura non  cos ricca di inventioni come a noi sembra per la nostra propria debolezza. Ella non bada che la proportione delle parti del diametro in alcune figure sia dupla, in altre tripla, in altre sesquialtera, come 5 a 3, come 7 a 5, e tante altre sorti di proportioni, anche incommensurabili. Questi sono corollari, ma il teorema universale non so se sia sovvenuto ancora a nessuno, anzi credo che nessuno abbia mai pensato che vi possa essere, e pure c' ed  tale:
Centrum gravitatis ita secat axem sive diametrum tam in planis quam in solidis figuris, ut pars versus verticem sit ad reliquam ut sunt omnes ductus applicatarum in omnes diametri portiones versus verticem abscissas, ad omnes ductus earumdem applicatarum in reliquas diametri portiones.
.
...Supplico Vostra P- a non conferire la dimostrazione con alcuno, perch proposi il teorema agli amici di Roma e forse lo proporr in Francia"(111).
Volendo tradurre questa proposizione in linguaggio e simbolismo moderno, suppongasi, per maggior chiarezza, la figura riferita ad un sistema di coordinate, nel quale l'asse x coincida col diametro e la origine sia nel vertice O. Indicando con a l'ascissa dell'altro vertice A avremo:
"Se una figura piana o solida ha un diametro OA (se per ogni punto x di questo immaginiamo condotto un piano normale ad esso, ed indichiamo con f(x) la misura della corrispondente sezione nella figura data), il centro di gravit sar sul diametro e segher questo in due parti che stanno fra di loro come gli integrali estesi al diametro medesimo dei prodotti xf(x), (a-x)f(x)".
In altre parole: Se X  l'ascissa del centro di gravit, si ha: Ossia, componendo:
.
TORRICELLI ha dunque trovato, ed espresso in termini precisi, la regola che tuttora adoperiamo per trovare le coordinate del centro di gravit delle figure geometriche(112).
18. La rettificazione di curve piane. - Il problema della rettificazione di curve piane, differenti dal cerchio, era ai tempi di TORRICELLI assolutamente nuovo. TORRICELLI ne ha dato il primo esempio col rettificare la spirale da lui introdotta nel calcolo, ed ora detta spirale logaritmica, della quale trova la lunghezza dell'arco, ed anche la lunghezza totale, nonostante che essa faccia infinite rivoluzioni intorno al polo(113).
.
Quella scoperta fu da lui comunicata al CARCAVY (1645), al MERSENNE (febbraio 1645) ed al ROBERVAL (16 luglio 1646)(114), ed  annunciata anche in quel "Racconto di alcuni problemi", che fin dai tempi di TORRICELLI fu largamente diffuso, e che il FABBRONI dava alla luce nel 1778.
A buon diritto dunque la "Prima rettificazione di un arco di curva" fu dal prof. LORIA rivendicata al TORRICELLI, contro la comune opinione che attribuiva tale scoperta al NEIL, al VON HEURAT, al FERMAT(115), che intorno al 1656 avevano rettificato l'arco di parabola semicubica.
.
Nel 1919 a cura dello stesso prof. LORIA, sono state pubblicate le "Opere geometriche di Torricelli", e quindi anche la "De infinitis spiralibus", ma di quel trattato delle spirali non si fa cenno alcuno. Gli  che anche questo trattato fu fatto a pezzi, ed i pezzi trasposti, qualche pagina tralasciata arbitrariamente.
I pezzi sono poi stati individuati sul manoscritto originale, ed il Trattato, ricomposto, contiene una trattazione perfetta e compiuta preparata per la stampa; espone le propriet caratteristiche di quelle linee, ne determina la tangente, la lunghezza d'arco e la quadratura. Dal contesto si pu congetturare il contenuto delle pagine mancanti, che poi furono rinvenute fra i manoscritti torricelliani, e pubblicate dal prof. AGOSTINI nel "Bollettino di Matematiche" del 1930, sotto il titolo "Un brano inedito di Torricelli sulla rettificazione della spirale logaritmica".
I tre pezzi sono stati raccolti, riordinati, e con essi ricostruita la memoria, che insieme colla traduzione in lingua italiana, verr pubblicata dal prof. ETTORE CARRUCCIO.
.
19. - Nella edizione faentina delle "Opere geometriche di Torricelli", alla memoria "De infinitis spiralibus" di cui abbiamo parlato, fa seguito, senza interruzione, quasi si trattasse dello stesso argomento, un'altra memoria, che tratta delle spirali archimedee generalizzate, annunziata essa pure nel "Racconto di alcuni problemi". Lo ristabilimento, in ordinata esposizione, di questa nuova memoria (a cui si accinge lo stesso prof. CARRUCCIO), presenta notevoli difficolt, perch il manoscritto torricelliano , non solo disordinato, ma frammentario.
20. - Riepiloghiamo: Nei sei anni dal 1641 al 1647, TORRICELLI ha dato alla Scienza matematica:
1) Il primo esempio di inviluppo di una famiglia di curve piane.
2) L'estensione ad indivisibili curvi, del metodo di CAVALIERI.
3) La prima attuale determinazione della somma degli infiniti termini di una serie infinita.
4) La scoperta di solidi infinitamente estesi, aventi volume finito; il calcolo effettivo di tali volumi.
5) Il teorema dello gnomone mistilineo, e la sua applicazione alla risoluzione di problemi di quadratura e di tangente.
6) La quadratura delle infinite iperbole, mediante il calcolo di integrali estesi ad intervalli infiniti, e l'assegnazione di condizioni di convergenza per tali integrali.
7) La introduzione nella analisi matematica degli infinitesimi attuali e la determinazione della tangente mediante il rapporto di due tali infinitesimi.
8) Il concetto di integrale indefinito.
9) La regola tuttora seguita pel calcolo delle coordinate del centro di gravit di figure geometriche mediante il quoziente di integrali definiti.
10) La prima rettificazione di un arco di curva.
Ecco una successione di scoperte che segnano il distacco dall'antico al moderno nel campo matematico, delle quali ciascuna da sola basterebbe alla celebrit di uno scienziato, e che, tutte insieme, diedero a TORRICELLI la fama di geometra sommo nel secolo in cui vivevano CAVALIERI, CARTESIO, HUYGENS, ecc.
.
21. I manoscritti torricelliani. - TORRICELLI contava di comporre un'opera matematica col titolo: "De novis lineis", od almeno di pubblicare "un poco di catalogo, di esse, insieme con qualche saggio, a fine di non essere prevenuto, se non in tutto almeno in parte". Ma, tutto occupato nel lavorare occhiali, non trovava tempo per dar forma definitiva alle cose geometriche le quali erano affidate a "certe cartucce e fogliucci, con s poca cura, da stimar pi difficile il capire una scrittura cos sporca, che l'inventare di nuovo".
Pur, infine, egli pens di dar ordine alle cose geometriche, raccogliendo in distinti volumi le carte riguardanti uno stesso argomento, od i diversi problemi riferibili ad uno stesso metodo di risoluzione.
.
Per la parte che riguarda materia trattata in periodo anteriore al 1642, tali volumi presentano gi un aspetto ordinato; ma per la parte che si riferisce alle nuovissime sue produzioni, quell'opera di coordinamento non va oltre la raccolta in uno stesso gruppo di tutti gli studi, abbozzi, tentativi, pensieri, sviluppi,... che si riferiscono ad uno stesso argomento.
 peraltro da notare che le cose di assoluta novit, o tali da promuovere effettivi avanzamenti, erano state comunicate agli amici con lettere che ci sono rimaste, e che gli enunciati delle proposizioni fondamentali sono ordinatamente raccolti nell'elenco gi ricordato, col titolo: "Racconto di alcuni problemi proposti e passati scambievolmente nei quattro anni passati", del quale si sono conservati quattro esemplari manoscritti ed una pubblicazione per le stampe, del 1778. Questo Racconto  di fondamentale importanza per chi voglia aver notizia dell'Opera geometrica di Torricelli; esso non si trova nei Volumi geometrici della edizione faentina ma, come introduzione, nel volume III, dedicato al Carteggio, edito dal VASSURA.
.
TORRICELLI aveva appena compilato il suo "Racconto", quando fu improvvisamente colpito dalla malattia, che in pochi giorni lo doveva portare al sepolcro. La mattina del 14 ottobre 1647, la sua malattia si aggrav in guisa da far temere prossimo il suo fine. Chiam allora presso di s l'amico suo LODOVICO SERENAI, e gli dett alcuni ricordi, nei quali raccomandava caldamente la stampa delle sue opere geometriche, in cui sentiva che vivrebbe "oltre il sepolcro".
.
"Le cose (egli disse) dei miei studi e mie scritture di studi di geometria, che sono in ordine, cio scritte le dimostrazioni e ogni cosa che ho promesso agli amici di dimostrazioni, e sebbene in cartucce e fogliucci, come vedr V. S. e particolarmente in certe borse e quadernucci.
Stanno, come dico, alla spezzata in queste borse e cartucce, che li mostrer il monte, se bene dico confuse, non sono confuse affatto, perch ogni borsa suole aver la sua materia; e li parer qualche volta certe cartucce barone, abbia cura che non si perda nulla, e assicuri il Gran Duca che non si trover chi le trovi pi, faccino pure quanto vogliono; per non scappi qualche parte, perch ci farebbe de' fastidi a trovarla.
.
Ora la mia intenzione  questa: che V. S. le mandi a fr. Bonaventura Cavalieri. La causa  perch stampi quello che vuole; e le mandi a lui, perch  in prossima disposizione, che sta per mandar fuori un libretto adesso. Che lui poi mandi il restante, o tutto, al Sign. Michelangelo Ricci, in Roma; questo  il maggior amico che io abbia in Roma, et  il maggior ingegno che ci sia in queste materie, e sar il pi il caso a rivederle, ripulirle, e mandarle fuora. Questo giovine  ricchissimo, splendidissimo, prossimo alla prelatura, e notissimo, e ha fatto con principii che gli ho dato io.
Che, sebbene il nostro signor Maggiotti  mio maggior amico, e pi antico, non ha poi modo per arrivare tant'oltre".
.
Ma, un mese appena dopo la morte di TORRICELLI, BONAVENTURA CAVALIERI lo seguiva nella tomba, e MICHELANGELO RICCI non si sent in grado di assumere il difficile compito.
Le carte di TORRICELLI furono pietosamente raccolte dal SERENAI, che diligentemente le trascrisse, perch nulla di esse andasse perduto. Ma, digiuno affatto di cose matematiche, egli non seppe ordinare gli sparsi foglietti secondo la successione delle idee, e la dispose cos, come gli vennero alle mani, o come furono - alla spezzata - vergati dal TORRICELLI.
.
Da ci  risultato, non solo una illogica disposizione degli argomenti, ma, specialmente nella parte che si riferisce alle ultime scoperte, una incredibile confusione.
Dopo moltissime insistenze, SERENAI riesce a convincere il VIVIANI ad assumere sopra di s il grave peso della pubblicazione delle Opere geometriche di Torricelli, ed il VIVIANI attese per molti anni allo studio preliminare dei manoscritti. Ma, nelle cose trattate col metodo degli indivisibili, neppur lui "aveva modo di arrivare tant'oltre", ed onestamente lasci tali opere in disparte. Fece invece attento esame di quelle composte secondo il modo degli antichi, e di esse fece nuova, diligente compilazione. Ma anche in questa parte il suo lavoro trov acerbe, non sempre giustificate critiche.
Sta il fatto che egli non os mandare alla stampa nemmeno il materiale da lui appositamente apprestato.
.
22. L'edizione faentina. - I manoscritti torricelliani, dopo esser rimasti per circa due secoli nelle biblioteche di Firenze a disposizione degli studiosi, videro la luce nella edizione faentina del 1919.
Il primo volume, in due parti, che contiene le opere geometriche,  stato edito dal prof. LORIA; gli altri due, che contengono le lezioni accademiche, le opere meccaniche, il Carteggio, sono state edite dal prof. VASSURA.
Per quel che riguarda le opere inedite, il caratteristico disordine di cui abbiamo parlato, fu di molto aggravato dall'opera dell'editore, che non seppe penetrare nel pensiero dell'autore, e pur volle metterci mano, mentre sarebbe stata opera meritoria, anche la semplice genuina riproduzione del manoscritto.
Le opere geometriche pubblicate nella edizione faentina, possono dividersi in quattro gruppi:
.
GRUPPO 1. - Opere edite durante la vita di TORRICELLI.
1. De sphaera et solidis sphaeralis.
2. De dimensione parabolae.
3. De solido acuto hyperbolico.
4. De motu gravium naturaliter descendentium et proiectorum.
5. De motu ac momentis varia.
Queste opere non hanno bisogno di ristampa, ma di qualche avvertenza circa la loro importanza storica.
.
GRUPPO 2. - Opere rimaste inedite, ma gi composte, se non al tutto rifinite.
1. De tactionibus.
2. De proportionibus liber.
3. De maximis et minimis.
4. De hyperbola logarithmica.
5. De centro gravitatis sectoris circuli.
6. De centro gravitatis planorum et solidorum.
.
Queste opere sono state tutte, qual pi, qual meno, manipolate sia dal VIVIANI, che, poi, dall'editore, e non sempre a ragion veduta.
A p. 87 della Mem. "De maximis et minimis" l'editore annota che il passo segnato col n. 13  di lettura difficilissima e mal sicura. Per avere il testo esatto gli sarebbe bastato il ricorrere alla lettera di TORRICELLI a MERSENNE del gennaio 1645 (vol. 3, Op. Torricelli, p. 264), dove quel passo  letteralmente ripetuto.
.
Dell'ultima memoria: "De centro gravitatis planorum et solidorum" esiste il manoscritto originale, sul quale furono riscontrate imperfezioni cui avrebbe dovuto por rimedio una compilazione apprestata dal VIVIANI per la stampa; ma gi il CAVERNI, nel vol. 5 della sua "Storia del metodo sperimentale" osservava (p. 375) che tale compilazione  cos negligentemente condotta da non sembrare credibile che il VIVIANI avesse permesso di stamparla a quel modo. Fa meraviglia, ad ogni modo, che n il VIVIANI, n il CAVERNI, n l'editore, prof. LORIA, abbiano visto le mutue relazioni fra le proposizioni stampate alle pp. 215-218, n si siano accorti che lo Scholium p. 218  diretta conseguenza di esse, ed  precisamente quel teorema universalissimo comunicato da TORRICELLI a CAVALIERI, con lettera 7 aprile 1646, nel quale si compendiano tutte le proposizioni precedentemente usate per i centri di particolari figure geometriche.
Par necessario che, almeno le memorie sui centri di gravit, che hanno particolare interesse storico, siano ristampate.
.
GRUPPO 3. - Collezioni compilate dal VIVIANI di proposizioni e problemi tratti dai manoscritti torricelliani.
1. De planis varia.
2. De solidis varia.
3. De circulo et adscriptis.
4. De comparat. perimetrorum cylindri, coni ac sphaerae.
5. De aequalit. perimetrorum cylindri, coni ac sphaerae.
6. Nova per armillas stereometria.
7. Sezioni coniche.
8. De indivisibilium doctrina perperam usurpata.
9. Miscellanea.
.
Le memorie contenute in questo gruppo costituiscono nel loro insieme un'imponente raccolta di problemi e di proposizioni geometriche, che andrebbero ordinate da persona che ne sapesse interpretare il valore intrinseco ed il significato storico, e che avesse la abnegazione di leggerle e studiarle, e, quando occorresse, di interpretarle e tradurle con linguaggio e simbolismo moderni.
Ma l'editore delle opere geometriche non si  dato quella premura ed ha semplicemente riportato le compilazioni del VIVIANI, aggiungendo poche, ma non sempre opportune annotazioni(116).
.
GRUPPO 4. - Studi e ricerche sui fondamenti della analisi infinitesimale: quadrature, tangenti, centri delle nuove linee.
1. De infinitis hyperbolis.
2. De infinitis parabolis.
3. De infinitis spiralibus.
.
Queste, fra le opere torricelliane, sono quelle che contengono la pi alta espressione di scienza, nel campo della matematica infinitesimale di quei tempi. A buon diritto TORRICELLI se ne gloriava, come delle pi notevoli fra le sue scoperte(117). Ma chi posi lo sguardo su quell'informe guazzabuglio, che, specialmente per le prime due, viene esibito come sistematica esposizione di una teoria matematica, ordinata secondo una numerazione progressiva posta dall'editore, dovr farsi una ben trista idea dell'Opera geometrica di E. Torricelli.
Lo stesso editore, del resto, riconosce che: "tutte le critiche che mi furono fatte sul modo in cui i testi furono pubblicati, sono tanto meritate, che io le avevo rivolte a me stesso, senza riescire ad escogitare i mezzi per evitarle" (cfr. Bollettino di Matematica, 1906, p. 77).
Ma alcuni volonterosi(118) hanno fatto, in parte almeno, ci che sarebbe toccato a chi volle assumersi la responsabilit della pubblicazione dell'opera. Cos si  visto che, con un paziente lavoro di riordinamento e di ricostruzione, era possibile, a chi si fosse reso famigliare il linguaggio ed i metodi in uso ai tempi di TORRICELLI, e fosse dotato di buona volont e di molta pazienza, il ricomporre, nella sua interezza, il pensiero, ed anche l'ordinato sviluppo delle memorie.
E la Sezione di Storia della Matematica, nel Congresso di Firenze del 1939, ha fatto voti, "perch siano completati gli studi preliminari volti alla comprensione degli scritti inediti di Torricelli, in preparazione di una stampa definitiva".
...
.
...
Paragrafo 4.
...
.
...
La Geometria speciosa e le integrazioni definite di P. Mengoli.
...
.
...
Astronomi, idraulici, ecclettici del secolo 17esimo.
.
1. PIETRO MENGOLI (Bologna 1625-1686). Laureato in filosofia nel 1650, in leggi nel 1653. Dal 1660 parroco di S. Maria Maddalena in Bologna; poco dobbiamo aggiungere a ci che di lui fu detto nel Paragrafo I.
Per l'anno 1648-49 fu chiamato ad occupare la cattedra rimasta vacante per la morte del suo grande maestro BONAVENTURA CAVALIERI, colla lettura di Aritmetica, che nell'anno successivo fu mutata in quella di Meccanica, e, dal 1668-69, in quella di primaria di Matematica.
Fu scienziato di forte ingegno, di vasta cultura, e di grande penetrazione. Rigorosamente attaccato ai dettami del pi puro classicismo, si astenne dal seguitare le idee novatrici di TORRICELLI, e fu sua cura costante il rivestire di classico paludamento le notevoli scoperte da lui fatte. Le sue opere matematiche sono perci, al tempo nostro, anche pi faticose da interpretare di quelle del suo maestro; ma a quei tempi ebbero notevole diffusione; furono conosciute, fra gli altri, dal COLLINS, dal WALLIS, dal LEIBNIZ ecc.(119); ma poi dimenticate.
Abbiamo gi fatto cenno delle sue scoperte, notevolissime, sulla teoria delle serie infinite, e sulla teoria dei limiti, da lui sviluppata con perfetto rigore logico, quasi trent'anni prima che il NEWTON pubblicasse i suoi "Principi". Nella stessa opera in cui tale teoria fu da lui esposta (Geometria speciosa, Bologna 1659), insegna anche a calcolare, con perfetto rigore logico, gli integrali binomi della forma:(120); ed  stato osservato che il metodo da lui insegnato per questo caso particolare,  quello stesso, generalissimo, ora seguito, attribuito a CAUCHY.
Nell'Elemento Sesto, di quello stesso libro, ha esposto una teoria originale, rigorosa e puramente aritmetica, dei logaritmi, ed i primi sviluppi in serie infinita dei logaritmi dei numeri razionali, tredici anni prima che MERCATOR pubblicasse la sua "Logarithmotechnia".
Fra le Opere di Pietro Mengoli  interessante quella pubblicata nel 1672 col titolo: "Circolo", dove  esposta una quadratura del circolo per mezzo di prodotto infinito; non diversa sostanzialmente da quella pubblicata dal WALLIS nel 1655, ma forse ignorata, o non bene intesa dal MENGOLI. Il libro del WALLIS era infatti, anche per quei tempi, di lettura faticosissima, tanto che esso non fu inteso nemmeno dal FERMAT.
.
2. - STEFANO DEGLI ANGELI (Venezia 1623-Padova 1697). - Scolaro, seguace, confratello nell'ordine dei Gesuiti(121), di CAVALIERI. Dal 1662 professore nella Universit di Padova. Si attenne strettamente alle idee, al metodo ed alla forma espositiva del suo maestro, nelle molte, interessanti opere da lui composte, nelle quali riprende le ricerche di CAVALIERI e di TORRICELLI sulle Linee non pi nuove ai tempi di lui.
La Biblioteca matematica del RICCARDI registra 15 opere matematiche di STEFANO DEGLI ANGELI, quasi tutte sulle infinite iperbole, parabole, spirali,.... ma non pare che esse abbiano avuto notevole influenza sull'ulteriore sviluppo della scienza, che gi aveva preso nuovi indirizzi.
.
3. GLI ASTRONOMI.
I lettori "ad Mathematicam" erano anche astronomi. La riforma del Calendario, resa necessaria dal ritardo della data fissata dal Calendario giuliano per l'equinozio di primavera, richiam gli studi degli astronomi ad una pi esatta determinazione della durata dell'anno tropico, o della obliquit della eclittica.
A sussidio di questi studi fu tracciato in San Petronio il celebre Gnomone (meridiana) da EGNAZIO DANTI (Perugia 1537-Roma 1586), lettore ad Mathematicam nel nostro Studio, che continu qui a professare fino al 1583, nel quale anno fu nominato vescovo ad Alatri. Ha pubblicato parecchie opere, fra le quali ricorderemo un libro su la Prospettiva di Euclide, e la Prospettiva di Eliodoro (Firenze 1573), ed un Trattato su l'Astrolabio, nel quale si trova una interessante osservazione (di solito attribuita a TYCHO-BRAHE) sulla variazione della eclittica, dedotta dal confronto delle antiche osservazioni astronomiche colle moderne.
Alla cattedra lasciata libera dal DANTI, aspirava nel 1587 il GALILEO, giovine allora di appena 23 anni; il Senato bolognese elesse, in vece sua, nel 1588, GIOVANNI ANTONIO MAGINI; perch lo Studio aveva gi un eccellente lettore per la matematica nella persona di P. A. CATALDI, e mancava di un astronomo; tale appunto era reputato il MAGINI.
.
Nella sua lunga condotta il MAGINI acquist fama grandissima. Ebbe corrispondenza con TYCHO-BRAHE, con KEPLERO, e con altri celebri astronomi, ed il suo Carteggio (pubblicato a cura di ANTONIO FAVARO)  di notevole interesse per la storia della astronomia.
Il MAGINI  l'ultimo dei veri scienziati, che si siano dedicati, con intima convinzione, alla Astrologia. Egli aveva piena fiducia nelle dottrine professate, e metteva a carico degli insuccessi delle previsioni astrologiche, la incertezza dei moti celesti; si affaticava perci nel perfezionare le tavole planetarie e nell'idearne di nuove.
Maggior traccia nella storia della scienza ha lasciato la sua Opera geografica, e segnatamente il "Commento, e le Aggiunte alla Geografia di Tolomeo", e la "Descrizione della Italia".
MALVASIA CORNELIO (Bologna 1603-1664). - Marchese, senatore, generale nelle milizie papali, poi in quelle del Duca di Modena, fu anche astronomo di valore;  uno degli inventori del reticolo dei cannocchiali, da lui costruito con fili di argento. Ha pubblicato nel 1662 un volume di effemeridi, usando le nuove tavole di CASSINI, corrette con riferimento al Gnomone di San Petronio.
.
GIAN DOMENICO CASSINI (Perinaldo, presso Nizza 1625-Parigi 1712). - Venne a Bologna nel 1644 invitato dal Marchese MALVASIA, che in quel tempo stava preparando un privato osservatorio astronomico. Fu lettore ad Mathematicam nel nostro Studio dal 1650 al 1669. Rifece la meridiana di San Petronio, pubblic una teoria della grande cometa apparsa nel 1664; scopr e misur la durata delle rotazioni di Giove e di Marte, e calcol una tavola dei moti dei satelliti di Giove.
Chiamato a Parigi nel 1669, quale astronomo reale e direttore di quell'osservatorio, rimase col, anche dopo che fu spirato il termine convenuto col senato di Bologna per la sua dimora in Francia; ma gli fu conservato "cum reservatione lecturae" il posto nei rotuli del nostro Studio.
Le scoperte astronomiche da lui fatte, le dotte pubblicazioni, le effemeridi diligentemente calcolate, lo fecero riconoscere per l'astronomo pi dotto dell'et sua. Il merito del CASSINI, nel suo periodo bolognese, fu principalmente quello di aver reintegrato fra noi il culto delle osservazioni astronomiche, e di aver cos preparato l'et successiva, che per l'Astronomia di Bologna, fu veramente gloriosa.
.
La serie degli astronomi bolognesi comprende anche i nomi di GIOVAN BATTISTA RICCIOLI (Ferrara 1598-Bologna 1671), FRANCESCO MARIA GRIMALDI (Bologna 1618-Roma 1696), GEMINIANO MONTANARI (Modena 1633-Padova 1687).
.
GIOVAN BATTISTA RICCIOLI, gesuita, lesse astronomia nelle Scuole dell'ordine, in Bologna. Fu uomo di portentosa erudizione, specialmente noto per il suo Almagestum novum (Bologna 1651): raccolta di tutto ci che gli astronomi di ogni tempo avevano pensato e scritto fino ai suoi giorni; e per i suoi trattati sulla Astronomia, la Geografia e la Cronologia riformata, nei quali volle proporre nuove ipotesi, che egli si lusingava potessero spiegare tutti i fenomeni celesti.
.
FRANCESCO MARIA GRIMALDI fu compagno al RICCIOLI nelle osservazioni astronomiche e nelle esperienze fisiche; a lui si deve la scoperta della diffrazione della luce.
.
GEMINIANO MONTANARI, dopo avere fatto i primi studi in Modena, pass a Firenze, poi a Salisburgo, e quivi si addottor in giurisprudenza. Trasferitosi a Vienna, fece col la conoscenza di PAOLO DEL BUONO, discepolo di GALILEO, uno degli accademici del Cimento, allora matematico dell'imperatore, e dal conversare con lui fu invogliato agli studi scientifici. Nel 1661 fu dal duca ALFONSO IV richiamato a Modena, come filosofo e matematico ducale; e l'anno appresso si rec a Bologna, dove per due anni frequent l'Osservatorio privato del marchese MALVASIA. Nel 1664 ebbe, nel nostro Studio, la lettura di Matematica, che sostenne fino al 1678, per passare di poi a quella di Astronomia e Meteorologia nella Universit di Padova.  celebre soprattutto per la scoperta delle notevoli variazioni di splendore della stella Algol.
Fu scienziato di molto valore, coraggiosamente e decisamente avverso alla Astrologia giudiziaria, che combatt, anche colle sue opere a stampa.
.
4. GLI IDRAULICI.
.
DOMENICO GUGLIELMINI. - La lettura "ad Mathematicam", che in origine era riservata alla scienza pura ed alla astronomia, si and man mano differenziando fra i vari lettori ad essa assegnati. Essi furono, di regola, incaricati anche della "Sopraintendenza al magistero delle acque", chiamati a dirimere le questioni inerenti alla sistemazione idraulica del nostro territorio, ed incaricati dei lavori a ci necessari. Si form cos a Bologna una eletta schiera di idraulici, che, anche in questa materia illustrarono il nostro Studio.
Nel periodo che noi trattiamo ebbero maggior grido, come idraulici, il CASSINI, e DOMENICO GUGLIELMINI.
Di quest'ultimo, specialmente, dura tuttora la fama per il Trattato, ormai classico, Sulla natura dei fiumi, che egli pubblic nel 1697.
Fu scolaro di GEMINIANO MONTANARI per la matematica e di MARCELLO MALPIGHI per la medicina, ed acquist meritata fama in entrambe quelle scienze.
.
Tenne con molto grido la cattedra di matematica e la sovraintendenza del magistrato delle acque nella nostra citt, per gli anni 1686-1698, e la lettura "ad Mathematicam", fu, a favor suo, intitolata: "ad Mathematicam hydrometricam", a partire dal 1695.
Chiamato nel 1698 alla lettura di matematica ed astronomia nella Universit di Padova, fu, col, a partire dal 1702, trasferito alla cattedra di medicina teorica. Ma non trascur mai la sua opera idraulica, nella quale aveva acquistato s gran nome, che a lui si ricorreva d'ogni parte d'Italia, quando si doveva intraprendere qualche importante lavoro di acque. La sua opera fu singolarmente efficace, nella grande controversia delle acque, che a quei tempi intravenne fra le tre legazioni.
Ricorderemo anche le: "Riflessioni filosofiche dedotte dalla figura dei sali" (Bologna 1688) ed il Trattato "De salibus dissertatio physico-medico-mechanica" (Venezia 1705), opere nelle quali i principi che reggono la Geometria degli indivisibili vengono da lui applicati allo studio della generazione delle figure geometriche che si presentano nella cristallizzazione dei sali(122).
L'"Opera omnia mathematica, hydraulica, medica et physica" di GUGLIELMINI,  stata pubblicata da G. B. MORGAGNI, insieme colla vita dell'autore e la versione in latino delle "Riflessioni filosofiche", e del "Trattato sulla natura dei fiumi" (Ginevra 1719). Una nuova edizione del "Trattato sulla natura dei fiumi" colle annotazioni di EUSTACHIO MANFREDI fu pubblicata da GABRIELE ed ERACLITO MANFREDI, a Bologna, coi tipi di LELIO DELLA VOLPE, nel 1739, e pi volte ristampata (Milano, tipi dei Classici italiani, 1821, 1852-53). Fu il primo, fra gli otto soci stranieri chiamati a far parte della Accademia Reale delle Scienze di Parigi, e fu anche socio delle Accademie di Londra e di Berlino e dei "Curiosi della natura".
.
5. - GLI ECLETTICI.
.
Il GUGLIELMINI ci d esempio di quell'eclettismo scientifico, che divenne, pu dirsi, cosa normale, nel secolo 18esimo, ma che gi si era manifestato nel secolo 17esimo.
Abbiamo visto infatti che il maestro di GUGLIELMINI, GEMINIANO MONTANARI, matematico, astronomo e meteorologo di molto valore, era laureato in leggi.
DOMENICO CASSINI, celebre come matematico e come astronomo, ebbe anche la sovraintendenza delle fortificazioni della fortezza Urbana, e fu incaricato della ispezione alla fortezza di Perugia, ed al Ponte Felice, che il Tevere minacciava di abbandonare. Chiamato, insieme con VIVIANI, a dar giudizio sulle opere idrauliche opportune alla regolarizzazione delle acque della Chiana, fece in quella circostanza gran numero di osservazioni fisiche su gli insetti che si trovano sulle galle e nei nodi delle quercie, su le conchiglie fossili, sulle iscrizioni etrusche,... e comunic quelle osservazioni al MONTALBANI, che le fece pubblicare nell'Opera dell'Aldrovandi.
.
OVIDIO MONTALBANI (Bologna 1601-1671), fu censore arcivescovile dei libri matematici (era sostenitore degli aristotelici ed acerrimo nemico dei novatori), dopo aver conseguito la laurea in leggi fu incaricato anche del tacuino astrologico, e, nel nostro Studio, lesse prima Medicina, poi, per un ventennio, matematica ed astronomia, ed infine, per altri vent'anni, filosofia morale, che comprendeva, per ogni quinquennio, le letture: "de justitia et jure", "de virtutibus contemplativis", "de amicitia", "de felicitate in universali", "de virtutibus moralis".
Nel secolo 18esimo, poi, quell'eclettismo fu il sistema filosofico dominante nel nostro Studio, dove in quel tempo fiorivano elette schiere di scienziati di grandissimo talento, abili, come allora si disse, a tutte le scienze ed a tutte le lettere. Dalla loro opera venne la grande fama dell'Istituto marsiliano; ma bisogna pur dire, che, disperse per troppi rami, quelle valide energie allentarono la loro facolt creatrice, e giovarono piuttosto alle applicazioni, che ai progressi delle scienze astratte.
...
.
...
CAPITOLO QUARTO.
...
.
...
L'ECLETTISMO SCIENTIFICO E L'ISTITUTO DI BOLOGNA.
...
.
...
PREMESSA.
...
.
...
Nel quarto Periodo che comprende (grosso modo) tutto il secolo 18esimo, lo sviluppo delle discipline matematiche, nell'ambiente bolognese, prende nuovi indirizzi. Non pi la ricerca individuale, di pensatori profondi, sulla costituzione del campo di validit della scienza astratta, n le discussioni sulle origini, sui fondamenti, sui principii, sui metodi validi alla creazione di scienza nuova, o di nuovi orizzonti per la scienza antica; ma piuttosto la comprensione sotto un solo punto di vista (quello delle applicazioni pratiche), di tutto ci che poteva praticamente esser sfruttato, nel materiale scientifico accumulato nei secoli passati, sparsamente distribuito fra le varie scienze.
Emergono in questi indirizzi uomini dotati di specialissima versatilit, abili a tutte le scienze, e si formano societ di studiosi, che di buon accordo mettono in comune ci che di meglio ciascuno di essi possiede in fatto di idee, di scienza spicciola, di materiale scientifico.
.
Troveremo perci, in questo periodo, particolarmente sviluppato l'eclettismo scientifico, ed avremo il pi preclaro esempio di accademia scientifica.
Le cause di quell'orientamento della scienza furono molteplici, ma principale fra esse, l'opposizione ad ogni tendenza innovatrice, in fatto di scienza, che dopo la condanna di GALILEO imperversava negli Stati pontifici, ed era fortissima a Bologna, dove i gesuiti avevano scuole fiorenti di istruzione media e superiore (cui accedevano anche lettori dello Studio) ed imperavano negli uffici di sorveglianza politica e di censura.
.
Di questa invadenza troveremo esempi notevoli. Ricorderemo ora soltanto che il canonico SALADINI, il solo che allora si occupasse della geometria degli infinitesimi e degli infiniti, era tenuto in disparte, e, finch Bologna fu soggetta al Pontefice, egli non pot mai avere cattedra salariata nello Studio, compariva soltanto nei rotuli, come lettore onorario. Talch di esso poteva scrivere il BONCOMPAGNI: "Il canonico Saladini,  da molto tempo che cerca, dir cos, un pane!"(123).
...
.
.
...
Paragrafo 1.
...
.
...
L'Istituto marsigliano e l'Accademia.
...
.
...
1. - La storia dell'Accademia delle Scienze dell'Istituto di Bologna(124)  notevole per l'influenza che ha avuto sulle vicende dello Studio, sullo sviluppo della cultura, e sul rifiorire della vita nazionale.
Sorta ad iniziativa di un manipolo audace di scolari, quasi per reazione contro l'abbandono in cui giaceva il pubblico Studio, sullo scorcio del secolo 18esimo, seppe promuovere ed iniziare quel movimento di riforma, che, colla fondazione dell'Istituto (1714) integrava l'insegnamento dogmatico, tradizionale della nostra Universit, con una istituzione di scienza sperimentale, dotata del pi copioso materiale scientifico che a quei tempi fosse dato di raccogliere, governata da saggi ordinamenti, illustrata da scienziati insigni, le cui opere la resero famosa in tutto il mondo civile.
.
Questa istituzione fu opera di un uomo veramente grande: LUIGI FERDINANDO MARSIGLI, che ad essa dedic gli anni migliori della sua vita, sacrific opere d'ingegno, fortuna, averi e perfino la pace domestica, e, con instancabile tenacia, con inesauribile genialit di risorse seppe superare le difficolt che ad ogni passo gli si opponevano, pur fra la diffidenza, la prevenzione, l'inerzia, la ostilit subdola e palese delle autorit accademiche e cittadine.
Quando poi, con la invasione napoleonica, cadeva ogni vieto ordinamento scolastico, e tutto era novellamente ricostruito su novissime basi, l'Istituto di Bologna divenne Istituto Nazionale (1797), ebbe funzioni consultive e deliberative, e le esercit per pi anni, quale organo di governo, in quell'amplissimo movimento, onde sort il moderno assetto scolastico della Nazione.
.
2. - SINTOMI DI DECADENZA.
.
Nel secolo 17esimo le condizioni generali del nostro Studio accennavano a grave, progressiva decadenza. Le antiche costituzioni mal rispondevano ai tempi nuovi ed ai nuovi costumi; l'autonomia amministrativa e didattica dei Collegi, generava insofferente indisciplina e poneva gli interessi personali al disopra di quelli della Scuola e della Scienza; le savie riforme propugnate da ben ispirati pontefici, non avevano durevole efficacia, perch ad ogni mutar di Papa, mutavano idee ed indirizzi, cadevano in prescrizione leggi e decreti, e gli abusi si rinnovavano. N miglior sorte ebbe l'aggiunta di una Assunteria di senatori, perch, fatte le debite eccezioni, questi non pensarono ad altro che a procacciare canonicati ai loro protetti, od ai protetti delle loro donne.
.
Le pi dannose manchevolezze si manifestarono nella nomina dei lettori e nel governo del patrimonio e delle rendite universitarie. I Collegi dei Dottori dello Studio pretendevano che le letture ordinarie e straordinarie, fossero riservate ai dottori cittadini, laureati a Bologna; senza considerazione ai meriti scientifici o didattici, ma solo per anzianit di laurea. Ai lettori forestieri furono, di regola, riservate solo quattro cattedre di dottori eminenti, ed anche queste, da ultimo, si lasciarono vacanti.
L'Arcidiacono ANTONIO FELICE MARSILI, Cancelliere maggiore dello Studio, in una sua Memoria stampata senza nome di autore in Bologna l'anno 1689, deplora "la sconcezza di dover porre sullo Studio persone inabili e senza speranza di riuscita", e dimostra che: "l'opinione corsa finora, che l'esser cittadino porti un jus acquisito alla lettura, e l'anzianit del dottorato, la prelazione per essa,  tanto insussistente, quanto perniziosa"(125).
Ma questa, ed altre simili proteste, a nulla valsero, ch, anzi i Collegi pretesero che tanto le prime letture, quanto gli aumenti di salario, fossero inamovibili di lor natura.
.
3. - LE ACCADEMIE SCIENTIFICHE.
.
Nonostante la decadenza degli ordinamenti scolastici, Bologna aveva conservato buona fama nelle discipline scientifiche, sia perch dalla moltitudine degli inetti sempre si lev qualche maestro di gran grido, che tenne alto l'onore dello Studio, sia perch alle deficienze del pubblico insegnamento poneva riparo la iniziativa dei privati cittadini, che si raccoglievano in Accademie, rivolte, non solo a divagazioni letterarie o filosofiche, ma a speculazioni scientifiche ed al libero esperimento.
Quelle Accademie erano ad un tempo una palestra ed una scuola, dove si praticava lo studio dei fenomeni naturali. I soci mettevano in comune il materiale scientifico, ed installavano gli strumenti astronomici nella casa di uno di essi, dove tenevano le loro riunioni.
.
Tale fu, fin dal principio del secolo 17esimo, la Accademia che fu detta "dei Vespertini", perch teneva serali adunanze nella casa dei MONTALBANI; quella pi famosa "della Traccia", fondata dal MALPIGHI, dal MONTANARI, dal FRACASSATI, ecc., quella "del Davia", cui parteciparono, insieme col MALPIGHI ed il MONTANARI, il GUGLIELMINI, ed il MARSILI; infine quella detta "dell'Arcidiacono", fondata dall'Arcidiacono ANTONIO FELICE MARSILI, nel tempo in cui egli era Cancelliere maggiore dello Studio.
.
Ma nel 1690 tutte quelle Accademie erano cessate, perch partiti da Bologna gran parte dei promotori, e lo stesso Arcidiacono privato della carica e mandato vescovo a Perugia, in pena dell'essersi mostrato troppo zelante nel voler reprimere gli abusi che si erano introdotti nella proclamazione delle lauree, e troppo ardito (troppo pericoloso) nel progetto di riforma da lui divulgato per le stampe. In quello stesso anno, appunto fu fondata una nuova Accademia, che prese nome "degli Inquieti", quasi ad indicare "la tendenza di uno spirito nato per non fermarsi mai laddove altri l'avesse condotto, n a quei termini cui altri si era fermato".
.
Pare che a quei tempi, i bolognesi avessero una viva passione per le osservazioni astronomiche. Non solo nel pubblico Studio, ma anche nelle case di privati cittadini, si eressero specole e si passarono le notti nella osservazione degli astri. Il gusto delle osservazioni astronomiche, cui sempre traeva gran concorso di curiosi (fino a recar incomodo agli osservatori), fu forse la principale delle cagioni onde ebbe principio quell'accademia.
.
Ne fu promotore EUSTACHIO MANFREDI, giovine allora appena sedicenne, ma gi nutrito di buoni studi, fornito di rari talenti, di forte ingegno, e, ad un tempo di naturale inclinazione alle lettere, di alto sentimento poetico, di bont intima e profonda.
Intorno a lui si raccolse una eletta schiera di giovani, nelle famigliari riunioni che si tenevano nella casa del MANFREDI, ove si facevano osservazioni astronomiche con strumenti fabbricati con sottile industria dallo STANCARI e dal MANFREDI, o da loro acquistati ed installati nel luogo pi eminente della casa (nella altana!).
.
L'Accademia dur quattro anni in quella sede, poi, cresciuta per numero di soci e per notoriet ed importanza, si trasport nella pi comoda casa di JACOPO SANDRI.
GIANBATTISTA MORGAGNI, fatto principe nell'anno 1704, fu incaricato, insieme con EUSTACHIO MANFREDI e con VITTORIO STANCARI, di dar nuova costituzione all'Accademia. Le nuove costituzioni esplicitamente statuivano "che si imputasse a colpa il voler sostenere quelle cose che non si possono ricavare dalla diretta osservazione o verificare coll'esperimento o dimostrare con sicuro raziocinio".
.
4. - L. F. MARSIGLI.
.
La fama della nostra Accademia presto varc i confini, non pure della citt, ma della nazione, e giunse al MARSIGLI, mentre egli era fuori della patria, a cagione delle guerre coi turchi, cui egli partecipava, sotto i vessilli dell'impero.
LUIGI FERDINANDO MARSIGLI, ebbe a maestri nelle scienze naturali e nelle matematiche LELIO TRIONFETTI, MARCELLO MALPIGHI, GEMINIANO MONTANARI, e fu compagno di studi con DOMENICO GUGLIELMINI.
.
Part da Bologna ancor giovinetto, fu prima a Costantinopoli ai servizii della repubblica veneta, si rec poi a Vienna, prese parte alle guerre dell'Imperatore LEOPOLDO contro i turchi ed a quella per la successione di Spagna. Percorse cos i paesi orientali dell'Europa, ove a lungo si intrattenne, osservando ogni cosa con occhio di scienziato e di erudito. Si rec poi in Francia, in Olanda, in Inghilterra, ed in questi suoi viaggi raccolse gran copia di materiale storico, archeologico, scientifico: macchine fisiche, strumenti astronomici, fossili, minerali, prodotti chimici, armi, modelli di fortificazioni e gran copia di libri stampati e manoscritti, rari e preziosi.
Dall'esempio della nostra Accademia egli trasse l'idea di una riforma dello Studio, per la quale si introducesse nel pubblico insegnamento il metodo sperimentale, e fosse fatto il debito posto alle nuove discipline matematiche e naturali. Fece perci trasportare a Bologna e collocare nel suo palazzo tutto il materiale storico, archeologico, scientifico, che nelle sue peregrinazioni aveva raccolto.
.
Nell'autunno del 1704, dopo i mesi trascorsi inutilmente a Vienna per aver giustizia dall'imperatore, nell'atto di tralasciare la carriera militare per darsi interamente alle Scienze, volle ospitata nella sua casa paterna, anche l'Accademia degli Inquieti.
"Le case del Marsigli (leggiamo nel Tomo I dei Commentari della nostra Accademia) nobilitate dagli studii di quegli uomini egregi, erano ogni giorno affollate da grande affluenza di studiosi, i quali, ora leggendo libri, ora sperimentando per investigare le parti pi recondite della Storia naturale, consumavano l'intera giornata. Sul far della sera cominciavano le osservazioni astronomiche, cui pi di ogni altro si dedicavano lo Stancari, il Manfredi, il Leprotti, che in tali occupazioni spendevano gran parte della notte.
In nessun'altra casa privata si era, prima d'allora, visto cos fiorente consesso di dotti, n cos limpida schiettezza di vita, n cos candida semplicit di costumi".
.
Il MARSIGLI avrebbe voluto che una tale istituzione fosse introdotta nel pubblico Studio; fece perci al Senato graziosa offerta di tutto il materiale scientifico da lui raccolto e della biblioteca, come necessario sussidio alla estrinsecazione di una completa Riforma degli ordinamenti scolastici, da lui esposta con una lettera diretta alla Assunteria degli studi il 6 novembre 1709(126).
Dopo aver svolto alcune considerazioni generali sul metodo e su gli indirizzi degli studi, il MARSIGLI esamina partitamente i vari insegnamenti, ne svela le deficienze, e ne suggerisce i rimedii.
.
In particolare, domanda che per i medici si impartiscano, con metodo moderno, insegnamenti di Storia naturale, di fisica sperimentale, di chimica.
Per quel che riguarda la matematica, ritiene superfluo il ricordare "l'importanza, l'utile ed il decoro di quella scienza per una Universit", solo domanda: "che oltre alla cattedra di Analisi finita ed infinitesimale, istituita in quello stesso anno nel nostro Studio, si istituiscano altre quattro letture, che riguardino sia la matematica pura, sia le applicazioni di essa".
Consiglia poi di "distinguere largamente con stipendi particolari i professori delle matematiche, degli studi naturali, delle lingue,... giacch tutte queste sono scienze che non portano il quotidiano utile che hanno i legali ed i medici".
Infine esorta gli assunti a "punire i lettori negligenti perch i disordini da essi recati allo Studio non sono n rari, n antichi".
.
5. - L'ISTITUTO MARSIGLIANO.
.
Tale progetto colpiva troppi interessi personali e troppo inveterate abitudini, perch potesse essere accolto. Quando fu noto, gli si volsero tutti contro, e pi di tutti i suoi stessi consanguinei, che non avrebbero voluto lasciar uscire di casa il ricco materiale scientifico, n la biblioteca.
Il MARSIGLI dovette abbandonare il suo progetto e limitarsi a coltivare l'idea della fondazione di un Istituto autonomo, annesso allo Studio, ma retto da ordinamenti suoi propri, nel quale i nuovi indirizzi scientifici potessero essere liberamente seguiti.
Per rendere possibile una tale fondazione, egli si offerse di fare ampia donazione di tutta la suppellettile scientifica da lui raccolta e della biblioteca, al Senato bolognese.
Con l'assentimento del pontefice, il Senato assegn all'Istituto le rendite necessarie alla sua fondazione ed al suo funzionamento, ed assegn ad esso splendida sede in un palazzo dell'antica famiglia CELLESI.
.
Nelle stanze di quel palazzo fu distribuito il materiale scientifico, in modo che per ogni materia fossero appositi locali atti alla conservazione di esso ed alle esperienze. E ci fu fatto con tanta magnificenza, con ordinamento cos perfetto, e con gusto artistico cos squisito, da fare esclamare al FONTENELLE: "Par di vedere in atto l'Atlantide del Cancelliere Bacone, ed avverato il sogno di un savio".
L'accademia degli Inquieti ebbe stanza nell'Istituto, divenne parte integrante di esso, e prese nome di "Accademia delle Scienze dell'Istituto".
.
La seduta inaugurale ebbe luogo il 13 marzo 1714. Fino dall'anno 1712 si era incominciato ad edificare la torre su cui dovevasi stabilire la Specola, e questa fu completamente apprestata nel 1725. Frattanto EUSTACHIO MANFREDI aveva continuato nell'osservatorio marsigliano le osservazioni ed il calcolo di quelle Effemeridi che resero famoso in tutto il mondo l'osservatorio astronomico di Bologna.
.
L'Istituto fu governato da una speciale Assunteria di 6 membri, nominata dal Senato. Ebbe, insieme con l'Accademia, speciali costituzioni(127) le quali tendevano ad eliminare gli inconvenienti e gli abusi che si erano introdotti nel governo dello Studio.
I professori, eletti per un solo quinquennio, potevano essere in ogni momento rimossi dall'ufficio, qualora avessero notabilmente demeritato. Erano, di regola, anche lettori dello Studio, e ci stabiliva fra le due istituzioni una stretta colleganza; ma fra l'attivit di professore dell'Istituto e quella di lettore dello Studio, era segnata una distinzione rigorosa dall'art. 3 del Cap. V delle Costituzioni, il quale prescriveva: "Avranno i professori particolare avvertenza di non fare negli esercizi alcuno studio o discorso scientifico, che convenisse alla forma di lezione, o che si potesse chiamare una vera lezione, propria delle cattedre del pubblico Studio, dovendo gli esercizi versare principalmente nella pratica delle osservazioni, operazioni, esperimenti ed altre cose di simile natura".
.
Quella netta distinzione non imped peraltro che si trapiantassero, nella nuova istituzione, quegli stessi abusi che erano stati la rovina dell'antica.
I reclami verbali del MARSIGLI a nulla giovavano, e le denuncie alle autorit cittadine, al legato ed alla Santa Sede non facevano altro che procreare interminabili liti(128). Ma si present una occasione che diede modo di imporre una pi fedele osservanza delle disposizioni statutarie.
Per la stampa della sua magistrale opera "Sul Danubio", furono offerte al MARSIGLI vantaggiose proposte da una rinomata societ libraria di Amsterdam. Il MARSIGLI accondiscese alla stampa, rifiut qualsiasi compenso pecuniario, volle solo in cambio una copiosa e rara collezione di libri scientifici, che non erano compresi nella libreria dell'Istituto, ed una raccolta di "cose naturali delle Indie" (cio dell'America), che il VALLISNIERI giudic "da s stessa poter formare un museo, di cui forse in quel genere non sar il secondo in Italia".
.
Egli intendeva di lasciar tutto ci in dono all'Istituto, a condizione che fossero rimossi, insieme cogli abusi introdotti, le cause che avrebbero potuto favorirli.
Si rec, nonostante la sua et sessagenaria, da Livorno a Londra, ed indi ad Amsterdam, cur la stampa della sua opera e la raccolta del materiale, che affid a mani sicure, e fece poscia trasportare a Bologna. Ma le condizioni che egli voleva imporre per la consegna di quel materiale, non garbavano punto n agli assunti, n al Reggimento; ch pareva troppo strana cosa il dover rinunziare a tradizionali privilegi e ad inveterate consuetudini. Perci si fecero al MARSIGLI opposizioni di ogni specie. Si tent anche di far venire direttamente le collezioni da lui raccolte in Olanda, infine di denigrarne il valore.
.
La controversia, cominciata nel 1721, si trascin per varii anni senza mai venire a definitiva conclusione; finalmente, nei primi del 1726, la Curia romana, cui era stata deferita la soluzione, diede incarico a Mons. PROSPERO LAMBERTINI, dotto, probo, illustre prelato bolognese (che fu pi tardi cardinale, vescovo di Bologna, poi, papa BENEDETTO 14esimo) di raccogliere le ragioni delle due parti e di riferirne, col parere e con le opportune proposte, al competente tribunale.
.
In seguito alle di lui conclusioni, la Segreteria di Stato, con lettera 3 agosto 1726, dava le opportune norme al Cardinale Legato perch venissero accettate, insieme con le donazioni del MARSIGLI, le condizioni da lui proposte come idonee ad un miglior funzionamento dell'Istituto.
La sola condizione non bene accolta dal LAMBERTINI, perfetto conoscitore degli uomini e dei tempi, fu quella intesa a "levare l'ingerenza dell'Istituto al Reggimento, e darla al Legato", per la considerazione che "...col tratto di tempo, un aiutante di camera del Cardinale Legato, diventerebbe il padrone dell'Istituto".
.
Ma l'Assunteria seppe frapporre curialeschi ostacoli, in modo da procrastinare di un altro anno la definitiva risoluzione. Ed in quel frattempo, tante furono le insinuazioni, i libelli ispirati e propalati da personalit cittadine, e dagli stessi parenti suoi prossimi, che alla fine il MARSIGLI, disgustato, dopo aver firmato l'atto di donazione all'Istituto, e le nuove costituzioni che ne assicuravano la definitiva sistemazione, dispose la pubblicazione degli "Atti Legali" concernenti la fondazione, e poi lasci la citt e la patria, e volle perfino rinunziare al nome avito ed allo stemma di famiglia.
.
Ma non invano furono spese le sue fatiche, n invano egli sopport le angustie che amareggiarono gli ultimi anni di sua vita. L'opera di lui fu oggetto della pi viva ammirazione, quando per essa si vide l'Istituto salire ad alta fama, e rifiorire di nuove fronde l'antico tronco del glorioso ateneo. Il MARSIGLI ebbe ferventi seguaci, degni continuatori, fra i quali basti il ricordare quel Cardinale LAMBERTINI, che cos efficacemente aveva contribuito alla conservazione dell'Istituto. I cittadini bolognesi fecero a gara, chi pi dell'altro fornisse di donativi l'Istituto, che meravigliosamente cresceva di magnificenza e di ricchezza. Pi cospicue fra tutte, furono le elargizioni del Pontefice bolognese BENEDETTO 14esimo, fra le quali ricorderemo la destinazione all'Accademia, delle rendite del Collegio Pannolini, perch con esse fosse costituita la pensione a 24 soci, che furono detti Benedettini.
.
La fama dell'Istituto si sparse per tutto il mondo scientifico coi "Commentari" stesi in elegante stile latino da FRANCESCO MARIA ZANOTTI, e con le pubblicazioni dell'Osservatorio astronomico, e principalmente delle Effemeridi, calcolate da EUSTACHIO MANFREDI (Opera resa necessaria in tutti i luoghi dove si abbia qualche idea di Astronomia).(129)
L'osservatorio si arricch, nel 1741, di parecchi nuovi e preziosi strumenti costruiti in Inghilterra da SISSON, che, messi a posto da EUSTACHIO ZANOTTI con somma diligenza, costituivano un impianto astronomico dei pi rispettabili, per quel tempo. Con essi lo ZANOTTI continu i grandi lavori astronomici cominciati da EUSTACHIO MANFREDI, ed altri ne intraprese, che gli conferirono meritata celebrit.
.
6. - OPPOSIZIONI DEGLI SCOLASTICI.
.
La molteplice e varia attivit dell'Istituto era fatta palese a tutto il mondo scientifico dalla pubblicazione dei Commentari.
Ma bisogna pur dire che questa pubblicazione, come del resto tutto ci che riguardava le ricerche scientifiche in Italia, era troppo aduggiata dalla invincibile opposizione degli aristotelici e dalla gretta ostilit della Inquisizione, che coi continui indugi faceva perdere il pregio della priorit, e con la inesorabile censura di ogni idea, di ogni frase che avesse sapore di modernismo, tarpava le ali alla ricerca scientifica.
.
FRANCESCO MARIA ZANOTTI, uomo di sicura fede cattolica, pio, castigato, prudente, nell'atto di pubblicare i suoi celebri "Commentari" si mostra sgomento di dover affrontare il giudizio del Sant'Ufficio, e si raccomanda per protezione e consiglio all'archiatra pontificio ed amico suo, ANTONIO LEPROTTI, cui, in data: "Bologna il Sabato S.to 1729", scriveva:
"...tu sai che io, come segretario di questo Instituto et Accademia delle scienze, ero in preciso obbligo di stendere la storia dell'uno e dell'altra, la quale de contenere in primo luogo la fondazione di questa e di quello, le leggi, le usanze, la notizia dei professori che vi hanno parte, ecc. In secondo luogo de spiegare le cose pi notabili, di cui si  trattato nell'Accademia, in un ultimo luogo, de contenere varii opuscoli dei varii accademici. Ora, avendo io posto mano a tale opera, l'ho condotta a questo termine: La prima parte  finita, la seconda lo sarebbe altres, se non mi mancasse una sola cosa del Beccari, che egli non conchiude mai di darmi, e quando me la dar, io dovr volgerla in lingua latina; la terza parte, che sono gli opuscoli,  gi messa insieme, e ricopiata quasi tutta; onde posso dire che quasi non resta pi altro se non che far ricopiare le prime due parti, le quali sono ora sotto l'occhio del Galeazzi e del Bazzani, e sono state sotto quelli del Manfredi, e come vi avr fatte quelle mutazioni che questi mi suggeriranno, la cosa sar ridotta, quanto a me, al suo termine. Per lo che, fra tre o quattro mesi, io vo immaginando che il Tomo sar ridotto a tale che bisogner consegnarlo all'Inquisizione. Or questo  il luogo dove la prudenza mi pare essere il pi grande imbarazzo del mondo, perch, a dirti il vero, non so come condurmi.
.
Tu sai le vicende che ha sofferto il libro che stampa ora il Manfredi. Ora la mia istoria contiene una compendiosa relazione di questo libro. Oltre a ci io non ho potuto sfuggire, in altri luoghi, di esporre di qual sentenza fosse il Copernico, non ho potuto sfuggire di chiamare tal sentenza un'ipotesi ingegnosa, ed atta a spiegare i fenomeni della natura; non ho potuto sfuggire in qualche luogo di dire che alcuni filosofi hanno creduto che le bestie non sentano, e in somma, non ho potuto sfuggire di parlare con rispetto e con carit dei moderni.
Ora io temo forte che i Revisori, a ciascheduno di questi luoghi pretendano che io aggiunga qualche protesta, e, dove espongo quel che sente il Copernico, subito aggiunga che io per detesto il suo sistema, come un'eresia; dove dico che i moderni hanno dubitato se le bestie sentano, subito aggiunga che questo dubbio per  contrario alla Fede cattolica; e cos temo che facendo lo stesso ora ad un luogo ora ad un altro, mi obblighino a riempire il libro di atti di Fede, intorno a certi articoli che non sono nel Credo e che io non sono tenuto a credere esplicitamente, e che, se per ventura, non fossero poi articoli, come  sentimento di tanti cattolici, noi faremmo ridere della nostra semplicit la stessa Chiesa Cattolica.
.
Tra i molti doni che il Sign. Cardinale Da Via ha fatti a questo Instituto, io non ho potuto a meno di non riferire anche la Sfera copernicana, e di descriverla, bench brevemente, con qualche lode. Non vorrei che qui ancora m'obbligassero a dire che tanto Sua Em.za quanto io, riguardiamo tale macchina come uno scherzo d'ingegno, sapendo per altro, e Sua Em.za ed io, che tale macchina  contraria alla Fede. Tu vedi benissimo in quale maniera tali proteste sarebbero ricevute dai cattolici stessi, gi dotti, in un libro che  il primo saggio dato al Mondo di questa accademia delle scienze, la quale si suppone che contenga il fiore della letteratura di Bologna.
Tu vedi ancora che io non potrei sinceramente dichiarare, che la sentenza, o del Copernico, o del Cartesio sia eresia, quando io, per mia coscienza non ho mai saputo, e non so, che sia tale.
.
E qui, a dirtela, ho bisogno di prudenza, perch io non ho mai fatto proteste, contro l'animo mio, e pi tosto non consentir che si stampi il libro, che fare una protesta chiara et assoluta, di tener per articolo di Fede quello che in coscienza mia non so e non debbo sapere che sia tale.
Ora dunque io vorrei che tu mi consigliassi sopra questo, e mi dicessi come potrebbe farsi a stampar questo libro, e non depravarlo con proteste vane e poco sincere, senza nimicarmi le persone"(130).
I timori dello ZANOTTI non erano vani. Due anni dopo (nell'ottobre 1729), egli era costretto a raccomandarsi di nuovo al LEPROTTI, e gli scriveva:
"Dovr presentare al Sant'Offizio di nuovo l'istoria senza altro, o dovr fare alcun altro passo? Questo vorrei che mi scrivessi, e mi levassi d'imbroglio, perch ogni d vanno nascendo nuove difficolt, e, se questa faccenda non si conchiude una volta, io divento matto.
.
Intanto si va prolungando, e ogni mese vanno crescendo nei giornali e negli atti delle Accademie, dissertazioni e schediasmi, i quali o ci prevengono in molte cose, o ci si oppongono, e obbligano me a levare, o mutare od aggiungere quando una cosa, quando un'altra.
A buon conto tutto quello che si dicea del passaggio di Mercurio sotto il Sole, a quest'ora si trova detto in altri libri".
Solo due anni dopo, cio nel 1731, sotto il pontificato di BENEDETTO 14esimo, poteva finalmente uscire il tanto sospirato Primo Tomo dei Commentari dell'Accademia e dell'Istituto di Bologna, che nel 1748, era poi nuovamente stampato.
.
A questo proposito giova ricordare che gi nel discorso inaugurale, recitato il 13 marzo 1714 per l'apertura dell'Istituto marsigliano di Scienze ed Arti, dal padre ERCOLE CORAZZI, religioso benedettino della congregazione degli Olivetani, professore di Analisi nella Universit di Bologna (riportato in traduzione francese nell'opuscolo: Histoire de l'Acadmie appele l'Institut des sciences et des arts, par M. DE LIMIERS, Amsterdam 1723), si legge quanto segue:
"Plusieurs se font de l'antiquit une espce de Religion qui leur a t transmise par leurs anctres et se persuadent que la facult de raisonner, qu'ils ont reu du ciel, s'teint peu  peu, et diminu  proportion qu'elle s'loigne de cette premire origine du Monde. De-l leur attachement servile pour le prince des Philosophes, comme ils l'appellent, qui fait qu'ils se croyent assez savants, pourvu qu'ils le puissent rciter dans l'occasion: en quoi ils sont moins des philosophes que les historiens de la philosophie. Cette persuasion o ils sont, que l'esprit humain, qui a ses bornes, a beaucoup perdu de ses forces depuis le temps de celui qu'ils regardent comme leur matre, fait qu'ils voudraient bannir comme insenss ou comme nuisibles  la Rpublique des lettres, ceux qui voudraient faire des efforts pour pousser leurs lumires plus loin".
.
Il MARSIGLI, nel suo "Parallelo", indirizzato alla Assunteria di Studio (loc. cit., p. 411), ricorda che "MARCELLO MALPIGHI, di gloriosa memoria, diede esempio come si doveva osservare ne l'anatomia, e, perch forse fu cittadino di questa patria, fra l'emulazione, molti hanno sdegnato l'imitarlo; non avendo sentito alla di lui fama e gloria maggiori contrarij, che i proprii cittadini. Devo rendere giustizia alle di lui ceneri, coll'assicurare alle SS. VV. Ill.me, che l'ho sentito, di l dai monti, citare con l'epiteto Divino Malpighi, e che pi di una volta sono stato interrogato, come era possibile che in Bologna non vi fosse chi imitasse le di lui pedate, nel cercare nuove discoperte della natura...".
Con minor ritegno, il prof. GIOVANNI MARTINOTTI, della nostra Universit, scriveva, sotto il titolo: "Il Malpighi nello Studio di Bologna", nel n. di luglio 1928 della Rassegna "Il Comune di Bologna":
"Si stamparono libelli pieni di ignominie contro il Malpighi; nelle pubbliche lezioni, nelle Accademie si fecero satire pungenti contro di lui; lo si accus di non far scolari e di rubare lo stipendio...". "N a questo limitarono le ire e le offese i nemici di Malpighi. Si costrinsero i laureandi in Medicina a giurare che avrebbero seguito e difeso soltanto le dottrine di Aristotele, di Galeno ed Ippocrate. Promotore di ci fu il celebre Ovidio Montalbani, altro acerrimo nemico del Malpighi, caldo sostenitore degli arabi e degli antichi, avverso a tutte le conquiste dei moderni".
Il MONTALBANI, da noi gi ricordato, era ai suoi tempi tenuto in molta considerazione, era professore nel nostro Studio, ed anche censore arcivescovile per le opere matematiche.
 7. - MUTUI RAPPORTI FRA LO STUDIO E L'ISTITUTO.
Da quel che abbiamo detto facilmente si intende come a quei tempi, ed in quell'ambiente, anzich verso la scienza pura, lo spirito ardente ed operoso che animava la giovent bolognese, fosse prevalentemente indirizzato verso le scienze sperimentali, che trovavano ampio campo di applicazione e di studio nelle stanze dell'Istituto marsigliano. Nei suoi inizi tale Istituto comprendeva i gabinetti di Scienze, Astronomia, Meccanica, Fisica, Storia naturale e Chimica. Poi, per la gara generosa di illustri cittadini, fieri della rinomanza che l'Istituto procurava a Bologna, quelli di Architettura militare, di Geografia, di Nautica; e, per merito del pontefice BENEDETTO 14esimo, di Anatomia, di Chirurgia, di Ottica, di Ostetricia, di Antichit. Quel benefico pontefice fece costruire per la biblioteca la magnifica aula, che ora funziona da sala di lettura nella biblioteca universitaria, e dot quella biblioteca, colla collezione dei libri del MARSIGLI, e con una quantit di libri stampati e manoscritti.
.
I rapporti stabiliti fra lo Studio e l'Istituto portarono anche nell'antico Ateneo un fermento di idee nuove, che eccitava docenti e discepoli ad un lavoro fervido e fecondo. Sotto la pressione dei bisogni culturali che il MARSIGLI aveva segnalati, le cattedre da lui proposte, ad una ad una si instauravano nello Studio; e, sullo scorcio del secolo 18esimo, prima ancora che la rivoluzione francese fosse venuta a rinnovare ogni civile ordinamento, la nostra scuola matematica aveva gi acquistato l'assetto delle moderne facolt di scienze. Non meno di 10 letture di matematica pura figuravano nei Rotuli, insieme con due di fisica ed una di chimica, professate da un corpo accademico che vantava i nomi di EUSTACHIO e GABRIELE MANFREDI, di VITTORIO STANCARI, di EUSTACHIO e FRANCESCO MARIA ZANOTTI, di GIROLAMO SALADINI, di BARTOLOMEO BECCARI, di PETRONIO MATTEUCCI, del CANTERZANI, del GALVANI, di G. B. GUGLIELMINI, del FRISI,... Ed ogni lettura universitaria era integrata dalla pratica delle esercitazioni, delle osservazioni, degli esperimenti che si svolgevano nell'Istituto.
La tradizione matematica fu conservata da GABRIELE MANFREDI, che, per quel che gli fu possibile, in quell'ambiente, si manifest degno continuatore della vecchia scuola bolognese. Egli fu certo uno dei migliori analisti che allora avesse l'Italia, ed alla sua Opera sar dedicato il Capitolo seguente.
...
.
...
Paragrafo 2.
...
.
...
L'opera geometrica di Gabriele Manfredi.
...
.
...
1. - IL LIBRO: DE CONSTRUCTIONE AEQUATIONUM DIFFERENTIALIUM.
.
Nello scorcio del secolo 17esimo i principii fondamentali del Calcolo infinitesimale erano quasi completamente stabiliti, ed una serie di problemi, attinenti le applicazioni alla geometria ed alla meccanica, risoluti in modo da manifestare le possibili direttive di una Geometria infinitesimale. Ma non si pu dire che la nuova scienza fosse ancora fondata, perch una teoria scientifica non  la congerie di alcune o di molte grandi verit isolate o di problemi proposti per: "tastare il polso ai matematici"; occorre che quelle verit, quelle proposizioni, quei metodi, quei problemi siano collegati l'uno all'altro in una sistemazione logica della materia.
Questa sistemazione logica fu fatta dal DE L'HPITAL nel 1696, con la sua "Analyse des infiniment petits", per il calcolo differenziale; ma rimaneva da fare per il Calcolo integrale e per le equazioni differenziali: cio per la parte pi ardua e nello stesso tempo pi interessante della materia.
.
A questa opera si accinse nel 1707 GABRIELE MANFREDI col suo libro: "De Constructione Aequationum differentialium primi gradus"; nel quale, come egli stesso scriveva: "Tradimus in hoc opuscolo Constructionem Aequationum Differentialium primi Gradus ex collectis, et in ordine dispositis, et analytice demonstratis speciminibus, quae clarissimi nostro hoc aevo geometrae in libris sparsim, nullo quidem ordine, nullave methodi ratione habita, prout passim invenerunt publico sunt elargiti".
Il libro ebbe grande successo. Negli Acta Eruditorum (a. 1708, p. 267) esc una favorevolissima relazione. Il LEIBNIZ ne scriveva al MANFREDI: "Debebit tibi Italia, aliisque paucis, ne expers sit elegantioris, profundiorisque Geometriae nuper apertae....
.
...Tu quidem eleganti, atque utili compendio sparsim exposita complexus es, ut facilius appareat, quid adhuc desideretur"(131).
In tutti i trattati di Calcolo scritti nel secolo 18esimo si cita il libro di MANFREDI come "quello che promosse i pi notevoli progressi nell'analisi infinitesimale in Italia"; ma pare che quell'opera sia ora dimenticata, poich non si vede citata nelle "Vorlesungen" del CANTOR, dove un lungo capitolo, scritto da un nostro connazionale,  dedicato alla storia del Calcolo infinitesimale nel secolo 18esimo, n nella "Enciclopedia delle matematiche elementari" (vol. I, parte II, art. 18esimo, "Elementi di Analisi infinitesimale", p. 441-548), dove tuttavia abbondano le note storiche.
L'Opera geometrica del MANFREDI  notevole, non solo per la sistemazione logica di risultati sparsamente da altri ritrovati, ma anche per i nuovi contributi che egli ha dato alla scienza, sia nell'opera ricordata, sia in successive sue pubblicazioni. In particolare, diremo qui della Introduzione e dell'uso sistematico in geometria differenziale di coordinate curvilinee, della risoluzione di notevoli problemi di traiettorie, della Integrazione di equazioni differenziali lineari omogenee.
.
2. - COORDINATE CURVILINEE.
.
Il primo esplicito accenno all'uso di coordinate curvilinee per la rappresentazione di curve piane, si trova nella nota inserita negli Acta Eruditorum del marzo 1692 col titolo: "De linea ex lineis numero infinitis ordinatim ductis inter se concurrentibus formata, easque omnes tangentes, ac de novo in ea re analysis infinitorum usu". Autore O. V. E. (una delle sigle usate dal LEIBNIZ).
.
Ivi, fra l'altro,  detto infatti: "Verum ego sub ordinatim ductis non tantum rectas, sed & curvas lineas qualescumque accipio, modo lex habeatur, secundum quam dato lineae cuiusdam datae (tamquam ordinatricis) puncto, respondens ei puncto linea duci possit, quae una erit ex ordinatim ducendis, seu ordinatim (positione) datis. ...Porro etsi eae non concurrant omnes ad unum punctum commune, tamen regulariter duae quaevis tales lineae proximae, (id est infinitesime differentes, seu infinite parvam habentes distantiam) concurrunt inter se, punctumque concursus est assignabile, et his concursibus ordinatim sumptis nova prodit linea concursuum".
.
Il concetto  meglio sviluppato nella nota che fa seguito alla precedente, pubblicata nel luglio 1694 degli stessi Acta E. col titolo: "G. G. L. Nova Calculi differentialis applicatio et usus, ad multiplicem linearum constructionem, ex data tangentium conditione". Si ricava di qui che il LEIBNIZ non aveva in vista l'uso di coordinate curvilinee, ma solo il metodo di differenziazione di curva in curva, che egli espone, e che vuol giustificare col considerare il parametro, che comparisce nella equazione di una famiglia di curve, come una coordinata del punto di incontro di due curve prossime, cio come una variabile, rispetto alla quale  lecita l'operazione di differenziazione.
Nel fatto egli usa sempre coordinate cartesiane, ed il suo "Nuovo Metodo"  quello che serve alla ricerca degli Inviluppi di linee.
.
Ma gi nel gennaio 1691, GIACOMO BERNOULLI aveva pubblicato negli Acta Eruditorum uno: "Specimen Calculi differentialis in dimensione Parabolae helicoidis, ubi de flexuris curvarum in genere, earumden evolutionibus, aliisque J. B.", nella quale studia la curva secondo la quale si deforma una parabola se si immagina che l'asse di essa si adatti sulla circonferenza di un dato cerchio ed i punti della parabola conservino la loro distanza dall'asse: "Cum axis vulgaris Parabolae curvatur in peripheriam circuli, curva, quae per extremitates applicatarum in centrum circuli vergentium transit, dicitur nobis Parabola helicoides, vel si mavis, Spiralis parabolica". Il BERNOULLI continua a chiamare x la lunghezza del segmento di asse che si  adattato sul cerchio (cio in effetto l'arco di cerchio compreso fra il punto che ha occupato il vertice della parabola ed il piede della normale al cerchio condotta dal punto generico della curva) e chiama y la ordinata corrispondente (contata sul raggio del cerchio che va al punto considerato della curva).
.
Gli storici considerano, a ragione, questo, come il primo esempio della applicazione di un sistema di coordinate polari allo studio delle curve; ma si pu dire esser questo un primo saggio dell'uso di coordinate curvilinee, costituite dal fascio di cerchi concentrici e dal fascio di rette uscenti dal centro comune.
Un pi esplicito accenno all'uso di coordinate curvilinee si trova nella "Analyse des infiniments petits" del DE L'HPITAL, dove, nella prop. 2 della Sezione 2, si dimostra che quando pure si supponga che la curva sia riferita ad un sistema di coordinate, nelle quali "les coupes soient des portions d'une ligne courbe dont l'on sache mener les tangentes..." e le ordinate siano, come al solito, rette parallele ad una data, la espressione della sottotangente conserva la forma ydx/dy.
Ma questa proposizione, dal punto di vista delle coordinate curvilinee, rimase totalmente isolata, come caso di eccezione, ed il DE L'HPITAL ha fatto poi sempre uso costante delle coordinate cartesiane.
.
Il MANFREDI, nella sua opera: "De constructione aequationum differentialium primi gradus", parte da un concetto generale di coordinate: "Nomine vero coordinatarum intelligo duas indeterminatas datae naturae, quarum data sit positio ad singula quaesitae Lineae puncta sufficienter determinanda" (Definitio Tertia, p. 15), ed oltre al solito sistema cartesiano considera quello che risulta dal prendere come asse delle ascisse una curva comunque data, e per ordinate le normali a detta curva. In altri termini immagina il piano ricoperto dalla rete ortogonale costituita da una famiglia di curve parallele e dalle loro traiettorie ortogonali.
.
Il sistema da lui studiato  dunque una generalizzazione di quello usato dal BERNOULLI per la parabola elicoide, e comprende quindi, come caso particolarissimo, anche l'ordinario sistema delle coordinate polari. Egli ha fatto di tale sistema una esposizione sistematica, ed ha trovato le formule fondamentali che esprimono, la sottotangente, il differenziale dell'area, il differenziale dell'arco ed anche ci che si potrebbe chiamare sottotangente polare, cio il segmento che la tangente alla curva da studiare stacca su la normale alla ordinata innalzata dal centro di curvatura, mediante le espressioni:
,,,=,
nelle quali q rappresenta il raggio di curvatura della ascissa, calcolato nel punto che  piede della normale abbassata dal punto generico della curva.
Da questo sistema si ha, in particolare, il sistema di coordinate polari (allora non ancora di uso comune), col fare che l'asse della ascissa sia il cerchio di raggio unitario, e col prendere:
x = ?,y = ? - 1.
Le formule trovate danno immediatamente, come caso particolare, le notissime espressioni:
,=
ed anche, per il differenziale dell'area:

Troviamo nel libro del MANFREDI per la prima volta, la esposizione ordinata di un sistema generale di coordinate curvilinee, in relazione con l'uso di esse nella geometria differenziale, ed in particolare le formule che reggono l'uso delle coordinate polari.
.
3. - LE TRAIETTORIE.
.
La prima notizia pubblica di traiettorie isogonali  data da GIOVANNI BERNOULLI negli Acta Eruditorum dell'ottobre 1698 dove sono riportate lettere del LEIBNIZ del settembre e del dicembre 1694, ove fra l'altro si legge:
"Methodus, inquit, inveniendi curvam quae ordinatim positione datis occurrat ad angulos rectos, meo judicio consistit in duabus aequationibus, una continente relationem inter x, y et constantem quandam in curva positione data, sed pro diversis talibus ordinatim datis variabilem b; altera continente valorem ipsius dy:dx in curva quaesita, expressum ex proprietate perpendicularium in curva positione data, cuius aequationis ope datur ipsius b valor per dy, dx, y, x, pro re nata; quarum duarum aequationum ope tollendo b, habetur aequatio differentialis primi gradus pro relatione inter x, & y.... Caeterum praeclare a te notatum est, hoc problema usum habere in Dioptricis, pro curvatura radii in medio continue variante".
.
Bench il metodo generale di risoluzione per tali problemi sia qui egregiamente accennato, ci non bast al BERNOULLI, che tenne un lungo carteggio col LEIBNIZ, per esporgli tutte le difficolt che gli si presentavano nella applicazione di quel metodo alla effettiva risoluzione di problemi di traiettorie.
Nel Commercio Matematico e filosofico fra Leibniz e Bernoulli, (pubblicato nel 1745) troviamo non meno di 9 lettere scambiate fra quei due matematici nel periodo fra il 1694 ed il 1697, nelle quali quel problema  sotto vari aspetti dibattuto.
La pubblicazione degli Acta Eruditorum, chiude quel periodo di discussioni e di studi, ma non espone al pubblico altro che quella prima regola generale data dal LEIBNIZ, sulla quale appunto si era cos lungamente ragionato e discusso.
.
Il problema conservava dunque tutta la sua difficolt, non solo al tempo in cui il MANFREDI pubblicava la sua opera, ma anche dopo, tanto che nel 1715, quando fervevano le questioni fra i seguaci del NEWTON ed il LEIBNIZ, per la priorit della scoperta del Calcolo infinitesimale, il LEIBNIZ scriveva all'Abbate CONTI:
"Pour tter un peu le pouls  nos Analystes Anglois, ays la bont, Monsieur, de leur proposer ce problme comme de vous mme ou d'un amis: Trouver une ligne BCD qui coupe  angles droits toutes les courbes d'une suite determine d'un mme genre, par exemple toute les Hyperboles AB, AC, AD, qui ont le mme sommet et le mme centre, et cela par une voy gnrale. Car on marque ce problme particulier seulement pour se faire entendre, car dans les sections coniques il a ses facilits particulires, mais il s'agit de donner une methode gnrale. Et ce problme general peut tre con ainsi: Estant donne la courbure des rayons de lumire dans le milieu diaphane, changeant continuellement de refractivit, trouver l'onde de lumire selon la manire de M. Huygens, ou selon la faon de parler de M. Bernoulli la synchrone,  laquelle les rayons ou les mobiles, pris convenablement, parviennent en mme temps"(132).
.
Il LEIBNIZ comunic anche a GIOVANNI BERNOULLI il suo quesito, e questi in data 15 gennaio 1716 gli rispondeva:
"....mitto ad Te solutionem ab ipso inventam Problematis de invenienda curva omnes Hyperbolas ejusdem axis transversi ad angulos rectos secante, quod per Dominum Abbatem Contium Anglis Analystis proposuisti, in exemplum Problematis illius generalis, quo quaeritur Trajectoria omnes curvas determinatas ordinis ejusdem generis ad angulos rectos trajiciens. Fateor hoc Problema generaliter sumptum ab Analystis illis non facile solutum iri, nisi cogitent de modo nostro differentiandi parametros, vel alias lineas quae parametrorum loco sunt, seu de transitu differentiationis a curva in curvam... ...Dubito autem an Angli (quos nihil hactenus de hoc separationis negotio scripsisse vidi) in hunc gurgitem se demittere audeant".
.
Far dunque meraviglia il trovare nel libro che il MANFREDI aveva pubblicato fin dal 1707, non solo applicato il metodo della differenziazione di curva in curva con piena consapevolezza e nella sua generalit, ma risoluti con metodo generale problemi di traiettorie del tipo di quelli che il LEIBNIZ proponeva per tastare il polso agli analisti inglesi, ed altri pi generali, di ordine pi elevato.
Nella Prop. 4 del suo libro egli infatti, dopo aver definito per curve simili quelle rappresentate da equazioni nelle quali i parametri sono fra loro proporzionali ("Nomine curvarum similium intelligimus curvas ejusdem naturae, in quibus Parametri, sive constantes sunt in eadem ratione") si propone il problema: Date infinite curve simili, in posizione di omotetia, riferite ad uno stesso asse delle ascisse e ad una stessa origine A, (A  centro di omotetia: "punctumque commune A circa quod similiter positae sunt") scrivere la equazione differenziale delle curve che tagliano tutte le curve simili della famiglia in punti E, G,... tali che gli archi EL, GL',... compresi fra i punti di incidenza e l'asse delle ascisse risultino tutti fra loro eguali.
Con elegante procedimento di geometria infinitesimale il MANFREDI prova che: per avere la tangente in E alla traiettoria, GEB, basta condurre per l'origine A la parallela alla tangente in E alla curva della famiglia che passa per E, poi prendere su questa il segmento AH eguale alla costante a (lunghezza comune di tutti gli archi EL...). La congiungente HE sar la tangente richiesta.
Da questa proposizione ricava la relazione differenziale:

nella quale s, t indicano le espressioni della sottotangente e della tangente geometrica di una curva generica della famiglia in funzione delle coordinate x, y. Aggiunge che baster poi eliminare, dalla equazione scritta e da quella che rappresenta la famiglia di curve data, il parametro z della famiglia, per avere la equazione differenziale delle traiettorie richieste.
Il MANFREDI applica il procedimento quivi indicato ad un esempio semplice, al caso cio che le curve della famiglia siano cerchi col centro su l'asse delle x, e con raggio doppio della ascissa del centro.
.
Come nuovo esempio di differenziazione di curva in curva, il MANFREDI insegna a differenziare l'equazione della famiglia rispetto al parametro, e si giova della formula trovata per determinare, fra tutte le curve della famiglia, quella in cui  minimo l'arco racchiuso fra due rette date incidenti.
Sempre nel caso di una famiglia di curve simili, il MANFREDI, nella prop. V, risolve il problema di costruire la equazione differenziale di traiettorie che determinano area costante per il triangolo compreso fra l'ordinata, l'arco terminato all'asse delle ascisse, e la sezione di asse x, compresa. Indicando l'area costante con a2, trova la relazione:
{.
Da queste, e dalla equazione della famiglia eliminando z e dz, si avr la equazione differenziale cercata.
Al termine dell'opera, tratta col metodo ora classico, un problema di Traiettorie ortogonali. E, precisamente trova le Traiettorie ortogonali ad una famiglia di parabole aventi l'asse su l'asse delle ascisse e parametro eguale alla ascissa del vertice. Giunge alla equazione differenziale

che a quei tempi non si sapeva risolvere con metodo generale ("Verum non constat esse integrabilem, nec qua via possint indeterminatae cum differentialibus ab invicem separari"). Il MANFREDI ne eseguisce la integrazione con elegante artificio, ed ottiene cos l'equazione della curva in termini finiti.
Quella equazione differenziale  notevole anche per il fatto che ha porto occasione al LEIBNIZ di ritrovar il metodo generale (tutt'ora seguito) per la integrazione di equazioni differenziali lineari, che si vede esposto appunto nella lettera al MANFREDI da noi riportata.
.
4. - LE EQUAZIONI DIFFERENZIALI OMOGENEE.
.
Nell'ultima sezione del suo libro, trattando della effettiva integrazione delle equazioni differenziali che si presentano nella risoluzione dei problemi geometrici, MANFREDI si imbatte nella equazione:

e confessa di non saper come separare le indeterminate: "sed tamen haec eadem aequatio non apparet quomodo construibilis sit, neque enim videmus quomodo illam integremus, nec quomodo indeterminatas ab invicem separemus".
Ma pi tardi, tornando sopra quelle questioni egli riesc a trovare soluzione generalissima, che pubblic nel "Giornale dei letterati d'Italia" (Venezia 1714), sotto il Titolo: "Breve schediasma geometrico per la costruzione di una gran parte delle equazioni differenziali del primo grado". Riporto qui la parte principale di quella breve, ma chiarissima esposizione:
"Dopo aver io pubblicato in et pi giovanile una operetta: De constructione aequationum differentialium primi gradus, dove prometteva al pubblico col tempo qualche ulteriore cosa della materia stessa, mi sono trovato talmente impegnato negli affari delle mie incombenze, per loro stesse tanto aliene dagli studi della Geometria, che non ho avuto agio di porre in un poco d'ordine e ripassar sopra alcuni teoremi che ho di molta universalit per le integrazioni e la separazione delle indeterminate co' loro differenziali nelle equazioni. Ma essendomi poc'anzi venuto fatto di trovarne uno, al mio credere nuovo, e che serve a sciorre una infinit di problemi non meno utili che curiosi, nello scioglimento d'alcuno dei quali ho in particolare veduto porre qualche fatica d'uomini di primo grido in quelle speculazioni, ho creduto di non far se bene a metterlo fuori, acciocch di qui avanti non si perda pi tempo a sviluppare cotali equazioni, cercando forse per ognuna di esse una regola a parte, quando una generale e semplicissima pu servire per costruirle tutte.
.
Sono queste equazioni tutte quelle, nelle quali poste x ed y le due coordinate, le dimensioni dell'una di esse aggiunte alle dimensioni dell'altra in ogni termine dell'equazione fanno una egual somma, di sorte che non vi sia bisogno di supplire con quantit costanti le dimensioni che ad esse mancassero in qualche termine. N importa poi se vi siano segni radicali, o serie innalzate a qualsiasi podest; anzi n pure se vi fossero segni radicali che includessero altri, o serie innalzate a qualsiasi podest che ne includessero altre simili, purch le dimensioni delle due coordinate prese insieme siano eguali in ogni termine. Abbia poi ogni membro prefissa qualunque costante si vuole, che ci punto non impedisce l'uso della regola. In tutte queste equazioni adunque posta. si giunge ad un'altra equazione che  divisibile per tanta potest della indeterminata x, quanta era la somma degli esponenti di x ed y in ogni termine della proposta equazione, e, dopo la divisione, la lettera x non si trover nella equazione elevata oltre alla prima potest, e sempre moltiplicata in dz; e pertanto l'equazione si ridurr in istato che dall'una parte si potr lasciare solo dx/x, e l'altra parte avr solamente z/dz, e le costanti date e prese ad arbitrio, ed in tal modo le indeterminate saranno separate coi loro differenziali".
.
Per questo motivo la risoluzione delle equazioni differenziali omogenee era dagli storici attribuita a GABRIELE MANFREDI(133). Ma in tempi recenti(134), si  opposto che il LEIBNIZ fino dal 1693 possedeva la risoluzione di tali equazioni; e ci col citare lettere del LEIBNIZ al DE L'HPITAL, che non furono pubblicate se non nel 1833(135).
Ma fin dal tempo di MANFREDI, la sua priorit nella integrazione di tali equazioni era stata a lui contrastata dal BERNOULLI.
Lasciamo che risponda lo stesso MANFREDI: e ci in una postilla manoscritta trovata fra le sue carte e pubblicata dal FABRONI(136).
.
"Quel mio teorema per la separazione delle indeterminate quando le dimensioni delle medesime sono le stesse in ogni termine della equazione differenziale, da alcuni  attribuita al Signor Giovanni Bernoulli. Ho sempre avuto curiosit di sapere con qual fondamento a lui sia ascritto, e non a me, che lo pubblicai nel Giornale di Venezia del Tomo 18esimo dell'anno 1714.
Ho finalmente trovato nell'opere del detto sign. Bernoulli stampate in Losanna ed in Ginevra, Tom. 3, p. 109 e 110, che esso dice di averlo comunicato fin dal tempo del nascente calcolo al marchese de l'Hpital o per lettera privata, o nelle lezioni fatte per servizio del medesimo signore.
Questo testo del Bernoulli, dove esso fa quella sua dichiarazione, e che  inserito nel detto tomo 3 delle sue opere della detta impressione,  desunto dai Commentari dell'Acc. di Pietroburgo, T. I, p.167, stampato solamente l'a. 1728, nel detto I Tomo di Pietroburgo.
.
Il medesimo Bernoulli alla p. 191 riferisce ancora che io nel noto libretto De constructione... confesso di non sapere il modo di separare le indeterminate nell'equazione mx2dx - ay2dx + x2dy = xydx la quale  pure di quelle che sono comprese nel mio teorema. Forse di qui pretender di far credere che io non sia l'autore di quel teorema. Ma si avverta che il detto mio libro  scritto nei primi anni di questo secolo, ed  stampato nel 1707, in tempo in cui n io n il Signor BERNOULLI, n forse il LEIBNIZIO avrebbero saputo separare le indeterminate nella detta equazione, e che il detto mio teorema fu poi ritrovato solamente verso il 1714, quando fu stampato il detto tomo di Giornale di Venezia, dove quello fu pubblicato, laddove il Bernoulli non ha mai mostrato di avere questo teorema se non negli atti di Pietroburgo del 1728; come sopra si  detto. Anzi neppure il Bernoulli, in questo suo medesimo schediasma degli Atti di Pietroburgo mostra di aver compresa tutta l'ampiezza del teorema, perch alla p. 170 del detto T. I di Pietroburgo, pretende di amplificare il Teorema coll'estenderlo anche alla equazioneche  un caso semplicissimo e dei primi che cadono sotto il mio teorema riferito nel detto Giornale di Venezia, dove si fa vedere che cento segni radicali (non che uno solo) non tolgono l'uso del detto teorema, che di pi si estende a qualunque dimensione degli due differenziali dx dy, e basta leggere il detto schediasma negli Atti di Pietroburgo alla p. 170 per conoscere che Bernoulli non aveva ancora a quel tempo ravvisata tutta la estensione che ha il detto teorema".
(Questa Annotazione fatta il 7 giugno 1747).
.
5. - Altri importanti contributi alla Analisi infinitesimale furono dipoi recati dal MANFREDI, con pubblicazioni fatte nel Supplemento al Giornale dei Letterati d'Italia, e nei tomi degli Atti dell'Istituto di Bologna; troppo inferiori alla grandissima aspettazione destata nei dotti d'Italia e di Germania dalla pubblicazione di quel primo suo libro sulla costruzione delle equazioni differenziali di primo grado. Il MANFREDI avrebbe certamente risposto a quella aspettazione se, come egli stesso racconta, non fosse stato distratto dagli studi geometrici dalle troppe assorbenti occupazioni che per necessit economiche egli fu costretto ad assumere. Il suo libro era stato composto (e dedicato al Senato di Bologna) per concorrere ad una cattedra di Algebra, allora istituita nella nostra Universit. Ma la cattedra fu data al padre CORAZZI, ed il MANFREDI fu eletto a segretario del Senato e del popolo di Bologna, gli fu dato l'incarico di fare il Tacuino, cio il lunario coi pronostici ad uso dei medici, e dovette anche occuparsi di osservazioni astronomiche. Fu inoltre chiamato alla prefettura delle acque; egli dovette perci tralasciare i suoi studi prediletti, e venne cos meno quella grande speranza che la matematica italiana aveva in lui riposta!
.
Nel 1720 il padre CORAZZI fu trasferito a Torino, ed in quella circostanza FRANCESCO MARIA ZANOTTI scriveva al Morgagni (15 ottobre 1720): "Non vi scrissi gi della gita del padre Corazzi a Turino, chiamato col per spiegare le matematiche; ora ve lo scrivo, e dicovi che questo potrebbe aprire un concorso ad una lettura di algebra, nel quale potrebbe farsi distinguere il valore del Signor Gabriele Manfredi, se gi non vogliamo piuttosto che si distinguesse la sciocchezza nostra, che avendo i grandi uomini, non ce ne sappiamo valere"(137).
...
.
...
Paragrafo 3.
...
.
...
L'astronomia in Bologna nel secolo 18esimo.
...
.
...
I segretari dell'Istituto - Cenni biografici.
...
.
...
1. EUSTACHIO MANFREDI (Bologna 1674-1739). - Fu il maggiore dei sei figliuoli di ALFONSO, notaio, e di ANNA FIORESI. I suoi tre fratelli: GABRIELE, EMILIO, ERACLITO, ebbero buon nome nelle scienze e nelle lettere, e le sorelle MADDALENA e TERESA, furono dotte, sagaci ed operose collaboratrici dei fratelli nelle operazioni e nei calcoli astronomici.
.
A sedici anni EUSTACHIO promuoveva e costituiva l'Accademia "degli Inquieti", ed a diciotto conseguiva la laurea in entrambe le leggi. Ma presto lasci la giurisprudenza per le scienze esatte: fu iniziato dal celebre GUGLIELMINI alle discipline matematiche ed alle operazioni astronomiche, e nel 1699 fu chiamato alla lettura "ad Mathematicam" nel nostro Studio. Nel 1704 fu inoltre prorettore del Collegio Montalto, e nel 1711 anche Sovraintendente delle acque nel territorio bolognese ed astronomo nell'Istituto marsigliano.
Quest'ultima carica gli impose l'obbligo di sorvegliare la costruzione della Specola, nella torre che anche oggi domina, colla sua mole armoniosa, gli edifici universitari, e la installazione in essa degli strumenti astronomici, che fu ultimata nel 1725. Quivi egli pot, con pi agio, continuare il calcolo delle Effemeridi, delle quali ha dato alla luce quattro volumi, che sono relativi agli anni dal 1715, al 1750.
.
Quest'opera, insieme con le altre su questioni astronomiche, pubblicate da EUSTACHIO, resero famoso l'osservatorio astronomico di Bologna, ed a riconoscimento del loro valore, EUSTACHIO fu chiamato (nel 1726) ad uno degli otto posti, riservati agli stranieri nella Accademia delle scienze di Parigi. Dal 1729 egli fu anche inscritto fra i membri della Societ reale di Londra.
Due sue memorie astronomiche furono pubblicate nei volumi degli anni 1734, 1738, negli Atti della Accademia di Francia.
La sua produzione scientifica continu attivissima, in tutti i rami da lui coltivati, e si esplic nella stampa di pi che 30 Opere, delle quali furono pubblicate dopo la sua morte: Le Annotazioni al Trattato della Natura dei fiumi di D. GUGLIELMINI (1739), Elementi della Cronologia (1744), Istituzioni astronomiche (1749), Elementi della geometria piana e solida e della trigonometria (1755).
.
2. - I RIFORMATORI DELLE LETTERATURE ITALIANE.
.
EUSTACHIO MANFREDI partecipava attivamente a tutte le manifestazioni del movimento letterario che allora si affermava a Bologna(138): il Collegio Montalto, ai tempi della sua permanenza col, fu centro di dotte, piacevoli riunioni. Col convenivano, insieme col MANFREDI, il poeta GHEDINI, tre degli ZANOTTI: EUSTACHIO, che doveva poi succedere al MANFREDI nella lettura universitaria e nell'Osservatorio astronomico, FRANCESCO MARIA, che fu prima Segretario, poi presidente dell'Istituto, GIAN PIETRO, pittore; tutti letterati e poeti.
Pi tardi, quando LELIO DELLA VOLPE ebbe trasportato la sua Bottega di libreria sotto i portici dei Pollaroli, dirimpetto al palazzo del Comune, si form in quella bottega un centro, sotto molti rispetti analogo a quello che ai tempi del CARDUCCI  stata la Bottega dello Zanichelli.
.
EUSTACHIO MANFREDI non fu estraneo a nessuna delle Accademie letterarie che allora fiorivano in Italia. Contribu alla fondazione della Colonia Renia, filiale della "Arcadia", fu socio della "Crusca", e collaboratore del Giornale dei letterati d'Italia. Tenne corrispondenza coi maggiori letterati e poeti che allora fiorivano in Italia ed in Francia. Sono stati pubblicati, e pi volte ristampati, vari volumi di lettere da lui scritte od a lui indirizzate, ma molte rimangono tuttora inedite, manoscritte nelle nostre biblioteche.
Fu dei primi in Italia, che osarono contrapporre alle esagerazioni seicentesche, la semplicit e la leggiadria dei nostri trecentisti. Il suo volume di versi ha gi avuto 10 edizioni, (l'ultima  del 1888), le sue canzoni sono fra le poche sfuggite al naufragio di tante poesie liriche del secolo 18esimo, quella da lui composta nell'anno 1700 in lode di GIULIA VANDI,  considerata tuttora come la pi bella fra le scritte in quel secolo.
.
3. - EUSTACHIO ZANOTTI, figlio di GIO-PIETRO, fu istruito nelle matematiche dallo zio FRANCESCO-MARIA, e nella Astronomia, da EUSTACHIO MANFREDI. Dal 1729 fu coadiutore del MANFREDI alla cattedra astronomica dell'Istituto Marsigliano e, dopo la morte di quel celebre astronomo (1739), subentr a lui, sia nella cattedra marsigliana, sia nella lettura universitaria di astronomia.
Nel 1760 mut la lettura universitaria di Astronomia in quella di Idrometria, nel 1871 fu fatto presidente dell'Istituto.
La sua opera, come astronomo dell'Istituto, ha reso celebre il suo nome, ed ha innalzato la fama della astronomia bolognese.
Terminata la fabbrica dell'Osservatorio marsigliano, e collocati gli strumenti nella specola, era necessario, anzitutto, il precisarne l'orientazione geografica, e specialmente la latitudine.
.
Ci fece il MANFREDI, insieme coi suoi allievi EUSTACHIO e FRANCESCO-MARIA ZANOTTI, osservando la Polare con tre istrumenti: due quadranti mobili ed un semicerchio murale. Le tre serie di osservazioni confermarono i risultati gi ottenuti dallo stesso MANFREDI, nell'Osservatorio privato del MARSIGLI.
EUSTACHIO ZANOTTI, a lui succeduto, si segnal subito colla scoperta della cometa di quello stesso anno, della quale fece molte e buone osservazioni, e calcol l'orbita, nella supposizione che fosse parabolica; analoghi calcoli fece per la cometa del 1742.
.
Nel 1741 l'Osservatorio si arricchiva di due nuovi, preziosi strumenti: cio un quadrante murale di 1 metro e 20 cm. di raggio, ed uno strumento dei passaggi di 1 metro di fuoco. Lo ZANOTTI, con somma diligenza, mise a posto quei due strumenti, che si completavano a vicenda, e costituivano un impianto astronomico dei pi notevoli, per quei tempi.
Col sussidio di quegli strumenti, l'attivit dello ZANOTTI, e dei suoi allievi, produsse negli anni 1748, 49, un catalogo di 447 stelle, oltre a numerose osservazioni del sole e dei pianeti, ed alla compilazione dei volumi delle effemeridi, di 12 in 12 anni, nella forma adottata dal MANFREDI, da lui in qualche particolare perfezionata.
Questi grandi lavori conferirono allo ZANOTTI, ed alla Specola dell'Istituto, una meritata celebrit.
.
Nel 1750, a richiesta dell'Accademia di Parigi, si intrapresero lavori astronomici destinati a dare una determinazione pi esatta della distanza della luna dalla terra. Fu necessario di fare nel nostro emisfero, osservazioni corrispondenti a quelle che il LACAILLE andava a fare al Capo di Buona Speranza. Lo ZANOTTI fu uno degli astronomi designati per questo lavoro, e le sue osservazioni furono riconosciute fra le pi esatte.
.
Lo ZANOTTI ebbe anche il merito di aver rimediato i guasti che, coll'andar del tempo, erano avvenuti nella meridiana di San Petronio, con una serie di operazioni che hanno assicurato, per molti secoli, la perfetta stabilit di quell'insigne stromento. Egli pot, poi, giovarsene per una pi esatta determinazione dell'altezza del polo, della obbliquit della eclittica, e della misura dell'anno. Dalle sue osservazioni solstiziali fatte a quel gigantesco gnomone, egli trasse la convinzione che, almeno in quegli ultimi 80 anni, la latitudine di Bologna non era cambiata(139).
4. MATTEUCCI PETRONIO (Bologna ?-1800).(140) - Dal 1739 coadiutore di ZANOTTI alla cattedra di Astronomia nell'Istituto, fu suo sostituto dopo la morte di lui (1782). Osserv collo ZANOTTI le comete del 1739, 1744; diresse i restauri del gnomone di CASSINI, osserv il passaggio di Mercurio del 1780; pubblic le effemeridi dal 1797 al 1810. Fu accademico benedettino, e lesse Astronomia all'Universit dal 1767-68 al 1799-800.
5. - Dopo di lui fu un continuo succedersi di nuovi direttori nella specola bolognese: il matematico G. SALADINI, il fisico G. B. GUGLIELMINI, l'abate L. CICCOLINI, il bolognese P. CATUREGLI.
Morto il CATUREGLI nel 1833, non fu sostituito n alla cattedra, n alla direzione dell'Osservatorio, che rimase per 11 anni affidato agli assistenti BERTELLI e CESCHI. Si ebbe un periodo di rinascita, sotto la direzione di IGNAZIO CALANDRELLI (1845-1848), e di LORENZO RESPIGHI (1849-1865), poi la nostra specola di nuovo decade, e solo ai nostri tempi ha potuto riprendere il suo posto nel mondo scientifico(141).
.
L'abbate IGNAZIO CALANDRELLI (Roma 1792-1866), venuto a Bologna verso la fine del 1845, ottenne dal governo pontificio i mezzi per l'acquisto e l'impianto di un cerchio meridiano, costruito da ERTEL a Monaco, in sostituzione del quadrante murale e dello strumento dei passaggi di Sisson, gi invecchiati, e deteriorati.
Mise a posto il nuovo strumento nel 1851, quando egli non era pi direttore dell'Osservatorio di Bologna, per esser stato richiamato a Roma, nel 1848 da PIO IX, come professore di Astronomia e direttore del nuovo Osservatorio sul Campidoglio, allora in via di formazione.
Fu successore del CALANDRELLI un giovine allievo della Specola bolognese: LORENZO RESPIGHI (Cortemaggiore 1824-Roma 1889), che ebbe nel nostro Studio cattedra di matematica nel 1849, quella di Astronomia nel 1851 e la direzione dell'Osservatorio nel 1855.
.
Nel periodo bolognese della sua vita scientifica, impieg il cerchio meridiano di ERTEL in una nuova determinazione della latitudine, scopr due comete, ed inizi le sue osservazioni delle stelle circumzenitali, per le quali ide e fece costruire un nuovo cannocchiale zenitale.
Nelle Memorie della nostra Accademia sono contenuti i suoi primi lavori: sul pendolo conico, sul clima bolognese, sulla influenza del moto dei mezzi rifrangenti sulle direzioni dei raggi luminosi,... Nel 1865 fu chiamato ad insegnare Ottica ed Astronomia nella Universit romana, e dopo la morte del CALANDRELLI, ebbe la direzione dell'Osservatorio del Campidoglio, dove potr continuare i suoi studi e le osservazioni astronomiche.
Sal a grande altezza, sia nel campo dell'Astronomia di precisione, che in quello dell'Astrofisica.
.
6. - VITTORIO STANCARI (Bologna 1678-1709), fu secondo Segretario generale dell'Istituto dopo EUSTACHIO MANFREDI. Uno dei pi grandi ingegni - abili a tutte le scienze -, che vissero in .
Bologna nel primo quarto del secolo 18esimo.
Dopo di aver appreso gli elementi di Geometria e del Calcolo algebrico, ricorse al GUGLIELMINI per essere istruito sulla Geometria pi sublime. In questo studio ebbe compagno GABRIELE MANFREDI, ed insieme coi fratelli MANFREDI, sotto la guida del GUGLIELMINI, osservava la notte gli eclissi dei satelliti di Giove, e nella giornata, le altezze del sole nel mezzod, alla meridiana di San Petronio.
Laureato in filosofia il 4 maggio 1704, nello stesso anno fu fatto Segretario perpetuo della Accademia degli Inquieti, che allora aveva sede nel palazzo dei MARSIGLI. Gran folla di giovent studiosa era quotidianamente al fianco dello STANCARI, nel Museo Marsigliano, e non gli lasciava un momento di respiro colle interrogazioni sopra la natura, le propriet, l'uso, il significato scientifico di ciascuno dei moltissimi oggetti raccolti in quel ricchissimo museo.
Egli era, oltre a ci, affaticato dalle lezioni che doveva impartire nel Collegio dei Nobili, sulla Geografia e l'Architettura militare.
La notte del 10 agosto 1708, mentre era intento ad osservare le Pleiadi, ecclissate dalla luna, fu sorpreso da uno sbocco di sangue. Si riebbe; ed ai 20 di ottobre ebbe dal Senato bolognese la nomina alla cattedra: "ad algebram sive analysim tam communem quam infinitorum", per lui appositamente istituita.
Sulla fine di novembre fece una prelezione sul Calcolo degli infiniti, cui, fino al principio del seguente gennaio, tennero dietro applauditissime lezioni su quella materia che, egli per primo, insegnava pubblicamente in Italia.
.
Ma quell'inverno fu frigidissimo: egli fu costretto ad interrompere le lezioni, ed a guardare il letto, ed il 18 marzo moriva, in et di anni 31 non ancora compiuti.
EUSTACHIO MANFREDI raccolse in un libro(142), ora divenuto assai raro, 12 delle molte memorie accademiche scritte dallo STANCARI. Ma forse maggior interesse avrebbero avuto quelle contenute nel manoscritto intitolato: "Codex adversariorum, in quo Cycloides rectificatio, hyperbolae quadratura per logarithmicam, lineae ex evolutione circuli genitae, item infinitorum spiralium dimensio, tractoriae proprietates quaedam, a Stancario reperta", che  andato smarrito.
Di lui scriveva FRANCESCO MARIA ZANOTTI: "Fuit summo ingenio, singulari modestia, incredibili candore animi, neque post ejus obitum alius quisquam in Academia fuit, qui aliena studia aeque, ut ille, commoveret, atque incitaret; videbatur enim ad id natus, institutusque. Nemo illum non lacrimis: et magno maerore pro eo, ut justum erat, prosecutus est, Academia autem sic luxit, ut mater orba filium unicum".
.
7. FRANCESCO MARIA ZANOTTI (Bologna 1692-1777). - Diciottesimo figlio di GIOV-ANDREA CAVAZZONI-ZANOTTI. Fu iniziato alle teorie algebriche dallo STANCARI, alle Geometrie da EUSTACHIO MANFREDI, e da GEMINIANO MONTANARI, che ebbe anche ad erudirlo in Scienze naturali. Nel 1718 fu nominato lettor pubblico di filosofia nello Studio, e nelle sue lezioni, spiegava, insieme coi sistemi filosofici, anche fondamenti delle teorie scientifiche del CARTESIO e del NEWTON. Nell'anno 1737-38 tenne anche un corso di fisica.
Associato alla Accademia dell'Istituto fin dal 1718, fu dapprima incaricato di compilare gli indici della biblioteca, che mancavano, e, dal 1723, fu fatto Segretario dell'Istituto, succedendo a MATTEO BAZZANI, che da segretario era stato fatto Presidente.
Pressantemente incitato dall'Accademia, prese sopra di s il pesante impegno della Redazione degli Atti Accademici, dei quali compose 5 Tomi in 8 volumi. Nel 1866 fu nominato presidente, in sostituzione di JACOPO BECCARI.
.
Scrisse molte elegantissime lettere in lingua volgare e non poche in lingua latina. Alcune di esse si leggono nei volumi delle "Lettere famigliari di scrittori bolognesi", pi volte ristampate. Il suo "Carteggio" con G. B. MORGAGNI,  stato raccolto e pubblicato da GINO ROCCHI, in Bologna l'anno 1875. Contiene 307 lettere in lingua italiana e 12 epistole in latino, scambiate negli anni dal 1712 al 1769. Le sue "Poesie volgari e latine", furono stampate prima in Firenze, poi di nuovo in Bologna l'anno 1757.
Le Opere complete, in nove volumi, stampate dopo la sua morte, in Bologna nel 1779, contengono, fra altro, una trentina di Dissertazioni su varie parti della Matematica pura ed applicata. In quelle, e, sopratutto, nella Composizione dei Commentari dell'Istituto di Bologna, si manifesta quell'eclettismo scientifico-letterario, che fu invidiabile prerogativa degli scienziati bolognesi, di quel tempo, e che in lui ebbe uno dei pi insigni rappresentanti.
.
Quei Commentari, in elegante idioma latino, danno ampia relazione di tutto ci che di notabile era avvenuto nell'Istituto, e delle dissertazioni recitate, o presentate dagli Accademici nell'Accademia. Ci che ha mosso meraviglia, si  come egli abbia saputo esporre con sicura padronanza, ordine, facilit, chiarezza tante e cos varie dottrine, quante erano allora coltivate dagli Accademici dell'Istituto; di modo che molti amavano meglio di leggere le cose scritte nei Commentari, anzich negli Opuscoli dai loro autori. Si giunse a tanto, che il Presidente dell'Istituto, J. BECCARI, ed altri Accademici, cominciarono a pensare, se non fosse meglio per l'innanzi, lasciare di stampare negli Atti gli Opuscoli degli Autori, rimettendo tutto ai Commentari. Il che poi non si fece, per la repugnanza che ne ebbe il segretario stesso(143).
.
Per la morte del prof. J. BECCARI, presidente dell'Istituto, il Senato di Bologna nomin presidente il ZANOTTI, con preghiera di conservare tuttavia il segretariato. Ma a questa seconda parte, il ZANOTTI non volle consentire, dichiarando esser suo desiderio che quale segretario si dovesse nominare il suo Aiuto: SEBASTIANO CANTERZANI, il che avvenne.
Come segretario dell'Istituto, tenne il ZANOTTI carteggio con tutti gli scrittori e gli scienziati pi reputati di quel tempo, i quali lo ebbero in gran pregio. Il FONTANELLE, dopo aver ricevuto un volume dei Commentari, cos gli rispondeva (nel 1750): "J'y ai trouv tout ce qu'on peut dsirer dans un pareil ouvrage; une profonde connaissance des diffrentes, et trs diffrentes matires, une extrme nettet dans les explications, et autant d'lgance, qu'un semblable fond en peut permettre".
Ed il VOLTAIRE, nello stesso anno, gli scriveva esser dolente di dover morire, senza aver potuto prima conoscere di persona un tant'uomo nel ZANOTTI, e di non poter vedere l'Italia, madre delle Scienze(144).
.
8. SEBASTIANO CANTERZANI (Bologna 1734-1819). - Laureato in filosofia nel 1756, ebbe pel 1760-61 la lettura universitaria di Astronomia. Nel 1766, nominato Segretario dell'Istituto, e dell'Accademia, in sostituzione di F. M. ZANOTTI, lasci la cattedra universitaria di Astronomia per quella di Ottica, che gli lasciava maggior agio di attendere ai molteplici, delicati ed onerosi impegni che seco traeva il segretariato accademico. Nell'esercizio di questo ufficio il CANTERZANI segu l'esempio del(145) suo predecessore: ZANOTTI, ed al pari di lui versato in ogni scienza, di buon grado accolse l'invito di passare all'insegnamento della Matematica Universale, nel 1786, e da questo a quello della Fisica, nel 1800. Solo nel 1802 egli pot, peraltro, effettivamente accedere a tale cattedra, essendo stato, nel frattempo, sospeso dall'insegnamento, per essersi rifiutato di prestare il giuramento civico, richiesto dal governo della repubblica cisalpina. Nel 1808 cessava da ogni insegnamento per aver ottenuto regolare quiescenza.
.
Nominato, nel 1797, presidente dell'Istituto, il CANTERZANI conserv tale carica anche quando l'Istituto di Bologna fu dichiarato Istituto Nazionale, ed a segretario perpetuo dell'Accademia fu nominato L. PALCANI, di cui dovremo pi oltre far parola.
SEBASTIANO CANTERZANI ha lasciato un gran numero di pubblicazioni sopra tutti i vari rami di scienza matematica che allora erano coltivati, dimostrando soda cultura e feconda versatilit di studioso.
.
9. LUIGI PALCANI CACCIANEMICI (Bologna 1748-Milano 1802). - Laureato in filosofia nel 1767, fu, nel 1771 eletto professore di Nautica nell'Istituto. Nell'anno 1788 ebbe anche la cattedra di Fisica nell'Universit, e da questa pass a quella di Matematica applicata nel 1801.
Elegante oratore e scrittore facondo fu, al pari dei suoi predecessori nella carica di segretario dell'Istituto, di vivace versatilit di spirito abile a tutte le scienze.
Nel tempo del suo segretariato, avvenne la nomina di NAPOLEONE I a membro dell'Istituto, e fu lo stesso PALCANI a sottoscrivere la lettera di nomina. Quella lettera, della quale si conserva copia in Atti, termina colle parole:
"Ho l'onore, per l'ufficio mio di darvene parte, e l'incarico di ricordarVi che Alessandro tenne cara la cittadinanza di Corinto, poich seppe che questa non s'era offerta che ad Ercole ed a lui: ma nella celebrit dell'acclamazione niun Ercole Vi precedette. Quale Alessandro sar giammai creduto degno di seguirvi?"
Chiamato nel 1801 a Milano, per regolare il trasporto della Universit di Bologna nel Palazzo dell'Istituto, il PALCANI contrasse col grave malattia che lo condusse al sepolcro nel febbraio 1802.
.
10. GIUSEPPE VENTUROLI (Bologna 1765-1846). - Scolaro del CANTERZANI, del MATTEUCCI, del PALCANI, consegu la laurea in filosofia nel 1789. Fu nominato professore onorario nel nostro Studio nel 1795, rappresent l'Istituto di Bologna ai Comizii di Lione, e tornato in patria nel 1802, ebbe la cattedra di Matematica applicata nella nostra Universit, e fu nominato Segretario perpetuo dell'Accademia dell'Istituto.
Nel 1806 dava alle stampe il I volume del suo Trattato di meccanica e l'anno seguente, completava l'Opera con un secondo volume di Idraulica. Quest'opera, nelle molteplici sue edizioni e nelle traduzioni in lingue straniere, ebbe grande diffusione, e fu per molti anni libro di testo negli Istituti Universitari.
Nell'ottobre 1817 il VENTUROLI fu chiamato a Roma, quale Presidente del Consiglio di Arti e Direttore della Scuola di Ingegneria. Seppe quivi creare quell'indirizzo teorico-pratico, che ha dato professionisti e professori valorosi anche ad altre regioni d'Italia.
.
Per le alte sue doti di scienziato, di professionista, di cittadino sal in alta fama e guadagn la fiducia e la stima delle autorit politiche, che della sua opera e dei suoi consigli si servirono nelle delicate questioni che si presentarono nella restituzione ad autonomia politica e sociale dello Stato Pontificio, dopo la invasione napoleonica. La sua opera fu particolarmente preziosa nelle vicende che accompagnarono la restituzione dell'Accademia di Bologna nei suoi antichi diritti e privilegi.
.
11. GIAMBATTISTA MAGISTRINI (Maggiora, presso Novara, 1777-Bologna 1849). - Professore di Calcolo sublime nella nostra Universit dal 1804, fu membro, poi Segretario dell'Istituto.
Ha lasciato buone pubblicazioni sul Calcolo delle differenze finite (1806), sulla Teoria delle Ombre (1809), sulle Macchine aerostatiche (1821), sulla integrabilit delle equazioni fondamentali della Idrodinamica (1817), sul confronto del calcolo delle funzioni di LAGRANGE con l'ordinario Calcolo differenziale.
.
12. DOMENICO PIANI (Faenza 1803-Bologna 1870). - Fu l'ultimo Segretario dell'antica Accademia. Ed anche forse l'ultimo degli eclettici bolognesi. Non solo, infatti egli era versato nelle scienze fisiche e matematiche, tanto da esser chiamato alla cattedra di Astronomia ed Ottica nel nostro Studio; ma anche in Geografia, in Statistica, nella pubblica Economia, nella Storia politica e civile e militare dei diversi popoli, e nella Letteratura italiana e latina.
Nel 1829 rinunzi alla cattedra universitaria per dedicarsi esclusivamente all'ordinamento delle carte dell'Accademia. "Riordinato l'Archivio antico, e provveduto di registri analitici per materie e per autori, composti quindi degli elenchi dei nomi occorrenti tanto dell'antica come della ripristinata Accademia, rese in pochi anni facile ai posteri di conoscere tutte le memorie, le corrispondenze, i documenti e le carte esistenti nei molti cartolari che dall'anno 1690 giungono fino a noi" (cos scriveva il PREDIERI nella sua "Relazione storica e cronologica sulle cariche dell'Accademia delle Scienze dell'Istituto di Bologna", nel 1870).
.
13. - CENNI BIOGRAFICI DI ALCUNI ALTRI MATEMATICI BOLOGNESI DI QUEL PERIODO.
1 - GEMINIANO RONDELLI (Roncocasaglia, presso Modena, 1652-Bologna 1735). - Pass quasi tutta la sua vita a Bologna, dove fece i suoi studi, e si laure in filosofia l'anno 1687.
Lesse matematica nel nostro Studio dal 1689 al 1700, Idrometria dal 1700 al 1739. Fu anche bibliotecario e professore di Architettura militare nell'Istituto marsigliano.
Ebbe gran nome come cultore eclettico delle scienze matematiche e naturali, e molto grido come insegnante.
2 - ERCOLE CORAZZA (Bologna 1669-Torino 1726). - Monaco olivetano, vest l'abito di quella religione a Bologna l'anno 1689. Dal 1710 fu lettore di Algebra nel nostro Studio; dal 1711 anche professore di Architettura militare nell'Istituto marsigliano.
Si trasfer, nel 1720, a Torino, professore di Algebra in quella Universit.
3 - DOMENICO PASI (Bologna?-1749). - Laureato in medicina e filosofia nel 1695, ebbe nel 1699 una lettura di Matematica ed Astronomia che tenne fino al 1738 per passare poi a quella di Geometria elementare sintetica. Nel 1740 venne giubilato, ma fu conservato nei Rotuli fino alla sua morte.
4 - ERACLITO MANFREDI (Bologna 1674-1759). - Terzo dei fratelli MANFREDI. Fu coadiutore alla cattedra di Chimica dell'Istituto, al tempo in cui col era titolare BARTOLOMEO BECCARI. Nel nostro Studio fu professore onorario di matematica dal 1731 al 1739, ordinario di idrometria ed idrostatica dal 1739 alla morte.
5 - COLLINA DON ABBONDIO (Bologna 1691-1753). - Monaco camaldolese. Dal 1724 professore di Geografia e Nautica nell'Istituto marsigliano; lettore di Geometria, nello Studio, dal 1724 al 1740; di Meccanica dal 1740 al 1753.
6 - GREGORIO CASALI BENTIVOGLI PALEOTTI (Bologna 1721-1802). - Marchese, senatore,... Professore di Architettura militare nell'Istituto marsigliano dal 1750; dal 1756 anche di Meccanica, nella Universit bolognese. Dal 1800 di Matematica nella Universit napoleonica, dove fu anche Rettore dal 1800 al 1802 (anno di sua morte). Era accademico benedettino.
Per le sue rare qualit di mente e di cuore, e per le sue vaste cognizioni scientifiche era universalmente stimato.
7 - CALDANI PETRONIO (Bologna 1735-Padova 1808). - Laureato in filosofia nel 1758, lesse Geometria analitica nel nostro Studio dal 1764 al 1800. Ebbe fama di buon matematico.
8 - PEDEVILLA GIO-ANTONIO (Bologna?-1808). - Laureato in filosofia nel 1762, insegn Matematica dal 1768 al 1782, Idrometria dal 1783 al 1796, Geometria elementare sintetica dal 1797 al 1799.
Fu anche vicebibliotecario dell'Istituto marsigliano.
...
.
...
CAPITOLO QUINTO.
...
.
...
L'EPOCA NAPOLEONICA E LA RESTAURAZIONE PONTIFICIA.
...
.
...
PREMESSA.
.
Un quinto periodo della nostra Storia potrebbe, a rigore, comprendere tutto il secolo 19esimo. Ma a partire dal 1859 incomincia per Bologna un'era nuova nella storia della matematica, la quale  ora appunto nel suo pieno rifiorire.
Nella prima met di quel secolo troviamo due successivi periodi il primo dei quali pu dirsi di stasi, e comprende gli ultimi 15 anni di governo napoleonico, cui seguirono 14 anni di inerte provvisoriet, per dar luogo ad una netta, progressiva decadenza.
...
.
...
Paragrafo 1.
...
.
...
L'Accademia delle scienze di Bologna durante l'epoca napoleonica e la restaurazione pontificia.
...
.
...
1. - Uno dei pi oscuri periodi della storia della scienza in Italia  quello che si inizia sullo scorcio del secolo 18esimo colla invasione francese e continua, dopo la caduta del regno napoleonico e la restaurazione dei tirannelli locali, nella prima met del secolo 19esimo.
La soggezione allo straniero non era mai parsa pi supina, n pi umiliante. Perduta la indipendenza politica, anche negli staterelli che avevano parvenza di autonomia, perduto il predominio culturale, cessati i commerci, cadenti le industrie soverchiate in ogni ramo dalla concorrenza forestiera, immiserito il paese, fiaccato l'orgoglio nazionale.
.
Il giudizio della storia, promosso da studi oggettivi di illustri cultori italiani e stranieri, ha, in parte almeno, ristabilito la verit dei fatti, ed ora si legge, anche in diffusi manuali stranieri(146) (meglio forse che in taluni italiani), ci che il nostro LIBRI era riuscito a provare, e cio che l'Italia fu culla del rinascimento, non solo delle Lettere e delle Arti, ma delle Scienze; e che Scienze, Lettere ed Arti dall'Italia passarono ai paesi vicini. Nessuno pi intende ora negare il primato scientifico dell'Italia nel secolo 16esimo, ed in parte del secolo 17esimo; ma di troppo ancora  trascurato il contributo recato, al sorgere della scienza moderna, dai matematici italiani del secolo 18esimo e del primo quarto del secolo 19esimo. Il loro nome  caduto in oblo, e le loro opere furono oscurate dalla fama delle opere che allora fiorivano in Francia, in Germania, in Inghilterra.
Quelle opere furono confidate agli Atti di Accademie che nell'epoca napoleonica o cessarono del tutto, o caddero in discredito, e nessuno ora pensa a trar quei volumi dalla polvere delle biblioteche.
.
Il BRIOSCHI, nella sua Memoria "Sulla risolvente di Malfatti per le equazioni del V grado", pubblicata nelle Memorie dell'Istituto Lombardo del 1863, osserva che: "Le scienze matematiche ebbero in Italia nella seconda met del secolo 18esimo valentissimi cultori, le cui opere poco note fra noi, sono quasi sconosciute agli stranieri. La storia della matematica in questo periodo di tempo  cos strettamente legata a quella delle nostre Accademie scientifiche, che soltanto frugando con diligenza negli Atti della Societ italiana delle scienze, in quelli delle Accademie di Torino, di Bologna, di Siena,... possiamo formarci un esatto concetto del fiorire fra noi di questi studi in quell'epoca".
.
2. - Le vicende della nostra Accademia nell'epoca napoleonica e nei primi 14 anni del restaurato dominio pontificio sono variamente narrate dagli storici. Giocando sull'equivoco fra "Accademia delle scienze dell'istituto" ed "Istituto", si  voluto far credere che nel periodo dal 1804 al 1829 essa abbia cessato di esistere come corpo scientifico, perch disciolta da Napoleone, e ripristinata, poi, dal Pontefice Pio VIII.
Documenti autentici, sincroni esistenti negli Archivi della nostra Accademia, ed in particolare i verbali autografi delle sedute, ininterrottamente tenute in tutto quel periodo, le informazioni del segretario perpetuo alle autorit politiche, e lo stesso "Decreto di piena reintegrazione negli antichi diritti e privilegi" del 1829, comprovano invece la continuit, non solo della esistenza, ma delle funzioni, e ne illustrano la vita in uno dei pi interessanti periodi della nostra storia nazionale.
Una estesa relazione di quelle fonti si pu leggere in una memoria stampata nel vol. XXV, serie IV degli Atti e Memorie della nostra Regia Deputazione di Storia Patria (Bologna 1935), pp. 113-194)(147).
.
3. ISTITUTO NAZIONALE CISALPINO.
.
Il consiglio dei Sessanta della Repubblica Cisalpina, nella seduta del 14 maggio 1797 fissava in Bologna la sede dell'Istituto Nazionale; questa deliberazione fu resa esecutiva con Decreto del Direttorio Cispadano ed ebbe pi autorevole conferma nella Legge 19 Brumale anno 6 (10 novembre 1797) nella quale si decretava: "Considerando che a norma dell'Art. 297 della Costituzione ci deve essere per tutta la Repubblica un Istituto Nazionale incaricato di raccogliere le scoperte e di perfezionare le Arti e le Scienze; considerando ancora che ampi ed opportuni stabilimenti utili a questo oggetto distinguono la comune di Bologna, si decreta: L'Istituto Nazionale della Repubblica cisalpina  fissato in Bologna".
Questo decreto fu considerato come conferma di erezione dell'Istituto di Bologna ad Istituto Nazionale. E tale fu considerato anche in atti ufficiali. Per tacer d'altro, nell'Elenco ufficiale dei Deputati alla Consulta di Lione, si trova designato come "Institut National" la nostra Accademia dell'Istituto.
.
4. ISTITUTO NAZIONALE ITALIANO.
.
Fra i primi atti di governo compiuti dalla Repubblica Italiana, sono: "Il Piano generale di pubblica istruzione", quello di "Studi e disciplina per le Universit nazionali" e gli "Statuti ed il Piano disciplinare per le Accademie di Belle Arti".
Gli uffici che furono affidati all'Istituto Nazionale risultano dai seguenti articoli della "Legge fondamentale per la pubblica istruzione", pubblicata il 4 settembre 1802:
"34.  posta alla disposizione del Governo l'annua somma di Lire 20m. da erogarsi in premi agli inventori di qualche utile scoperta di agricoltura o meccanica.
L'Istituto  ricercato del suo giudizio e pronuncia sul merito di tali invenzioni.
35. Il Governo presenta, entro due anni, al Corpo legislativo un piano d'Istruzione elementare uniforme per tutta la Repubblica.
36. Frattanto col mezzo dell'Istituto Nazionale e dei professori della Universit, fa preparare i libri elementari, proponendo anche premi a quelli che presenteranno i migliori.
53. I professori delle due Universit e degli altri stabilimenti dei quali all'art. 2, si eleggono per la prima volta dal Governo; ed, in progresso, col metodo seguente:
.
1. Vacando una cattedra di alcuno dei suddetti stabilimenti i professori di essi si adunano avanti il prefetto, ed a maggiorit assoluta di voti propongono tre soggetti per coprirle, scelti fra gli attuali professori dei licei o ginnasi.
.
2. Questa terna  trasmessa all'Istituto Nazionale che la riduce ad una dupla colla facolt di introdurvi un nuovo candidato, anche estero, noto per non ordinario sapere, ritenendo uno solo fra i tre proposti.
.
3. La dupla  presentata al Governo che elegge definitivamente uno solo dei due proposti.
I professori delle scuole speciali sono eletti dal Governo sopra una lista dupla, presentata dall'Istituto Nazionale(148).
.
70. Una commissione di tre individui scelti dal Governo fra i membri dell'Istituto Nazionale,  incaricata di proporre tutto ci che crede utile al progresso degli studi, e di presentare alla fine di ciascun anno un quadro dello stato generale della istruzione della Repubblica(149)."
L'Articolo 1 del Decreto 17 agosto 1802, proclamava "messo in attivit l'Istituto Nazionale, a norma dell'Art. 121 della Costituzione e della Legge 29 Brumale VI. Ora tale legge fissava in Bologna l'Istituto Nazionale, ed era stato ufficialmente assunto, come tale, l'Istituto di Bologna, che fu detto "Istituto Nazionale Cisalpino". Ma  da notare che sotto il nome di Istituto si indicavano stabilimenti essenzialmente fra loro diversi. L'Istituto di Bologna corrispondeva alla Facolt di Scienze presso le Universit moderne, era cio una istituzione scolastica di grado universitario. Ad esso era unita l'Accademia delle Scienze dell'Istituto la quale era una societ di Dotti, che aveva per scopo il progresso della Scienza.
L'Istituto Nazionale era una Accademia scientifica e letteraria, cui lo Stato affidava anche uffici consultivi, ispettivi, direttivi specificati dalla legge 4 Settembre 1802, e che pi tardi furono riassunti nel "Regolamento organico dell'Istituto".
Era dunque naturale che l'Istituto Nazionale Cisalpino, dovesse intendersi identificato nella Accademia dell'Istituto, non gi nello stesso Istituto di Bologna.
.
E difatti, scorrendo gli Atti Accademici, troviamo che il Governo Nazionale richiese pi volte all'Accademia dell'Istituto uffici che a norma di Regolamento spettavano all'Istituto Nazionale, e che furono esplicati per mezzo di commissioni formate da soci dell'Accademia. Ma, poich quelli erano anche professori dell'Istituto, quell'equivoco permaneva, e molti fra i membri della Accademia tenendo gelosamente distinti i due titoli ed i due uffici, attribuivano all'Istituto marsigliano la qualifica di Nazionale, e seguitavano a chiamare, la propria, "Accademia delle scienze dell'Istituto", e non mostravano eccessive preoccupazioni per i mutamenti portati dal Decreto 17 agosto 1802 nelle Costituzioni dell'Istituto Nazionale.
In forza di quel Decreto il Corpo accademico doveva essere completamente rinnovato, e limitato nel numero di 60 membri, dei quali la met da nominarsi la prima volta dal presidente della Repubblica, e l'altra met dal Governo, entro una lista dupla, proposta dai membri eletti.
Le elezioni si fecero infatti nei giorni 5 ottobre 1802 e 6 aprile 1803, il corpo interamente costituito fu convocato il 3 maggio successivo, il Regolamento Organico dell'Istituto Nazionale fu proclamato in data 25 gennaio 1804.
.
Frattanto continuavano regolarmente a Bologna, per tutto l'anno 1802-03, le Sessioni della antica Accademia, e le Commissioni emanate da questa, si occupavano anche in mansioni (come la assegnazione del premio per il concorso alla medaglia in memoria della prima convocazione dei Collegi elettorali) che erano di spettanza dell'Istituto Nazionale.
Solo all'inizio del seguente anno scolastico (1803-04) l'Istituto Nazionale ebbe effettiva sistemazione; ma, piuttosto che creare una nuova istituzione in antitesi colla vecchia, si volle che il nuovo Istituto apparisse come diretta continuazione dell'antica Accademia bolognese; e ci si fece al modo seguente:
Le cattedre, i gabinetti, i musei, la biblioteca dell'Istituto di Bologna, furono aggregati alla Universit, cos dei due stabilimenti se ne form uno solo, partecipe dei comodi di entrambi, del quale fu stabilita la sede nel Palazzo dell'Istituto, che si denomin "Della Universit".
.
L'Istituto marsigliano di Bologna, che da quel momento cessava di essere autonomo, entrava a far parte integrante della Universit come Facolt Fisico-Matematica, ma contemporaneamente veniva promulgato il "Piano degli studi" che, per tutti gli insegnanti e per tutte le istituzioni universitarie, rendeva uniforme la applicazione dei principii e del metodo che il MARSILI aveva propugnato nel suo "Progetto di riforma dello Studio". L'Universit lasciava l'avita sede dell'Archiginnasio, per entrare nel Palazzo dell'Istituto.
L'Accademia delle Scienze, cessava di essere Accademia dell'Istituto, e, compiendo la evoluzione iniziata al tempo della Repubblica Cisalpina, era, come allora si disse: "Concentrata e rifusa nell'Istituto Nazionale."
.
5. - LA SEZIONE BOLOGNESE DELL'ISTITUTO ITALIANO DI SCIENZE E LETTERE, E L'ATENEO.
.
L'Istituto Nazionale rimase a Bologna finch ebbe vita, cio fino a tutto il 1810 (solo nel maggio dell'anno seguente ebbe effetto la riforma di cui ora parleremo) e tutti i volumi degli Atti dell'Istituto sono stati pubblicati a Bologna. Ma, incamminate le varie istituzioni scolastiche su strada sicura, e formati presso il Governo centrale gli opportuni organi di vigilanza e di consulta, esso si avviava a diventare semplice Accademia letteraria.
.
Si faceva intanto pressioni presso il Vicer d'Italia, e presso l'Imperatore per il trasporto a Milano della sede dell'Istituto. Un decreto a tale oggetto era stato apprestato, ma, quando fu inviato all'Imperatore, questi rispose in data 18 maggio 1808, ad EUGENIO NAPOLEONE: "Mon fils, vous ne trouverez pas  Milan le nombre de savants que vous demandez, et il resulterait de cela plus de mal que de bien. Ou l'on serait oblig de nommer des hommes sans talent, ou ils ne resteraient plus  Milan. Il faudrait: 1. que l'Institut du royaume se constitue des acadmies de Pavie, Bologne, Venise, et Padoue; 2. que chaque acadmie sera organise de la manire suivante ( peu prs comme vous organisez l'Institut); 3. que les membres de l'acadmie ne prendront pas le titre de membres de l'Institut d'Italie, mais celui de membres de l'acadmie de... (en repartissant le nombre total entre ces cinq villes en proportion de leur importance), et que ils toucheront la somme de... du trsor" (Corrspondance de Napolon I publie par ordre de l'Empereur Napolon Terzo, Paris 1858, T. 17, p. 156, n. 13926).
.
Ci fu fatto con decreto 25 dicembre 1810, nel quale inoltre si cambiava il nome di Istituto Nazionale in quello di "Istituto di Scienze Lettere ed Arti".
Quello stesso decreto, dopo aver ordinata la divisione dell'Istituto nelle ricordate Sezioni, all'Art. 17esimo stabiliva che: "Le altre accademie o societ destinate sotto qualsivoglia titolo all'incremento delle Scienze e delle Arti, a riserva delle Accademie Reali di Belle Arti, saranno riformate in modo che ve ne sia una sola nella rispettiva citt, e la stessa porter il titolo di Ateneo".
.
Anche a Bologna fu creato l'Ateneo, e fu diviso in tre Sezioni, corrispondenti alle cessate Societ agraria e medica, ed alla vecchia Accademia benedettina.
Quest'ultima Sezione non funzion mai, quale istituzione scientifica. Non risulta nemmeno che, nell'unica adunanza convocata, essa si sia regolarmente costituita. Ma ciononostante serv ottimamente a procacciare all'Ateneo le Rendite della Eredit Pannolini, che dal Pontefice BENEDETTO 14esimo erano state assegnate alla Accademia benedettina; facendo figurare tale Sezione come legittima continuazione di quella Accademia.
.
Questa finzione giuridica fu fatta per dare un compenso materiale a quegli accademici benedettini che non furono accolti nell'Istituto Nazionale, ed avevano perduto la pensione accademica.
In forza di tale finzione, l'Ateneo fu riguardato come naturale continuazione della antica Accademia bolognese, anche quando fu proposta la riforma col richiamo alla Costituzione di Benedetto 14esimo. Per tale modo si ricuperarono all'Accademia le rendite della Eredit Pannolini, mentre poi, mutando la finzione in realt, si creava la tradizione, fino ai nostri giorni conservata, della soppressione della nostra Accademia ad opera del governo napoleonico.
Fortunatamente si sono trovate, negli Archivi della Accademia, le "Informazioni", di mano del VENTUROLI, uomo di molto senno, di riconosciuta imparzialit, scienziato di grido, segretario della vecchia e della nuova Accademia, che fu partecipe, come personaggio di prima linea, a tutte le vicende di quelle istituzioni, caro anche alla Curia pontificia, che lo volle a Roma direttore di quella scuola di ingegneria.
.
Egli ripetutamente e recisamente afferma: "La Sezione dell'Istituto residente in Bologna, erede della attivit dell'antico bolognese Istituto che in essa solo vive tuttora, ha incessantemente continuato il corso delle usate esercitazioni accademiche... ed in essa si  conservata, e si conserva (1882) l'esistenza, il nome, e, per quanto le circostanze permettono, l'attivit dell'antico Istituto di Bologna".
.
E di fatto, mentre dal materiale conservato nei nostri archivi risulta come abbiamo detto, che la Sezione scientifica dell'Ateneo di Bologna non pot mai nemmeno costituirsi in Corpo accademico, si trovano gli originali autentici, di mano dei segretari, dei verbali di tutte le sedute che ininterrottamente la nostra accademia ha tenuto, fino al momento della ripristinazione delle Costituzioni benedettine.
La storia della nostra accademia nelle successive fasi di "Accademia degli inquieti", "Accademia delle Scienze dell'Istituto", "Istituto Nazionale", "Sezione bolognese del Reale Istituto di Scienze Lettere ed Arti", insieme colla esposizione del suo stato attuale, al momento della Restaurazione del Governo pontificio, si trova esposta in modo succinto, ma estremamente chiaro e preciso, nelle "Informazioni del Segretario perpetuo prof. Giuseppe Venturoli": documento autentico, sincrono, insospettabile di fatti fino ad ora mal noti o travisati, che  stato pubblicato da E. BORTOLOTTI, nella Memoria col titolo: "L'Accademia delle Scienze dell'Istituto di Bologna durante l'epoca napoleonica e la restaurazione pontificia", nel vol. XXV, serie IV (pp. 1-81) degli "Atti della Reale Deputazione di Storia Patria" per le provincie di Romagna.
.
Quelle informazioni furono date per richiesta delle autorit ecclesiastiche e politiche, in seguito alla "Petizione della Sezione bolognese dell'Istituto di Scienze Lettere ed Arti", che chiedeva la continuazione delle Provvisioni ad essa assegnate dal Governo del Regno italico, e la sua sistemazione definitiva.
Le Informazioni del Venturoli, che recisamente affermavano la continuazione della vecchia accademia attraverso quelle fasi, furono accolte come dato di fatto da quelle autorit. Il Cardinale Arcivescovo di Bologna, il Cardinale Legato, il Delegato apostolico, presero atto delle informazioni che furono ad essi ufficialmente comunicate, e si impegnarono di appoggiar la Petizione presso il Santo Padre (Pio Settimo).
.
Questi fece rispondere dal suo Segretario di Stato, Cardinal CONSALVI, che: "riguardava con occhio parziale un Istituto che si  distinto, e che, a suo tempo, avrebbe saputo valutare i talenti ed i meriti delle persone, che la Riforma delle Accademie avrebbe presto avuto luogo insieme colla Riforma della Universit degli Studi, e che frattanto l'Accademia poteva continuare nello stato attuale, e colle attuali sue costituzioni, provveduta degli assegni di cui fino allora aveva goduto".
Cos fu fatto; ma lo Stato provvisorio continuava indefinitamente, nonostante le istanze, ad ogni fin d'anno accademico ripetute, non per contrarie disposizioni del Governo, ma per essere: "cos lente le disposizioni e cos pigre le menti a piegarsi a qualunque nuova idea, come ch utile e bella" (Lettera del VENTUROLI, delli 11 marzo 1818).
.
6. LA RIFORMA DELLA ACCADEMIA BENEDETTINA.
.
Dopo i moti del '21, si incominci a parlare di una effettiva riforma delle istituzioni scolastiche e culturali, che si volevano sottoposte ad una pi vigile sorveglianza politica: anche la sistemazione della Accademia appariva come imminente, ed il VENTUROLI (allora residente a Roma) teneva assiduo carteggio coi suoi consoci, per concretare le proposte da fare al Governo centrale. Il risultato di quelle pratiche si rileva da un: "Progetto di Supplica" del Segretario perpetuo (anch'esso tratto dall'inedito(150) e pubblicato al loc. cit.).
.
La supplica non ebbe seguito per allora. Forse per la morte del Pontefice PIO Settimo, cui segu LEONE 12esimo, della Genga, di sentimenti pi vivacemente reazionari. Lo stato provvisorio continu fino al 1824. Ma  opportuno il notare che, pur nello stato provvisorio, l'Accademia tenne sempre regolarmente le sue Sessioni, sia pubbliche che private, Sessioni che erano annunziate anche nella Gazzetta di Bologna ed alle quali prendeva parte il Legato: Cardinale SPINA, che di persona vi assisteva quando si eseguivano esperienze fisiche e meccaniche. Per tali esperimenti si accordarono anche contribuzioni da parte del Governo.  notevole anche il fatto che l'Accademia spesso era interrogata dall'autorit amministrativa, o da privati, sopra oggetti attinenti alle scienze di applicazione e teneva regolare carteggio con Accademie straniere, che ad essa si indirizzavano, come ad "Accademia di Bologna".
.
A troncare lo stato provvisorio venne la Bolla pontificia emanata il 26 agosto 1824, che comincia: "Quod divina sapientia", ed il successivo "Regolamento degli Studi da osservarsi in Roma ed in tutto lo Stato pontificio", nel quale era in particolare stabilito che: "Non potr stabilirsi alcuna nuova Accademia di Scienze Lettere ed Arti, senza il permesso della S. Congregazione,... Le gi esistenti e con legittima approvazione, o da tempo antichissimo, saranno conservate, salvo per la conferma da riportarsi dalla S. Congregazione dentro il termine di sei mesi".
.
Le "Disposizioni per la ripristinazione ed organizzazione della celebre Accademia benedettina, detta dell'Istituto di Bologna", furono comunicate alla Legazione con Dispaccio di Segreteria di Stato delli 13 giugno 1824. Esse esistono in copia autentica nel nostro Archivio, e, fatta ragione ai tempi, sono abbastanza liberali. In forza di quelle Disposizioni il Corpo accademico doveva essere "Convocato davanti al Cardinale Legato per procedere alla scelta del presidente e del segretario, e per formare un Piano, col quale vengono regolate le esercitazioni scientifiche e letterarie. Questo piano verr presentato alla approvazione del Governo, dopo di che sar posto immediatamente in attivit".
Tutte quelle operazioni furono eseguite regolarmente sotto la guida premurosa e benevola del Cardinale Legato (SPINA) e, prima del termine dell'anno 1824, inviate per l'approvazione al Governo.
Ma dovevano passare pi di altri due anni e mezzo, prima che la Sacra Congregazione degli Studi facesse sapere che... "Le era sembrato necessario di riformare alcuni articoli, e di fare altri passi preliminari, per la dovuta rettificazione del Decreto medesimo onde poi metterlo in attivit".
.
Fu riformato, anzi soppresso l'articolo riguardante la costituzione di una "Classe di Scienze morali, politiche e letterarie", che era contemplata nell'Istituto napoleonico, e non in quello benedettino, e dopo un lungo tergiversare, si venne finalmente alle tanto sospirate conclusioni nel 1829. Fu dato incarico al VENTUROLI di stendere la minuta del Decreto (esiste di pugno del VENTUROLI nel nostro archivio). Fu promulgato in data 10 maggio 1829.
.
Il primo articolo statuisce: "L'antica Accademia delle scienze di Bologna, istituita dal celebre Eustachio Manfredi, raccolta nel palazzo dell'Istituto dal Conte Luigi Ferdinando Marsilij, e, dal sommo Pontefice Benedetto 14esimo costituita in nuova forma ed arricchita di onori e di rendite, viene rimessa nella sua piena attivit e ristabilita nei suoi diritti e privilegi".
Parrebbe superfluo l'osservare che in questo articolo si riconosce la esistenza in atto della antica e famosa accademia, la quale viene ristabilita nei suoi diritti e privilegi. N poteva essere altrimenti perch la conservazione del nome, e della attivit della antica Accademia nella Sezione bolognese dell'Istituto napoleonico, era uno stato di fatto constatato anche nelle "Informazioni", in base delle quali il Decreto pontificio era stato promulgato.
.
Ma le condizioni politiche del momento consigliavano a sottacere il periodo giacobino, nel quale l'Accademia benedettina era stata Istituto nazionale napoleonico.
I moti del '21, lo stato latente di irrequietezza che covava fra gli intellettuali, avevano eccitato la reazione pi stolta. Il sospetto invadeva tutto l'ambiente universitario: professori e scolari erano spiati in tutti i loro atti, sottoposti a persecuzioni e, per semplice sospetto, incarcerati e messi al bando.
Si volle il ritorno puro e semplice al passato, si pretese di cancellare tutti i ricordi della Storia, al fine di abolirne le conseguenze. Nella grande Aula dell'Istituto, la lapide a ricordo della proclamazione a membro, di Napoleone, fu raschiata e sostituita con una a ricordo di PIO Settimo, ed il busto del pontefice fu posto nel luogo di quello di Bonaparte(151). (Del resto anche a Torino si voleva abbattere il ponte giacobino fatto gettare sul Po da Napoleone).
.
Anche l'Accademia benedettina doveva essere purgata dal grave fallo di aver funzionato quale Istituto Nazionale Napoleonico.
Si volle dunque far credere (in antitesi collo stesso Decreto di PIO Settimo) che l'Accademia fosse disciolta da Napoleone nel 1804 e ricostruita da Pio Ottavo, nel 1829.
Lo storico aulico delle nostre Accademie nel suo libro: "Memorie storiche intorno le accademie scientifiche e letterarie della citt di Bologna", versava fiumi di lagrime sulla "...distruzione di un'Accademia che tanto si adopr al progresso dei buoni studi,... sulla persecuzione degli accademici, strappati ai loro onesti travagli,... sulla citt di ornamento nobilissimo dispogliata...", ed esaltava la magnanimit del Pontefice che: "ai voti di tutti i buoni soddisfacendo, e delle scienze bene meritando, la reintegrazione ne decret".
.
8. I VOLUMI DEGLI ATTI DELL'ISTITUTO NAZIONALE.
L'Accademia delle Scienze dell'Istituto di Bologna, nel tempo in cui funzionava come Istituto Nazionale, fu anche consulta permanente presso il Governo, ed organo direttivo presso le istituzioni locali, a norma della Legge 4 settembre 1802; ma fu altamente benemerita degli studi, come Accademia scientifica. Ne fanno fede gli "Elenchi per autori dei lavori pubblicati nelle Memorie dell'Istituto Nazionale Italiano", di quelli presentati e rimasti manoscritti, e delle Memorie presentate alla Sezione bolognese dell'Istituto; raccolti dal prof. G. B. ERCOLANI, nell'Opera: Accademia delle Scienze dell'Istituto di Bologna dalla sua origine a tutto il 1880. (Bologna 1881).
.
Se anche vogliamo limitarci alle opere pubblicate in quel tempo a Bologna, negli Atti dell'Istituto Nazionale, cio della nostra Accademia, troviamo che il RUFFINI ha dato la migliore delle sue dimostrazioni della impossibilit della risoluzione algebrica delle equazioni di grado superiore al quarto. Il SALADINI ed il BRUNACCI, alcune interessanti memorie di Calcolo infinitesimale; l'AVANZINI ha trattato della resistenza dei fluidi, il FONTANA dei solidi di egual resistenza rispettiva, il PARADISI, delle vibrazioni delle lamine elastiche, l'ORIANI della trigonometria sferoidica, il PIAZZI, dei movimenti proprii delle stelle fisse, il CAGNOLI dei problemi sull'equazione dell'orbita e sulla eccentricit dei pianeti, lo STRATICO, della inclinazione delle sponde negli alvei dei fiumi....
E tutto questo lavoro era coordinato e diretto da un corpo accademico che aveva sede in Bologna, dove si era conservata la buona tradizione dell'eclettismo scientifico, nella migliore accezione del termine.
...
.
...
Paragrafo 2. Le cattedre universitarie.
...
.
...
1. - Per quel che riguarda la distribuzione degli insegnamenti e dei docenti nelle varie cattedre della nostra Universit, nel periodo napoleonico ed in quello successivo della restaurazione del governo pontificio, ci baster di ricordare che l'Universit napoleonica era retta da una saggia legge, che aveva raccolto ci che gi esisteva di buono, e ci che di buono aveva proposto il MARSIGLI nel suo Programma: riservava allo Stato l'insegnamento superiore e compensava equamente gli insegnanti. Nell'Universit pontificia si ebbe un assetto provvisorio, che dur dal 1815 al 1824, nel quale si conservarono le leggi e le consuetudini napoleoniche, salvo la riunione in una sola cattedra di Fisica, delle due di Fisica sperimentale e di Fisica generale, il rinnovo della cattedra di Elementi di Algebra e di Geometria, e l'aggiunta di cattedre di Logica, Metafisica, ed Etica.
.
La riforma del 1824 stabiliva in tutto lo Stato Pontificio due Universit primarie: Roma e Bologna, ed ammetteva l'esistenza di alcune secondarie: Ferrara, Perugia, Camerino, Macerata, Fermo. Venivano ricostituiti i Collegi degli esaminatori, ma di nomina papale; la vita spirituale degli studenti era sottoposta a doveri ed a cure minuziose.
Le materie, per la Facolt filosofica, erano cos distribuite:
Anno 1. Logica e Metafisica, Elementi di Algebra e Geometria.
Anno 2. Etica, Fisica, Introduzione al Calcolo.
Anno 3. Calcolo sublime, Meccanica ed Idraulica, Ottica ed Astronomia.
Anno 4. Meccanica ed Idraulica, Ottica ed Astronomia.
Le cattedre a carattere propedeutico: Etica, Logica e Metafisica, Elementi di Algebra e Geometria, furono abolite nel 1833.
.
2. - Il Periodo Pontificio della Universit bolognese  periodo di progressiva decadenza. I migliori fra gli insegnanti che in essa professarono, furono quelli a lei trasmessi dal periodo napoleonico, o dalla antica Universit comunale, che in gran parte furono conservati; ma, a mano mano, che le cattedre si facevano vacanti, si chiamarono persone la cui scelta era determinata da considerazioni di ordine politico; e chiunque mostrasse troppa originalit di pensiero, od ardisse coltivare relazioni scientifiche cogli stranieri (stranieri allo Stato pontificio) non riesciva a vincere la diffidenza della Sacra Congregazione, cui era deferita la nomina.
Si ebbero cos insegnanti devoti al dovere, ma che, in generale, non ebbero nome, nel mondo scientifico, per novit di vedute, o per singolare profondit di dottrina; e l'Universit pontificia assunse carattere piuttosto professionale, che scientifico.
.
Alla mediocrit dei docenti corrispondeva l'apatia, dal punto di vista culturale, degli scolari, fra i quali i pi generosi coltivavano aspirazioni patriottiche, e si stringevano attorno a quei professori, che nel loro insegnamento, o nel loro contegno, rivelavano amore all'Italia, patria comune.
Il primo grave turbamento politico nella scolaresca si ebbe nel 1831, e fu provocato, non dalla rivoluzione, ma dai provvedimenti repressivi, presi in seguito alla rivoluzione. Il prolegato pontificio fu obbligato a lasciare la citt: ci fu un governo provvisorio, che proclamava decaduto il pontificio, e si form anche un corpo militare di studenti, detto "Legione Pallade", che partecip alla resistenza ordinata dallo ZUCCHI.
.
Ma il 21 marzo entravano a Bologna gli austriaci, ed il METTERNICH consigliava, cio esigeva, la chiusura provvisoria dell'Universit; che, con decreto 12 settembre 1831, diventava definitiva per tutte le Universit dello Stato pontificio, le quali restavano solo come sede di esami: gli studi dovevano esser fatti nelle singole citt (o paesi) sotto maestri scelti da vescovi e approvati dalla S. Congregazione.
Poi, poco a poco si riaprirono le aule universitarie, ma con quel profitto degli studenti che  facile immaginare.
Le agitazioni del 1846-49 ebbero azione limitata sulla organizzazione della Universit; ma la nuova invasione austriaca del 1849, iniziava il duro governo militare, che sostitu quasi interamente l'autorit pontificia. Ecco il prospetto degli insegnamenti impartiti nella nostra Universit negli anni 1849-59.
.
Anno 1.
Logica e Metafisica,
Elementi di Algebra e Geometria, (soppresse).
.
Anno 2.
Etica, (soppressa).
Fisica, L. DELLA CASA (1859)
Introduz. al Calcolo, S. RAMENGHI (1834-59)
.
Anno 3.
Calcolo sublime, A. SAPORETTI (1858-59)
Meccanica ed Idraulica, D. CHELINI (1848-59)
.
Anno 4.
Meccanica ed Idraulica, D. CHELINI (1848-59)
Ottica ed Astronomia L. RESPIGHI (1849-59).
.
I professori DELLA CASA e SAPORETTI compariscono solo nell'anno 1858-59; dunque, nella facolt fisico-matematica della nostra Universit, durante il decennio 1848-58, per tutte le materie, ed in tutti gli anni di corso, si avevano tre soli - dico tre soli - professori, SANTE RAMENGHI, DOMENICO CHELINI, LORENZO RESPIGHI, dei quali bisogna pur dire che soli i due ultimi hanno lasciato un nome nella scienza.
...
.
...
Paragrafo 3.
...
.
...
Cenni biografici di alcuni fra i matematici della Scuola di Bologna che ebbero maggior nome in questo Periodo.
.
1. GIANFRANCESCO MALFATTI (1731-1807). - Nato ad Ala di Rovereto il 26 settembre 1731, si rec ancor giovinetto a Bologna, richiamato dalla fama di questa scuola. Comp gli studi di matematica sotto la guida di FRANCESCO MARIA ZANOTTI, di GABRIELE MANFREDI, e di VINCENZO RICCATI. Si rec nel 1754 a Ferrara, ospite del Marchese BEVILACQUA, per dirigere la Biblioteca ed il gabinetto di fisica che quello aveva col raccolto. Nel 1771, restaurata l'Universit di Ferrara, fu chiamato alla cattedra di Matematica, che tenne per circa trent'anni, sobbarcandosi tutti gli insegnamenti di quella materia, dagli Elementi di Euclide, al Calcolo sublime. Quel sovracarico fu di grave impedimento allo sviluppo della sua attivit scientifica; le pi geniali sue produzioni sono infatti quelle che risalgono ai suoi primi anni di permanenza a Ferrara, e risentono ancora della scuola bolognese, e quelle compiute negli ultimi anni di sua vita, quando, conseguita la giubilazione, pot finalmente liberarsi dai legami con quella Universit "...che cava le midolla al Professore!".
.
Lo troviamo ancora al suo grave ufficio presso quella Universit, all'epoca della prima invasione francese. Invitato a prestare giuramento di fedelt al nuovo governo, ed a fare quelle dichiarazioni di civismo che allora si richiedevano ai pubblici funzionari, il MALFATTI credette di non potersi esimere dall'annuire. Ma, restaurato dagli austro-russi il cessato governo, dovette subire la destituzione da ogni pubblico ufficio, gi vecchio, e quasi cieco, per cateratta.
Reintegrato nella sua carica al ritorno dei francesi, ottenne nel 1802 la giubilazione, e riebbe poi la vista per felice operazione di cateratta e pot darsi con piena tranquillit ai suoi studi prediletti.
Mor nel giorno 9 ottobre del 1807.
.
Quando venne scolaro a Bologna, trov nel nostro Studio ancor viva la tradizione dei grandi algebristi, e ferventi gli studi per la risoluzione delle equazioni dei gradi superiori al quarto. La sua Memoria: "De aequationibus quadrato-cubicis disquisitio analitica"  dei primi mesi del 1770; appartiene dunque a quel gruppo di ricerche, comparse quasi contemporaneamente, che segnarono la fine del periodo storico di sviluppo dell'Algebra, iniziatosi nei primi anni del secolo 16esimo colla risoluzione della equazione cubica. Presa in considerazione la forma, che egli dice canonica, della equazione di quinto grado, egli considera come radice ipotetica una espressione della forma nella quale f  una delle radici quinte della unit; ed assume come incognite i coefficienti m, n, p, q. Le 5 radici dell'equazione proposta corrispondono ai 5 valori diversi della radice quinta della unit.
Assunta come incognita la espressione, vide che questa poteva ottenersi con la risoluzione di una equazione del 6 grado, che riesc a calcolare completamente.
 questa la famosa "Risolvente di Malfatti".
.
Il BRIOSCHI, nella sua Memoria: "Sulla risolvente di Malfatti per le equazioni del 5 grado", (pubblicata nelle "Memorie dell'Istituto Lombardo" vol. IX, 1863), dopo aver fatto risaltare la ingegnosit dei calcoli e la importanza dei risultati ottenuti dal MALFATTI, soggiunge: "Assistiamo ancora oggi agli sforzi merc i quali due geometri inglesi tentano invano di arrivare a quei medesimi risultamenti".
.
Il MALFATTI ha osservato che dalla conoscenza di una radice razionale della sua risolvente, si pu dedurre la completa risoluzione della equazione del 5 grado. Tale risoluzione non pu eseguirsi con espressioni radico-razionali; ma il BRIOSCHI (loc. cit.) ha dimostrato che, con una facile trasformazione, la Risolvente di Malfatti si riduce ad avere la forma di quella equazione che comprende come casi particolari quelle che si incontrano nel problema della trasformazione del quinto ordine nella teoria delle funzioni ellittiche; e che perci tale trasformata della risolvente di Malfatti, conduce alla risoluzione, per trascendenti ellittiche, delle equazioni del 5 grado.
.
Tale risultato lega il nome di MALFATTI alla teoria delle equazioni algebriche.
Il nome di MALFATTI  conosciuto nella scienza anche per un problema geometrico che egli propose nella Memoria pubblicata nel Tomo 10 delle "Memorie della Societ italiana delle scienze" con la data 4 ottobre 1802. Si tratta in sostanza di inscrivere in un dato triangolo tre cerchi tangenti fra loro, e, ciascuno di essi, a due lati del triangolo. Questo problema, risoluto prima di tutti dallo stesso MALFATTI, nelle successive sue estensioni, e nelle molteplici generalizzazioni,  stato trattato ed illustrato dai pi noti matematici del secolo scorso, ed  tuttora registrato nei testi di geometria. Ha una storia: "Geschichte des Malfatti'schen Problems" von A. WITTSTEIN, Mnchen 1871.
.
2. GEROLAMO SALADINI (Lucca 1731-Bologna 1813). - Monaco celestino. Professore onorario di Geometria analitica ed analisi infinitesimale nel nostro Studio dal 1761 al 1800; ordinario di Astronomia per l'anno 1800-01, poi di Calcolo sublime, nella qual cattedra venne confermato con decreto napoleonico del 25 dicembre 1802. Fu collocato a riposo nel 1804.
Analista sottile ed operoso, ha cominciato la sua opera scientifica con un interessante opuscolo intitolato: "Elementa Geometriae infinitesimorum" - Bononiae 1760 -, nel quale gi si considerano i diversi ordini di infinitesimo(152); cui ha fatto seguire buon numero di memorie e disquisizioni pubblicate negli Atti del nostro Istituto e della Societ dei 40.
In collaborazione con VINCENZO RICCATI ha pubblicato negli anni 1765, 1767 un'opera fondamentale di Istituzioni Analitiche.
.
3. SILVESTRO GHERARDI (Lugo 1802-Firenze 1879). - Laureato a Bologna nel 1822, insegn nel nostro Studio Meccanica ed Idraulica dal 1829-30. Nel 1832 fu trasferito alla cattedra di Fisica, che tenne per 17 anni. Dopo la rivoluzione del 1848 fu chiamato a Bologna a far parte del comitato di salute pubblica, ed a Roma, di quella Costituente, e, caduta Roma, ripar a Genova dove, sullo scorcio del 1849 ebbe l'insegnamento della Fisica in quelle scuole civiche, dalle quali, sempre pel medesimo insegnamento, fece passaggio alla Regia Scuola di Marina, e, nel 1857 al Regia Ateneo di Torino. Torn a Bologna nel 1859, e nel 1862 fu nominato Preside dell'Istituto tecnico, allora fondato. Nel 1866 fu trasferito a Firenze, dove mor nel 1879.
Sono interessantissimi gli studi da lui fatti su la Storia della facolt matematica di Bologna, tradotti in tedesco dal CURTZE, e la raccolta completa degli scritti di Luigi Galvani, da lui condotta al termine, e corredata da un dotto Commentario.
.
4. DOMENICO CHELINI (Gragnano, presso Lucca, 1802-Roma 1878). - Vest l'abito di scolopio nel 1818, fece gli studi nel Collegio Nazareno in Roma dal 1819 al 1826. Appena ebbe cessato di essere scolaro, fu in quel medesimo Collegio insegnante di Umanit. Nell'anno successivo and professore di Rettorica a Narni, dove fu consacrato prete. Da Narni pass a Citt della Pieve e ad Alatri. Nel 1831 fu richiamato al Collegio Nazareno, e quivi copr la cattedra di Matematica per 20 anni. Negli ultimi mesi del 1843 conobbe JACOBI, venuto a Roma insieme col DIRICHLET. Venne a Bologna, professore di Meccanica ed Idraulica nel nostro Studio, nell'ottobre del 1851, ma il 24 maggio 1860 fu tolto da quell'ufficio, perch si era astenuto dall'intervenire alla funzione religiosa della festa dello Statuto. Fu restituito alla Cattedra il 5 novembre, con un provvedimento eccezionale, che non si volle pi rispettare nel 1863, col fargli pervenire un decreto che lo nominava professore straordinario pel solo anno scolastico imminente, e l'anno dopo, per non aver voluto prestare il giuramento politico, e dietro la sua dichiarazione di non poterlo fare per la sua condizione di ecclesiastico, venne destituito con decreto 18 dicembre 1864.
.
Nel marzo 1865 and a Roma, dove gli si era fatto sperare una cattedra in quella Universit, che non pot ottenere prima del settembre 1867; quattro anni dopo, quando Roma divenne capitale d'Italia, gli fu ripresentato il dilemma: O giurare, od andarsene. D'allora in poi, insegn nella Universit vaticana, sinch questa non venne chiusa; poi, privatamente.
"Nella primavera 1878 l'Ordine civile di Savoia gli decret un piccolo assegno annuo, che egli accett con viva gratitudine; ma non gli fu dato che di riscuoterne il primo trimestre, avendolo colto la morte nel d 16 novembre dopo pochi giorni di malattia, nel Collegio Nazareno, dove abitava sino dal 1865.
Era stato ascritto all'Accademia dei Lincei sino dal 1847, all'Accademia di Bologna sino dal 1854, ed alla Societ Italiana dei 40 sino dal 1863. Apparteneva inoltre a non poche altre Accademie e Societ minori.
.
Tutta la sua vita fu spesa in pr della scienza e dell'istruzione. Le sue pubblicazioni sono in numero di 53 e abbracciano un periodo di ben 44 anni. Suo primo lavoro  una Memoria "Sulla teoria delle quantit proporzionali" letta all'Accademia dei Lincei il 28 luglio 1834, e l'ultimo una Memoria "Sopra alcune questioni dinamiche", presentata all'Accademia di Bologna il 26 aprile 1877. Sino agli estremi giorni ebbe intatta la forza del pensiero come quella del corpo".
(Dalla Commemorazione fatta il 5 gennaio 1879, alla Regia Accademia dei Lincei, dal prof. L. CREMONA).
...
.
...
CAPITOLO SESTO.
...
.
...
LA RINASCITA DEGLI STUDI MATEMATICI.
...
.
...
Paragrafo 1.
...
.
...
Gli instauratori della nuova scienza.
...
.
...
1. - Abbiamo visto in qual misero stato fosse ridotta la scuola matematica bolognese negli ultimi anni di governo pontificio. Ma, col mutare del regime politico, mutava anche l'ordinamento degli studi ed il corpo accademico. L'Italia, finalmente riunita a Nazione, volle ravvivare negli studi la potenza intellettuale dello Stato.
In un medesimo anno (1860) furono istituite cattedre di matematica superiore nelle principali universit del Regno: a Pisa il BETTI, ed a PAVIA il BRIOSCHI inauguravano i loro corsi di Analisi e di Geometria superiore; a Napoli il BATTAGLINI, ed a Bologna il CREMONA, quelli di Geometria superiore.
.
2. - A quegli studi donava allora singolare attrattiva la brillante fioritura di ricerche sulla Storia della Matematica, che ebbe in Italia i suoi maggiori cultori. Le opere del COSSALI, del LIBRI, i poderosi volumi del Bullettino Boncompagni rivelavano uno degli aspetti pi notevoli della feracit dell'ingegno italiano, anche nelle pi elevate regioni dello spirito.
.
3. - Ma il pi efficace impulso al rinascimento della matematica in Italia venne dall'opera e dall'insegnamento di LUIGI CREMONA.
Nato il 7 dicembre 1830 a Pavia, dopo aver compiuti con singolare profitto gli studi classici, si arruolava volontario nel 1848, e per 18 mesi combatteva, prendendo parte ai pi notevoli fatti d'arme.
Al tornare dalla guerra, si inscriveva all'Universit di Pavia, ove ebbe a maestri il BORDONI ed il BRIOSCHI. Conseguita la laurea, nel 1853, entrava nell'insegnamento medio come professore nel Ginnasio di Cremona e nel Liceo di Milano. Dalla istituzione ricevuta nella scuola pavese, e dalla lettura delle opere dei grandi matematici francesi e tedeschi, prese ispirazione a quelle ricerche di geometria che, pubblicate negli anni 1855-60, levarono alto il suo nome e lo additarono al ministro MAMIANI, come degno di essere chiamato a cuoprire la cattedra di Geometria superiore per lui istituita a Bologna nel 1860.
Quivi egli rimase fino al 1866, ed in quegli anni costrusse opere fondamentali, dove la teoria generale delle curve e delle superficie algebriche  organicamente esposta, con trattazione che pu dirsi completa, nelle due monografie: "Introduzione ad una teoria delle curve piane" (1862), "Preliminari ad una teoria geometrica delle superficie" (1866); mirabili, sia per l'unit, il rigore e l'acume con cui sono condotte le ricerche, sia per l'eleganza e la perfezione della forma.
.
LUIGI CREMONA ebbe oltre a ci il merito e la fortuna di aprire un nuovo fecondo indirizzo alla ricerca matematica, colle due celebri note pubblicate negli anni 1863-64 "Sulle trasformazioni geometriche delle figure piane", ove sono esposte quelle trasformazioni razionali, che da lui hanno preso il nome. Trasformazioni fra due piani, che fanno corrispondere punti a punti, e curve algebriche a rette, ed, estese allo spazio, servono ad ottenere rappresentazioni piane di superficie algebriche, offrono il mezzo di trasportare propriet note di enti semplici in enti di natura pi complicata, ed eccitano lo studio di quelle propriet geometriche che, per tali trasformazioni rimangono inalterate.
.
4. - LUIGI CREMONA fu il fondatore di una scuola di scienziati che raccolsero la parola del maestro, e ne trassero ispirazione alle pi svariate ricerche. Fra i suoi discepoli possiamo noverare: DE PAOLIS, JUNG, CAPORALI, BERTINI, VERONESI, GUCCIA, MONTESANO, CASTELNUOVO, ENRIQUES, ecc.; perch non vi fu campo della Geometria che egli lasciasse fuori dalle sue lezioni.
Per dar vita ad una tale scuola, non sarebbe bastato il valore del maestro, ma occorrevano specialissime doti, che il CREMONA possedeva in modo eminente. Occorreva quella intima forza di suggestione che impone ai discepoli la passione e la fede del maestro, e li attrae, li dirige, li fa partecipi dell'ansia della ricerca, del godimento della scoperta. Ed in CREMONA questa forza, e quella fede furono tali, che ancora non ne  estinta l'influenza nei pi tardi suoi discepoli, della seconda generazione.
.
Nel 1867 LUIGI CREMONA lasciava il nostro Studio e la nostra citt, per recarsi a Milano, e, dalle cattedre di Geometria superiore e di Statistica grafica di quella scuola politecnica, pot esercitare sopra pi numerose schiere di alunni la sua opera di elevazione culturale. Sette anni dopo fu chiamato a Roma per riordinare e dirigere quella Scuola degli ingegneri, ed in breve tempo riusc a costituire col un Istituto, che per la saggia fusione della cultura scientifica e delle applicazioni tecniche, poteva competere con i migliori dell'estero.
Negli ultimi anni di sua vita, la sua opera legislativa, come Senatore e membro del Consiglio superiore, fu instancabilmente rivolta allo scopo di rinforzare la seriet degli studi ed elevare il prestigio degli insegnanti e della scuola.
Lasci questa vita terrena il 10 giugno 1903.
.
5. - A LUIGI CREMONA presto si accompagnava nella nostra Universit, un altro dei grandissimi matematici italiani: EUGENIO BELTRAMI.
Nato a Cremona il 16 novembre 1835, fece gli studi secondari nel Liceo-Ginnasio della sua citt nativa, frequent(153) per tre anni l'Universit di Pavia, come alunno del Collegio Ghislieri, poi, per vicende domestiche, dovette abbandonare le scuole ed accettare un posto di segretario presso la Direzione delle ferrovie, prima a Verona, poi a Milano. Ma tale ufficio non lo distolse dagli studi: strinse relazione col BRIOSCHI e col CREMONA, e, da essi ispirato, con assiduo studio attese ad una efficace preparazione scientifica, talch, nel 1862, su proposta del BRIOSCHI, il ministero della pubblica istruzione poteva nominare lui, senza laurea, ma gi insigne per lavori pubblicati negli Annali di Matematica, professore di Algebra e Geometria analitica nella Regia Universit di Bologna.
.
L'anno appresso egli era trasferito, col grado di ordinario, alla cattedra di Geodesia nella Regia Universit di Pisa, ma dopo tre anni faceva ritorno alla nostra, e qui rimaneva fino al 1873: e fu questo uno dei periodi pi proficui per la sua produzione scientifica. Nel 1873 si trasferiva a Roma, chiamato dal CREMONA in quell'Istituto superiore di Applicazione; ma non molto col si trattenne, poich il movimento della Capitale, in quella fase di assestamento, male si addiceva al suo temperamento: dopo tre anni si trasferiva a Pavia, per assumervi la cattedra, allora istituita, di Fisica matematica, coll'incarico della meccanica superiore, ed ivi rest quindici anni, per lui particolarmente lieti e tranquilli, di fervido lavoro.
Nel 1890, cedendo all'insistente richiamo di quella facolt di scienze, che gli offriva quegli stessi insegnamenti, tornava a Roma, dove rimase fino al termine della sua vita, che avvenne il 18 febbraio 1900.
.
6. - Le Opere matematiche di EUGENIO BELTRAMI furono raccolte in 4 volumi, che comprendono circa 150 tra note e memorie, dove tutti i principali rami della Matematica vi si trovano arricchiti di nuovo contributo. Molte, fra le pi importanti, furono composte a Bologna, o pubblicate negli Atti della nostra Accademia.
Ricorderemo la classica sua "Teoria degli spazi a curvatura costante" (1868), cui  intimamente connesso il suo celebre "Saggio di una interpretazione della geometria non euclidea", pubblicato nello stesso anno. Egli riesce a dare una rappresentazione concreta, nell'ordinario spazio euclideo, della geometria non euclidea (che nelle opere di BOLYAI e di LOBACEWSKI comparisce come ente astratto di pura logica) mostrando come la superficie, da lui chiamata "pseudosfera" generata dalla rotazione di una trattrice, realizzi il piano non euclideo, in tutte le sue propriet.
.
L'Arte, di cui egli rivelava il senso squisito coll'impeccabile gusto nelle lettere, e colla intelligenza ed il possesso della musica, era pel BELTRAMI eredit di famiglia, ed in lui si manifestava colla eleganza, la semplicit, la chiarezza negli scritti, nelle conversazioni, nelle lezioni accademiche.
Di lui lasci scritto il CERRUTI:
"Quelli che ebbero la fortuna di assistere alle sue lezioni, sanno che le dottrine pi ardue e speciose acquistavano dal magistero della sua parola tale grado di evidenza e di semplicit, da generare in chi ascoltava l'illusione che avrebbe saputo pervenire agevolmente da s alla scoperta delle verit dichiarate dal professore: successo invero meraviglioso quando si pensi non essere aspetto delle questioni trattate che egli non sottoponesse a critica profonda, minuziosa, esauriente".
...
.
...
Paragrafo 2.
...
.
...
La costituzione della scuola matematica.
...
.
...
1. Dopo di avere rapidamente detto dei primi, pi famosi, instauratori della scienza italiana e della scuola bolognese, ricorderemo quelli, della seconda generazione, che, tacendo dei viventi, ebbero maggior grido nella scienza pura, fra coloro che sono stati nostri maestri, e che per le loro doti di scienziati e di cittadini, per la lunga loro permanenza fra noi, acquistarono popolarit affettuosa e riverente nella citt, oltre che nello Studio. Parliamo di SALVATORE PINCHERLE, di CESARE ARZEL e di LUIGI DONATI, nomi simpaticamente noti a tutti, in Bologna.
Nel novembre 1880 SALVATORE PINCHERLE, non ancora trentenne, saliva a Bologna, la cattedra d'onde LUIGI CREMONA aveva pronunziato il celebre suo Discorso inaugurale, e bandita la sua dottrina. Stava allora assumendo assestamento la "Teoria delle Funzioni". A Berlino il WEIERSTRASS sviluppava la sua "Teoria delle funzioni analitiche", nella scuola di Pisa fioriva la "Teoria delle funzioni di variabili reali", che ebbe quivi a fondatore il DINI, ed a Pavia il CASORATI svolgeva i suoi corsi sulla "Teoria delle funzioni di variabile complessa", ispirati alle idee ed ai metodi che traevano origine dalle ricerche su gli integrali curvilinei del CAUCHY, e dalle dissertazioni del RIEMANN.
Colla venuta a Bologna del PINCHERLE, dell'ARZEL, del DONATI, si iniziava una nuova era per la scuola matematica bolognese, che, nonostante le sue antiche tradizioni, e la presenza di illustri maestri, solo allora poteva aver completati i corsi necessari alla laurea.
.
2. - Le funzioni di variabili reali furono introdotte nel nostro Studio dall'ARZEL, secondo l'indirizzo del DINI; la "Teoria delle funzioni analitiche secondo il Weierstrass", era nuova per l'Italia, e fu appunto il PINCHERLE che per primo la introdusse nel suo insegnamento.
Per naturale disposizione dello spirito, S. PINCHERLE era portato all'eclettismo. Ebbe la prima iniziazione matematica a Marsiglia, in quel Liceo imperiale, dove le classi di Mathmatique lmentaire e di Mathmatique spciale, comprendevano parte del programma da noi svolto nel I biennio universitario. Normalista a Pisa (dal 1870 al 1874), quando il DINI stava approntando nei suoi corsi universitari il materiale che poi venne alla luce nei "Fondamenti", acquistava, insieme colla padronanza della materia, l'abitudine mentale a quel rigore di metodo che quel grande maestro sapeva portare nella scuola, fin dall'inizio degli studi di Analisi, e come base di essi. Ma non minore fu, forse, l'influenza della geniale personalit del BETTI, che risentiva delle idee e dei metodi del RIEMANN.
La sua istituzione matematica, gi cos bene avviata, si compiva felicemente con un anno di perfezionamento (1877-78) presso le scuole universitarie di Berlino; quivi ascoltava le lezioni del WEIERSTRASS, e ne portava in Italia le idee, i metodi, le scoperte con una pubblicazione che fu, per il pubblico degli studiosi, una rivelazione.
.
3. - Nelle sue lezioni SALVATORE PINCHERLE usava cambiare tutti gli anni argomenti, percorrendo successivamente i principali campi della scienza, secondo i pi moderni indirizzi, fino agli estremi confini raggiunti con le ultime scoperte; i giovani erano cos condotti al limitare di campi non ancora esplorati, muniti gi del viatico necessario a chi vuol percorrere nuovo cammino.
E non limitava la sua azione educativa alle ore di lezione, seguiva con affettuosa premura l'opera dei suoi allievi anche fuor della scuola, dopo la laurea, indirizzandoli alla scienza ed alla vita col consiglio, coi suggerimenti e coll'esempio della instancabile sua attivit scientifica.
Le sue lezioni erano un modello di logica chiarezza; sapeva, in materia difficile, superare con eleganza di metodo le pi aspre difficolt, ma non le nascondeva, anzi le rilevava, e, facendo conoscere gli sforzi che furono necessari alla conoscenza del vero, premuniva i giovani contro gli ostacoli che essi stessi avrebbero poi incontrato, quando si fossero alla lor volta fatti promotori di nuova scienza.
.
4. - Ebbe molteplici uffici, anche fuor della scuola, ed a tutti costantemente attese con avveduta diligenza. Fu pi volte preside di Facolt, membro e presidente di commissioni di concorso per ogni ordine di scuole, di commissioni esaminatrici per esami di tutti i gradi; fu nella giunta di vigilanza delle scuole medie, a lui furono spesso affidate ispezioni didattiche e disciplinari. La sua opera, sorretta da vasta e salda cultura, guidata da sensi di equanimit e giustizia, era altamente pregiata, e lasci traccie benefiche.
Si deve a lui la fondazione della Unione Matematica italiana, e del Bollettino, che sotto la sua direzione ha assunto posto cospicuo fra i periodici matematici;  suo merito la organizzazione e lo svolgimento del Congresso internazionale dei matematici, tenuto a Bologna in circostanze difficilissime nel 1928, e merc sua riescito con esito superiore ad ogni pi favorevole aspettativa.
.
Chiamato a far parte della direzione degli Annali di Matematica, in uno dei momenti pi gravi per quella antica, gloriosa istituzione, si addoss la cura della stampa, la responsabilit ed il peso della amministrazione economica; e con perseverante opera sagace, riusc a raddrizzarne le sorti e ad allontanare, se non a vincere, le minacce.
Era matematico insigne, ma non matematico puro nel senso volgare del termine; aveva mente vasta, viva, pronta, cuore aperto ad ogni manifestazione d'arte. Sapeva ad un tempo condurre opere ed uffici diversi, di cui ciascuno singolarmente sarebbe stato di troppo impegno per una sola persona. Trovava tempo a tutto, e tutto faceva con diligente applicazione.
.
5. - A riconoscimento dei suoi meriti scientifici stanno le nomine alle Accademie ed alle societ scientifiche, che sarebbe troppo lungo ora il numerare: ricorderemo solo che alla nostra Accademia fu chiamato come onorario nel 1888 e come benedettino nel 1893, e che fu per due volte presidente, non solo della nostra classe, ma della intera Accademia, cui appartenne per 48 anni; mentre fu per 55 anni consecutivi professore nella nostra Universit, senza l'interruzione di un giorno! Non risulta che nessuno dei professori che lo hanno preceduto in questo Studio abbia potuto superare una tale cifra!(154).
.
La nostra Accademia  a lui debitrice del dono delle sue opere, tutte (od almeno tutte le principali) pubblicate nei nostri Atti, che egli ha sempre preferito a quelli delle molte altre associazioni cui era ascritto.
Non  qui il luogo di fare esame, sia pur brevissimo, di quelle opere; baster segnalare il carattere di eminente elevazione spirituale che distingue la sua produzione matematica: non solo per l'altezza degli argomenti e la genialit delle idee, ma per la costante ricerca della forma pi generale, del metodo universale; per l'aspirazione verso la pi pura astrazione, verso le mte pi elevate da cui il pensiero potesse spaziare sopra campi sempre pi vasti. E non  fuori luogo il ricordare che in lui si ripresentarono le pi felici qualit degli antichi maestri della scuola bolognese: la variabile complessa da lui costantemente considerata, era stata introdotta nella scienza da RAFFAELE BOMBELLI, gli algoritmi infiniti, le serie, le frazioni continue...., dal CATALDI, le trasformazioni degli enti analitici e la loro rappresentazione come somme di infiniti indivisibili, dal CAVALIERI.
Il nome di lui, dato al nostro Istituto matematico, richiama antiche glorie, ed  auspicio per le future.
Nato a Trieste l'11 marzo 1853, moriva a Bologna il 10 luglio 1936.
.
6. CESARE ARZEL nacque a Santo Stefano di Magra il 6 marzo 1847, frequent(155) le scuole ginnasiali di Sarzana, il liceo e l'Universit di Pisa; quivi ottenne, per concorso, un posto nella Regia Scuola Normale superiore, e, nel 1870, la laurea di dottore in matematica. Ebbe, appena laureato, la nomina a professore nel Regia Liceo di Macerata, e nelle scuole medie rimase per 8 anni, nei quali fu insegnante a Savona, a Como, a Firenze. Nel 1878, in seguito a concorso, fu chiamato alla cattedra di algebra nella Regia Universit di Palermo, nel 1880 venne ad insegnare calcolo infinitesimale ed analisi matematica nella Universit di Bologna, dove  rimasto fine al termine della sua vita.
Del tempo trascorso nell'insegnamento secondario egli spesso parlava con vivo compiacimento, perch i problemi pertinenti alla istruzione ed alla educazione dei giovani, le questioni di metodo e di ordinamento scolastico sono fra quelle che egli pi amorosamente ha coltivate.
.
CESARE ARZEL possedeva, per usare una frase del BELTRAMI, lo spirito fine: critico acutissimo, spingeva l'analisi dei fatti matematici fino a sviscerarne le pi riposte ragioni ed a risalire ai loro principii. Ma nelle sue opere, piuttosto che chiarire, completare e raccogliere in ben ordinate teorie i fatti scoperti da altri, preferiva avanzare da solo per strade inesplorate, abbattere ostacoli, cercare nuovi strumenti di studio. Diceva di s stesso di essere un perforatore, e difatti dobbiamo a lui geniali scoperte, originali vedute, nuovi ed importanti contributi, i quali sono tanti capitoli di una grande opera che egli non raccolse mai in un volume, bench egli l'avesse chiara nella mente, e risulti completa dal complesso dei suoi scritti.
.
Campo principale delle sue ricerche  stata la Teoria delle funzioni di variabili reali. Prendendo le mosse dalle fondamentali ricerche del DINI, suo maestro venerato, egli ha trovato la condizione necessaria e sufficiente della continuit della somma di una serie convergente di funzioni continue, in una speciale forma di convergenza, estensione della convergenza uniforme semplice, trovata dal DINI, alla quale egli ha dato il nome di convergenza uniforme a tratti, e che venne pi tardi chiamata convergenza quasi uniforme.
Questo teorema, il quale, col nome di Teorema di Arzel fa parte oramai dei fondamenti della analisi infinitesimale, fu pubblicato da lui la prima volta nel 1885, e successivamente emendato ed esteso, raggiungeva, in un suo lavoro pubblicato nel 1889-90, la forma definitiva.
Analogo teorema fu da lui trovato per la integrabilit della somma di una serie convergente di funzioni integrabili.
.
Le ricerche sulle funzioni, il cui campo di variabilit  costituito da un insieme di funzioni, furono dal Nostro iniziate con una nota dal titolo: "Funzioni di linee", pubblicate nel 1889, e continuate poi, fin che egli ebbe vita.
Nato sul confine della Liguria con la Toscana e non lungi dall'Emilia, CESARE ARZEL ebbe le qualit migliori delle tre razze, la genialit toscana, l'eclettismo dell'emiliana, la tenacia e la forza della ligure.
La scienza pura, nelle pi alte sue rappresentazioni, fu amore costante e scopo della sua vita; ma il suo temperamento d'artista lo portava a ricercare in ogni cosa l'eleganza e la venust della forma.
.
Amava la discussione ed era parlatore facondo ed instancabile, vivace, ma sempre sereno, quasi festoso, aveva certe uscite che scombussolavano ogni pi ostinato oppositore, e finiva sempre, non solo coll'aver causa vinta, ma col guadagnare la simpatia e l'ammirazione di chi l'ascoltava.
Fu insegnante efficacissimo, soleva dire che a far una buona lezione occorrono almeno tre preparazioni: la prima, da farsi in tempo di vacanze, per ordinare e predisporre la materia del corso, ricercare le fonti, studiare la coordinazione degli argomenti, proporzionarne lo sviluppo; la seconda per dar forma ed assetto definitivo ai varii capitoli, e questo, diceva, si fa di solito ogni domenica, per le lezioni della settimana successiva; finalmente la terza  quella che si suol fare lezione per lezione.
.
Ma... dopo tutto questo lavoro preparatorio, egli faceva come M. BERTRAND, il quale "...lorsqu'il avait prpar une leon, il en faisait une autre"(156). E, non gi, come dice il DARBOUX di BERTRAND, perch egli si lasciasse trasportare dalla immaginazione; bens per l'alto concetto che egli aveva dell'ufficio di insegnante e per il senso della scuola, in lui squisitamente desto, in virt del quale egli subito avvertiva il pi lieve senso di stanchezza, di disattenzione o di noia nel suo uditorio. Non poteva andare innanzi se non si sentiva ascoltato, se non riesciva a far gustare ad altri, come egli stesso sentiva, la finezza dei suoi ragionamenti, se non era ben certo di aver pienamente persuaso e convinto; perci ad un certo punto egli lasciava ogni predisposta disposizione, e si rifaceva da capo.
.
Aggiungeremo che, pei corsi di matematica superiore, avveniva ci che forse l'etichetta impediva accadesse per il matematico francese: gli scolari, pochi e famigliarmente raccolti attorno al suo tavolo, prendevano viva parte alla lezione del maestro, e, da lui guidati, insieme con lui ricercavano ogni possibile mezzo per togliere le difficolt che si erano presentate. Finita la lezione, continuavano le discussioni per gli atrii della scuola e per i portici di Bologna, e riprendevano poi la sera, quando i pi ferventi andavano a cercarlo fino a casa sua, dove erano sicuri di essere sempre cordialmente, anzi festosamente accolti.
Chi, dei suoi antichi scolari, pu dimenticare le ore passate con lui in quella caratteristica sua camera da studio, dove i libri, gli opuscoli e le carte erano dovunque accatastati, a strati, a pile, a mucchi, sui mobili, contro le pareti, senz'altro ordine all'infuori di quello che loro veniva dalla successione del tempo in cui erano stati adoperati?
.
Questa semplicit di vita rispecchiava la modestia dell'animo suo, la quale fu una delle ragioni per cui i suoi lavori troppo tardassero ad attirare l'attenzione degli analisti. L'ARZEL confinava le sue memorie in giornali poco diffusi, e non si dava cura di propagare le sue scoperte scientifiche; fu soltanto dopo la traduzione che delle sue memorie "Sulle serie di funzioni", fecero a Vienna POHL e RAUCHEGGER, scolari dello STOLZ, che il Teorema di Arzel cominci ad entrare anche in libri di carattere elementare, e si riconobbe che le proposizioni da lui trovate formavano un sussidio necessario in interessanti ricerche di analisi infinitesimale e di calcolo funzionale.
.
L'ARZEL fu eletto nel 1894 socio onorario della nostra Accademia, nel 1904, corrispondente nazionale della Regia Accademia dei Lincei, nel 1905 ottenne la medaglia d'oro della Societ delle Scienze dei 40, nel 1907 divise col CASTELNUOVO il premio reale per le matematiche, nel 1911 fu eletto membro della Societ dei 40.
L'opera scientifica dell'ARZEL aveva cos finalmente il riconoscimento ufficiale che le era dovuto, egli soddisfatto e sereno, attendeva con rinnovata energia al completamento dei suoi studi, ed aveva collaboratori e compagni un'eletta schiera di discepoli..., quando un male implacabile in lui si manifestava con sintomi che non lasciavano adito a speranza. Nell'aprile del 1911 dovette lasciare la sua scuola e la sua Bologna e ritirarsi a S. Stefano dove langu un intero anno in triste solitudine, ed infine si spense la sera del 15 marzo 1912.
.
7. - LUIGI DONATI. - Nato a Fossombrone, nel 1846, si prepar da solo agli esami di licenza dal Liceo, che super ad Urbino; fece a Pisa gli studi universitari, e col si addottor in Fisica matematica nel 1871. Pot di poi fruire di una Borsa di studii Lavagna, e fu accettato, come assistente dal prof. R. FELICI, uno dei migliori fisici che allora professassero in Italia. Nel 1876 fu chiamato, come professore straordinario, alla cattedra di Fisica speciale all'istituto tecnico superiore di Milano, e, nell'anno seguente, a quella di Fisica tecnica nella Regia Scuola di applicazione per gli ingegneri, allora appunto istituita a Bologna. Nel 1880 ebbe inoltre la nomina a professore straordinario di Fisica matematica nella nostra Facolt, dove in quello stesso anno, erano venuti per l'Algebra, il Calcolo infinitesimale e per le matematiche superiori, i professori S. PINCHERLE, e C. ARZEL, anch'essi provenienti dalla Scuola di Pisa.
.
E fu di grande vantaggio, per l'insegnamento delle scienze, l'uniformit di principii, di metodi, di indirizzi, che la severa istituzione(157) ricevuta nella Scuola di Pisa, aveva donato ai tre valentissimi giovani, che poi, nel nostro Studio, per lungo volgere di anni uniti e concordi svilupparono le teorie fondamentali della matematica moderna, dai primi elementi alle ultime scoperte.
.
Per L. DONATI si trattava di matematica applicata alle teorie fisiche, non di fisica sperimentale; egli anzi era per naturale inclinazione portato alla scienza pura, pi ancora che alle sue applicazioni; ed a riprova del valore della produzione scientifica da lui data in luce a Bologna in un periodo di oltre mezzo secolo di attivit culturale, sta il volume di "Memorie e note scientifiche", pubblicato ad onor suo dalla Facolt di Scienze della Regia Universit di Bologna nell'occasione del suo ottuagenario dove sono raccolti i pi notevoli dei tesori del suo vario sapere, che non conobbe n la immaturit giovanile, n la senile decadenza.
L. DONATI fu ordinario, poi (dal 1921) emerito in entrambe le scuole dove fu professore, e direttore della scuola di ingegneria. Cessava di vivere ad 86 anni, il 7 marzo 1932.
...
.
...
FINE.
...
.
...
Note al testo.
.
(1) Cfr. DALLARI, I rotuli dei lettori legisti ed artisti dello Studio di Bologna, vol. IV, Prefazione, p. VIII. TIRABOSCHI, Storia della Letteratura italiana, Tomo IV, Parte I, Lib. II, Cap. I, Paragrafo 7. Nella edizione di Venezia del 1823, a p. 26.
(2) Cfr. MURATORI, Antichit italiane, vol. 3, Diss. 44, p. 29. - CANTOR, Vorlesungen ber Geschichte der Mathematik, vol. II (1900), p. 7.
[Mittit magistris et scholaribus Bononiensibus libros Aristotelis, de Graeco et arabico in Latinum per eum noviter translatos.]
In extollendis regie prefecture fastigijs, quibus congruenter officia, leges et arma communicant, necessaria fore credimus scientie condimenta, ne per huius mundi suaves et mulcebres semitas, nube ignorantie commiscente, vires ultra licitos terminos effrenate lasciviant, et justitia circa debiti regulas diminuta languescat. Hinc nos profecto, qui divina largitione populis presidemus, generali qua omnes homines naturaliter scire desiderant, et speciali, qua gaudent aliqui, utilitate proficere, antesuscepta nostri regiminis onera, semper a iuventute nostra quaesivimus, formam eius indesinenter amavimus, et in odore unguentorum suorum semper aspiravimus indefesse. Post regni vero nostri curas assumptas, quamquam operosa frequenter negociorum turba nos distrahat, et civilis sibi ratio vendicet solicitudinis nostre partes, quidquid tamen temporis de rerum familiarium occupatione decerpimus, transire non patimur otiosum, sed totum in lectionis exercitatione gratuite libenter expendimus, ut anime clarius vigeat instrumentum in acquisitione scientie sine qua mortalium vita non regitur liberaliter. Dum librorum ergo volumina, quorum multifarie, multisque modis distincta chirographa, nostrarum armaria divitiarum locupletant, sedula meditatione revolvimus, et accurata contemplatione pensamus, compilationes variae ab Aristotele, alijsque philosophis, sub grecis arabicisque vocabulis antiquitus edite, in sermocinalibus et mathematicis disciplinis nostris aliquando sensibus occurrerunt. Quas adhuc originalium dictionum ordinatione consertas et vetustarum vestium, quas eis etas prima concesserat, operimento contectas, vel hominis defectus aut operis, ad latine lingue notitiam non perduxit. Volentes igitur ut veneranda tantorum operum simul authoritas, apud nos non absque commodis communibus, vocis organo traducere innotescat, ea per viros electos et in utriusque lingue prolatione peritos instauter iussimus, verborum fideliter servata virginitate, transferri.
Quia vero scientiarum generosa possessio in plures dispersa non deperit, et distributa per partes minorationis detrimenta non sentit: sed eo diuturnius perpetuata senescit quo publicata fecundius se diffundit: huiusmodi celare laboris emolumenta nolumus, nec estimavimus nos eadem retinere iucundum, nisi tanti boni nobiscum alios participes faceremus. Considerantes verumtamen, quorum conspectibus, quorumque iudicijs operis cepti primitie possent detentius deputari, ecce vobis potissime, velut philosophie preclaris alumnis, de quorum pectoribus promptuaria piena fluunt, libros aliquos, quos curiosum studium translatorum lingua non potuit fidelis instruere, consulte providimus presentandos vel destinandos. Vos igitur viri, qui de cisternis veteribus aquas novas prudenter educitis, qui fluenta melliflua sitientibus labijs propinatis, libros ipsos, tamquam exennium amici Cesaris, gratanter accipite et ipsos antiquis philosophorum operibus, qui vocis vostre ministerijs reviviscunt, quorumque nutritis famam, dum dogmata sternitis sapienter, ut expedit, aggregantes eo in auditorio vestro, in quo gratia virtutum fructificat, erroris rubigo consumitur et latentis scripture varietas aperitur, cum mittentis favore commoniti, tum clari transmissi operis meritis persuasi, ad communem utilitatem studentium et evidentis fame nostre preconium publicetis.
Questa interessantissima lettera fu gi edita a Basilea nel 1566 nell'opera: Epistolarum Petri de Vineis, cancellarii quondam Friderici II imperatoris libri, Lib. III, cap. 57, pp. 503-506. Una edizione assai migliorata ne diede JOH. RUD. ISELIUS, pure a Basilea nel 1740, con titolo del tutto simile, alle pp. 492-494 del vol. I. Fu poi accuratamente pubblicata di su i manoscritti da A. HUILLARD-BREHOLLES nella Vie et corrspondance de Pierre de la Vigne, Paris, 1864. Pi recentemente  stata ristampata nella seconda edizione di SARTI e FATTORINI, De claris Archigymnasii bononiensis professoribus (Bologna, 1888) a cura di C. MALAGOLA e C. ALBICINI, vol. II, pp. 239-240, e a questa ci siamo scrupolosamente attenuti.
(3) Gli Statuti di Medicina ed Arti del 1405 (Statuti delle Universit e dei Collegi dello Studio bolognese, pubblicati da CARLO MALAGOLA, Bologna 1888), alla Rub. 78, p. 276, per la lettura di Astrologia prescrivevano:
"In astrologia in primo anno primo legantur algorismi de minutis et integris, quibus lectis, legatur primus geumetrie Euclidis cum commento Campani. Quo lecto, legantur tabule Alfonsi cum canonibus (le tavole alfonsine coi canoni di Giovanni di Sassonia). Quibus lectis, legatur theorica planetarum.
In secundo anno primo legatur tractatus de sphera, quo lecto, legatur secundus geumetrie Euclidis, quo lecto, legantur canones super tabulis de linerijs (regole date da Giovanni de Linerijs per l'uso delle tavole astronomiche per la determinazione dei moti celesti), quibus lectis, legatur tractatus astrolabij Messachale.
In tertio anno, primo legatur Alkabicius ( il "Librum de principijs astrologie", di ALCABICIO), quo lecto, legatur Centiloquium Ptolomej cum commento haly (aforismi appartenenti alla giudiziaria, come vi appartiene il quadripartitus pure di TOLOMEO), quo lecto legatur tertio geumetrie, quo lecto, legatur tractatus quadrantis.
In quarto anno primo legatur quadripartitus totus, quo lecto, legatur liber de urina non visa. Quo lecto, legatur dictio tertia almagesti.
Dictis annis completis, et completis dictis libri in dicto termine, fiat circulus et redeatur ad lecturam primi anni postea ad lecturam secundi anni, et sic per ordinem."
(4) Cfr. B. BALDI, Vite inedite di matematici italiani, pubblicate da E. NARDUCCI. "Bull. Boncompagni", vol. 19, 1887. - G. LIBRI, Histoire des sciences mathmatiques en Italie. Tome II, p. 54-57. - G. TIRABOSCHI, Storia della letteratura italiana, Tomo IV, Parte I, Lib. II, Cap. II, 14esimo. - P. DUHEM, Le systme du Monde, Tomo IV, Parigi 1916, p. 188 e sgg. - : La presente nota non  richiamata in alcun punto del testo di riferimento. La collocazione qui  da ritenersi ipotetica.
(5) E. NARDUCCI, Intorno al "Tractatus Sphaerae" di Bartolomeo da Parma, astronomo del secolo 13esimo, e ad altri scritti del medesimo autore. "Bull. di Bibliografia e di Storia delle Scienze Matematiche e Fisiche" pubblicato da B. BONCOMPAGNI, t. 17esimo, 1884, p. 1-120, 165-218.
P. DUHEM, Le Systme du Monde, Tome IV, 1916, Cap. 10, 4. - Barthlmy de Parme, p. 210-222.
(6) Cfr. S. GHERARDI, Di alcuni materiali per la storia della Facolt matematica nell'antica Universit di Bologna. Discorso letto all'Accademia delle Scienze dell'Istituto di Bologna nelle Sessioni dei 9 e 23 Maggio 1844. "Nuovi Annali delle Scienze naturali e Rendiconto delle Sessioni della Societ agraria e dell'Accademia delle Scienze dell'Istituto di Bologna", Serie II, Tomo V, 1846, p. 178.
(7) Cfr. Il "De principiis Astrologiae" di Cecco d'Ascoli, nuovamente scoperto ed illustrato. "Giornale storico della letteratura italiana", 1901-02, Suppl. n. 6, pp. 9 e sgg. - F. FILIPPINI, Cecco d'Ascoli a Bologna, "Studi e Memorie per la Storia della Universit di Bologna", vol. III, 1906. - Cfr. anche: TIRABOSCHI, Storia della lett. it., Tomo V, parte II, Lib. 2, Cap. 2. - E. SARTI, De prof. Bon., vol. 1, parte I, p. 435. Il SARTI rammenta un Codice vaticano che contiene il libro dei principii di Astrologia sunnominato.
(8) La cosa non  impossibile, n improbabile;  noto che LUCA GAURICO si ebbe cinque tratti di corda per aver predetto al BENTIVOGLI la sua cacciata dalla signoria di Bologna. Si racconta che, avendo un giorno l'astrologo di corte Albumasur, presentato al Califfo Al Mostain (862-866) un oroscopo spiacevole, il signore dei credenti gli fece dare un carico di legnate, dopo di che l'astrologo non ebbe altro che la magra soddisfazione di dire: Ho preso le bastonate, ma ho detto la verit! (HANKEL, Storia delle Matematiche presso gli arabi. "Bull. Boncomp.", t. V, 1873).
(9) Cfr. LIBRI, Histoire des sciences mathmatiques en Italie, t. II, p. 208-209. - A. FAVARO, I lettori di matematica nella Universit di Padova. Padova 1921, p. 24-29. - P. DUHEM, Le Systme du monde. Tome IV, Paris 1916, cap. X, Blaise de Parme. - F. AMODEO, Appunti su Biagio Pelicani da Parma. "Atti del IV Congresso intern. dei Matematici", Roma, aprile 1908, vol. 3, p. 549-553. - H. WIELEITNER, Der "Tractatus de latitudinibus formarum" des Oresme. "Biblioteca Mathematica von G. Enestrm", Bd. 13-3, Leipzig 1912, p. 119.
(10) Cfr. CARLO MALAGOLA, Monografie storiche sullo Studio Bolognese. Bologna 1888, p. 410. - S. GHERARDI, Di alcuni materiali per la storia della facolt matematica nell'antica universit di Bologna. "Nuovi Annali delle Scienze Naturali, e Rendiconto delle Sessioni della Societ agraria e della Accademia delle Scienze di Bologna", Serie II, t. V (1846), p. 244-250. - M. CURTZE, Sopra alcuni scritti stampati finora non conosciuti di D. M. Novara da Ferrara. Notizie comunicate dal Principe B. BONCOMPAGNI alla Societ copernicana di Scienze ed Arti, in Thorn, nella seduta del 27 giugno e 15 agosto 1870. "Bibl. Boncompagni", t. IV, p. 142-149. - C. CLAVII, In Sphaeram Iohannis de Sacro Bosco. "Commentarius Venetiis", 1596, p. 262. - LINO SIGHINOLFI, D. M. Novara e Nicol Copernico allo Studio di Bologna. "Studi e memorie per la Storia della Universit di Bologna", vol. V, 1920, p. 207-236.
(11) I numeri rinchiusi fra parentesi si riferiscono qui agli anni nei quali seguirono le condotte.
(12) Nell'ultimo quarto di quel secolo, troviamo tuttavia per l'Aritmetica le lunghe condotte di: ANTONIO LEONARDI DELLA CROCE (1484-85-1526-27); PIRRO DEGLI ALBIROLI (1491-92-1546-47); BENEDETTO PANZARASI (1493-94-1511-12), che si prolungano nel secolo seguente.
(13) Cfr. Scritti di Leonardo Pisano, pubblicati da B. BONCOMPAGNI, vol. II (Roma 1862), p. 253 e sgg. - M. CLENON, Leonardo of Pisa, and his Liber quadratorum. "The American Mathematical Monthly", vol. 26, 1919, n. 1. - E. BORTOLOTTI, Periodico di Matematica, vol. 4, 1924, p. 76.
(14) A carte 67 della edizione di TUSCULANO del 1523. "Per l'operare de l'arte magiore ditta dal vulgo la regola de la cosa over algebra e amucabala, servaremo noi in questo le qui da lato abreviature over caratteri: si commo ancora nelli nostri altri quattro volumi de simili discipline per noi compilati havemo usati: cio in quello che a li giovani de Peroscia intitulai nel 1476; nel quale non con tanta copiosit se tratt. E anche in quello che, a Zara nel 1481, de casi pi sutili e forti componemmo. E anche in quello che nel 1470 derizammo a li nostri relevati discipuli ser Bart. e Francesco e Paolo fratelli de Rompiasi da la Zudeca: degni mercatanti in Vinegia; figliuoli gi de ser Antonio. Sotto la cui ombra paterna e fraterna in lor propria casa me relevai. E a simili scientie sotto la disciplina de misser Domenico Bragadino l in Vinegia da la excelsa signoria lectore de ogni scientia publico deputato. Qual fo immediate successore al perspicacissimo e Rdo doctore; e di San Marco canonico maestro Paulo da la Pergola suo preceptore. E ora a lui, al presente el Magnifico et eximio doctore miser Antonio Cornaro nostro condiscipulo, sotto la doctrina del ditto Bragadino. E questo quando eravamo al secolo".
"Ma da poi che l'abito indegnamente del seraphico San Francesco ex voto pigliammo, per diversi paesi c' convenuto andare peregrinando".
(15) Cfr. M. CANTOR, Vorlesungen ber Geschichte der Mathematik, vol. II (1900), p. 336.
(16) Cfr. ZAMBRINI, Le opere volgari a stampa. Bologna 1878, p. 611. A. AGOSTINI, Sopra un preteso plagio di L. Pacioli. "Archivio di Storia della Scienza", vol. VI, 1925, p. 115-120.
(17) "E, poich noi seguimmo per la maggior parte L. Pisano, io intendo de chiarire che, quando si porr alcuna posta senza autore, quella sia de detto L. E, quando d'altri sia, qui sar l'autorit aducta".
(18) Cfr. L'Opera "De Corporibus regularibus" di Pietro Franceschi, usurpata da fra Luca Pacioli. Memoria di G. MANCINI, Roma, Tipografia della Regia Acc. dei Lincei, 1915.
(19) Cfr.: Vorlesungen ber Geschichte der Mathematik (Leipzig, 1900), vol. 2, p. 34.
(20) Cfr.: H. G. ZEUTHEN, Notes sur l'histoire des mathmatiques. Bull. de l'Acadmie des Sciences de Danemark, pour l'anne 1893.
(21) I numeri fra parentesi si riferiscono al periodo in cui fu tenuta la lettura.
(22) Cfr.: GHALIGAI, "Pratica d'aritmetica". Firenze, 1552. Carte 64, recto.
(23) Cfr.: E. BORTOLOTTI, I problemi del secondo grado nella matematica babilonese. Periodico di Matematiche. A. 1936.
(24) Cfr.: E. BORTOLOTTI, Le fonti della matematica moderna. Matematica sumerica e matematica babilonese. Mem. dell'Accademia di Bologna, A. 1940, p. 77-97.
(25) Cfr.: E. BORTOLOTTI, Il periodo di formazione della Geometria nelle scuole italiane. Appendice I, della Mem.: Il primato dell'Italia nel campo della Matematica. Atti della 27 Riunione della S. I. P. S., Bologna 4-11 settembre 1938.
(26) Cfr.: E. BORTOLOTTI, L'Algebra nella storia e nella preistoria delle Scienze. "Osiris", vol. I (1936), p. 193, n. 8.
(27) Cfr.: "I sei cartelli di matematica disfida di Lodovico Ferrari, coi sei controcartelli di Nicol Tartaglia". Raccolti autografati e pubblicati da ENRICO GIORDANI bolognese. Milano, 1876.
(28) Cfr.: S. GHERARDI, Di alcuni materiali per la storia della facolt matematica nell'antica Universit di Bologna. "Nuovi Annali delle Scienze Naturali", Serie II, tomo V, 1846.
(29) Cfr.: E. BORTOLOTTI, I contributi del Tartaglia, del Cardano, del Ferrari e della scuola matematica bolognese alla teoria algebrica delle equazioni cubiche. "Studi e memorie per la storia della Universit di Bologna", vol. 9, 1926, p. 57-108.
(30) Cfr.: Quesiti et inventioni diverse de Nicol Tartaglia. (Appresso de l'autore, 1554). Quesito 25. fatto da M. Zuanne di Tonini da Coi, l'anno 1536, adi 10 Decembre in Venetia. (Carte 106, recto).
(31) Il TARTAGLIA ricorda Maestro Zuanne de Tonini da Coi, che fin dal 1530 gli proponeva la risoluzione di due quesiti che, procedendo per algebra, conducevano alle equazioni
x3 + 3x2 = 5,x3 + 6x2 + 8x = 1000
allora tenute per irresolubili.
"Quesiti del Tartaglia,...". Quesito 13esimoI, qual mi fu mandato a Verona da un Maestro Zuanne de Tonini da Coi... l'anno 1530.
(32) Cfr.: E. BORTOLOTTI, I contributi del Tartaglia, del Cardano, del Ferrari..., loc. cit., p. 66-79.
(33) Su questo argomento bisogna ricorrere ai "Quesiti et inventioni diverse" del TARTAGLIA. Fonte quanto mai dubbia. I dialoghi ivi registrati, furono fabbricati dopo molti anni da che essi avvennero, o si fingono avvenuti:  sempre il TARTAGLIA che parla colla bocca degli interlocutori, e fa dir loro quello che a lui torna meglio per il suo scopo, che , e lo stesso TARTAGLIA lo dichiara, la denigrazione del Cardano. Delle lettere quivi riportate, alcune sono finte, altre alterate, ed il TARTAGLIA non ha potuto nulla rispondere a precise accuse fattegli pubblicamente e ripetutamente nei Cartelli pubblici, su quelle alterazioni.
Dal confronto con altre fonti sincrone si pu tuttavia, in molti casi, accertar la verit di cose col esposte, e la contraddizione con fatti accertati, o con altre affermazioni, dallo stesso TARTAGLIA pubblicate.
Cfr.: E. BORTOLOTTI, I contributi del Tartaglia, del Cardano, del Ferrari...., loc. cit., vol. IX (1926).
- I cartelli di matematica disfida e la personalit psichica e morale di G. Cardano. Ibid., vol. 12esimo (1933).
(34) Veramente lo stile di questa lettera ha pi del tartagliano che del cardanico!
(35) V. per es., Quesito 38, p. 123.
(36) Cfr. il n. 3 del Paragrafo precedente.
(37) Tali furono gli ingenui schiarimenti dati dal magnanimo TARTAGLIA al fedifrago CARDANO!
(38) Cfr. I sei Cartelli di matematica disfida di Lodovico Ferrari coi sei controcartelli in risposta di Nicol Tartaglia. Raccolti, autografati e pubblicati da ENRICO GIORDANI, bolognese. Milano, 1876. - V. anche: I sei Cartelli di Matematica disfida e la personalit psichica e morale di Girolamo Cardano, di E. BORTOLOTTI, "Studi e Memorie per la Storia della Universit di Bologna", vol. 12esimo, 1933.
(39) Vedi nota a p. 89 
(40) Un'edizione dell'opera del Cardano riporta "proportionales", invece di "in continua proportione" e "Ioannes", invece di "Iohannes" .
(41) Se vogliamo credere a ci che dice TARTAGLIA nel Quesito 40 (5 Gennaio 1540), ci sarebbe avvenuto nel Gennaio 1540 e da quell'epoca pu datarsi anche la soluzione della equazione biquadratica, data dal FERRARI.
(42) Fu a Roma dal 1567 al 1576, mor a Reggio nel 1585. In una sua lettera diretta a GHERARDO SPINI, dice di aver tradotto anche HERONE e PAPPO (cfr., Bibl. Modenese del Tiraboschi, tomo IV, p. 77).
(43) Cfr. l'introduzione: "A gli lettori" quarta pagina non numerata.
(44) Cfr. E. BORTOLOTTI, Manoscritti matematici riguardanti la storia dell'Algebra, esistenti nelle Biblioteche di Bologna, Esercitazioni Matematiche di Catania, Anno III, fasc. 23, 1923, p. 81.
(45) Cos nel testo di riferimento. Il testo del Bombelli dice: "Ho trovato un'altra sorte di R.c. legate molto differenti dall'altre... laqual sorte ... h nel suo Algorismo diversa operatione dall'altre, e diverso nome." .
(46) Cfr. p. es. E. BORTOLOTTI, L'Algebra nella scuola matematica bolognese del secolo 16esimo. "Periodico di mat.", Serie IV, vol. V, 1925, p. 169.
(47) Cfr. E. BORTOLOTTI, Sulla rappresentazione simbolica della incognita e delle potenze di essa introdotta dal Bombelli. (Archivio di Storia delle Scienze, vol. VIII, 1927).
(48) Cos nell'edizione di riferimento, ma si tratta di un evidente refuso. L'espressione corretta A riprova, si osservino le due eguaglianze subito sotto: nella seconda, la radice quadrata sotto il radicale cubico  correttamente preceduta dal segno "-" e non "+" .
(49) Cfr. Der Briefwechsel von G. W. LEIBNIZ mit Mathematikern herausgegeben von C. F. GERHARDT. Berlin, 1899, p. 565.
(50) Briefwechsel, loc. cit., p. 528. "Er hatte sich bis dahin aus den elementaren Lehrbchern von Lanz und Clavius unterrichtet, welche das algebraische Rechnen bis zur Wurzelausziehung des zweiten und dritten Grades enthalten. Zur Fortsetzung dieser Studien, nahmentlich in Betreff der Auflsung der cubischen Gleichungen, whlte Leibniz das fr seine Zeit berhmte Werk von BOMBELLI: L'Algebra parte maggiore dell'Aritmetica divisa in tre libri, Bologna 1572, zum Fhrer".
(51) Loc. cit., p. 552.
(52) Cfr. E. BORTOLOTTI, La trisezione dell'angolo ed il caso irreducibile della equazione cubica nell'"Algebra di Rafael Bombelli". Rend. Acc. di Bologna, Sessione del 29 Aprile 1926.
(53) Di SCIPIONE DAL FERRO e di RAFAEL BOMBELLI gi si  dato notizia.
(54) Ho raccolto queste notizie dalla "Autobiografia di Girolamo Cardano". Traduzione, introduzione e note di ANGELO BELLINI, Famiglia meneghina editrice, 1932.
(55) Cfr. E. BORTOLOTTI, Il Primo fra i quesiti proposti dal Ferrari al Tartaglia nel suo 3 Cartello, e la inscrizione nel cerchio di poligoni regolari di 7 e di 9 lati. Rendiconti della R. Acc. di Bologna, Sessione del 14 Marzo 1926.
(56) V. la citata traduzione del BELLINI della Autobiografia.
(57) Capitolo inedito e sconosciuto, scoperto e pubblicato da ANTONIO FAVARO in "Atti del Regia Istituto Veneto", Serie VII, Tomo III, p. 1-12, citato anche da ZUCCANTE, Aristotele nella storia della cultura.
(58) Cfr. H. G. ZEUTHEN, Quelques traits de la propagation de la science. "Scientia", vol. V, 1909, p. 15, 16 dell'estratto. "...Archimde a trouv les volumes des corps qu' il appelle conodes et sphrodes, ce qui a amen lors de la Renaissance Luca Valerio  chercher les centres de gravit des mmes corps, et celui-ci a resolu ces problmes plus lvs sans avoir  sa disposition d'autres mthodes que celles que les diffrentes dmonstrations d'Archimde pouvaient lui suggrer. Or la Mthodologie d'Archimde, qui tait absolument inconnue de Luca Valerio, contient de la main d'Archimde les mmes dterminations. Valerio tait donc si profondment entr dans la pense d'Archimde, que l'tude des travaux du grand Syracusain connus de son temps, lui avait suggr la ralisation du mme progrs notable, qui  son insue avait t accompli dj par le matre".
(59) Les Ouvres mathmatiques de Simon Stevin de Brouges, Leyde 1634.
(60) Cfr. H. BOSMANS, Sur quelques exemples de la mthode des limites chez Simon Stevin. "Annales de la Soc. scient. de Bruxelles", t. XXXVII 1912-13, Second fascicul. - Cfr. anche: E. BORTOLOTTI, Lo sviluppo del concetto di limite ed i primi algoritmi infiniti nel rinascimento italiano. "Mem. Acc. di Bologna", Serie IX, t. VI, 1938-39.
(61) Cfr. la nota: Luca Valerio lnceo, pubblicata dal GABRIELI, nei Rend. Classe di Sc. morali Regia Acc. Lincei, Seduta del 19 nov. 1933.
(62) Cfr. L'algebra - Opera di Rafael Bombelli da Bologna (Bologna 1572), p. 35, 37. Cfr. anche: E. BORTOLOTTI, La scoperta delle frazioni continue. "Bollettino della Mathesis", anno 11, agosto 1919, n. 5-8, p. 101.
(63) Cos nel testo di riferimento, ma naturalmente non sono credibili 79 anni di insegnamento. Infatti, in http://www.treccani.it/enciclopedia/pietro-antonio-cataldi/ (consultato il 30/09/18) si dice: "...lettore ad mathematicam nello Studio di Bologna dal 1583 al 1626..." .
(64) Cfr. PIETRO ANTONIO CATALDI, Trattato del modo brevissimo di trovare la radice quadra delli numeri. In Bologna appresso Bartolomeo Cochi, MDCXIII.
(65) Cfr. E. BORTOLOTTI, I primi algoritmi infiniti nelle opere dei matematici italiani del secolo 17esimo. "Boll. Unione Mat. Ital.", Serie II, Anno I, 1939, p. 353-358.
(66) Cos nel testo di riferimento, ma l'espressione non  corretta e per rendersene conto basta p. es. prendere e alloraassume il valore di circa 0,92 che non eccede la radice di 1. L'espressione corretta  , che per altro si trova alla p. 138. .

(67) Di qui si ricava {; sostituendo nella prima il valore qn-1 = 2aqn-2 + pn-2, dato dalla seconda, e nella seconda il valore pn-1 = rqn-2, dato dalla prima, si ricava, sotto la forma consueta:
{.
(68) E. BORTOLOTTI, L'infinito ed il limite nella matematica antica? "Bollettino della Unione Matematica Italiana", Serie II, vol. I, 1939, p. 37-60.
(69) Si tratta di una parodia del famoso Carme V di Catullo ("Vivamus, mea Lesbia, atque amemus...). I versi parodiati sono: "...cum milia multa fecerimus,/ conturbabimus illa, ne sciamus,... .
(70) Cfr. per es. ALEXANDER ANDERSON, Vindiciae Archimedis. Parisiis, 1616.
(71) Cfr. E. BORTOLOTTI, L'opera geometrica di Evangelista Torricelli, al Cap. "Gli indivisibili torricelliani ed il problema delle tangenti" (Monatsheften fr Math. und Phys., Bd. 48, 1939, p. 464 e sgg.
(72) Questo in occasione della quadratura del solido iperbolico infinitamente lungo. V. Lettera a M. RICCI del 17 marzo 1646, e lettera di B. CAVALIERI del 17 dicembre 1641. Opere di E. TORRICELLI, vol. III, p. 361 e p. 65.
(73) V. per es., WALLNER, Ueber die Entstehung des Grenzbegriffes. "Bibl. Mat.", vol. IV, serie III, pp. 251-256.
(74) Cfr. E. BORTOLOTTI, L'infinito ed il limite nella matematica antica? "Boll. Unione Mat. Italiana", Serie II, vol. I, 1939, p. 47-60.
Dopo aver enunciata la regola che d la somma di una progressione geometrica decrescente infinita, A.  TACQUET, nella sua Arithmeticae Theoria, et Praxis (Lib. V, cap. IV), dice: "Vides opinor, qui haec legis, quam facilis sit, quod supra me ostensurum promiseram, a progressione finita ad infinitam transitus. Unde mirum est, priores Arithmeticos, qui progressiones finitas tenerent, infinitas ignorasse, cum hae ab illis immediate dependeant".
(75) Sta il fatto che GREGORIO DA S. VINCENZO non fa che applicare il procedimento torricelliano, e che il TACQUET, senza mai nominare TORRICELLI, spiattella tali quali i Lemmi torricelliani. Vedi E. BORTOLOTTI, I primi algoritmi infiniti nelle opere dei matematici italiani del secolo 17esimo. "Boll. Unione Mat. Italiana", serie II, n. 4, 1939, p. 369-371.
(76) Abbiamo riportato il testo integrale di TORRICELLI perch sia ben chiaro il di lui concetto in queste che, per ordine di tempo sono le prime esplicite enunciazioni di una somma di infiniti addendi attualmente conosciuti nella loro totalit.
(77) Nell'imprimatur di questo libro, OVIDIO MONTALBANO, censore, scriveva: "Omnium calculis approbandam, immo albis signandam lapillis Arithmeticam hanc speculationem censuit Ovidius Montalbanus".
Dal Carteggio di LEIBNIZ coll'OLDENBURG si ricava che le quadrature aritmetiche del MENGOLI erano note all'OLDENBURG, al COLLINS ed allo stesso LEIBNIZ. Vedi G. VACCA, Sulle scoperte di Pietro Mengoli. "Rend. Lincei", sed. 5 e 19 dicembre 1915, p. 512.
(78) Cfr. G. ENESTRM, Zur Geschichte der unendlichen Reihen um die Mitte des siebzehnten Jahrhunderts. "Bibl. Mathem.", 1912, p. 135-148. VACCA, loc. cit.
(79) Nel passo sopra ricordato, nell'enunciato, e nella conclusione: Ergo propositae fractiones in infinitum dispositae, et aggregatae, infinitam extensionem valent implere" (p. 4 della Praefatio).
(80) Cos nel testo di riferimento, ma la formula va ovviamente interpretata come n/(n+2); inoltre, per il generico termine, deve essere  .
(81) Cfr. B. TAYLOR, Methodus incrementorum directa et inversa. Londini 1715.
(82) Cfr. F. NICOLE, Trait du calcul des diffrences finies. "Mem. Acc. Sc. de Paris", 1717, p. 15.
(83) Cfr. A. AGOSTINI, La teoria dei limiti in Pietro Mengoli. Periodico di Mat., 1925, vol. V, pp. 18-30.
(84) Cfr. la lettera al TORRICELLI del 14 luglio 1642 (Opere di Torricelli, vol. III, p. 74).
(85) Lo specchio ustorio ovvero trattato delle settioni coniche.... In Bologna, presso Clemente Ferroni, 1632, 1650.
(86) GREGORIUS a SANCTO VINCENTIO, gesuita, pubblicando la sua opera "Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni" nel 1647 (anno in cui morivano TORRICELLI e CAVALIERI), diceva di averla, in parte almeno, composta fino dal 1625, e di avere, in quell'anno, lasciato il manoscritto a Roma, presso il correligionario CHRISTOFORO GRIGENBERGER; e con ci presumeva di potersi attribuire la priorit della proposizione cavalierana sulla egual area di spirale archimedea, con quella di un segmento, convenientemente apprestato, di parabola apolloniana. Alla Questione 116, fatta a questo proposito dall'ENESTRM nel vol. 5, Serie 3 (1904), della sua Bibliotheca Mathem., rispose il FAVARO nello stesso Vol. a pag. 415 nel modo seguente: "Il trattatello delle Spirali, inviato da BONAVENTURA CAVALIERI a GALILEO GALILEI con lettera 9 aprile 1623, si conserva tuttavia tra i manoscritti galileani della Biblioteca Nazionale di Firenze. Esso si trova a carte 14-26 del volume secondo della Divisione di tali manoscritti che contiene gli scritti ed i documenti dei discepoli. La proposizione II di questo "Trattatello" dimostra che: "spatium comprehensum a spirali ex prima revolutione orta et prima linea quae initium est revolutionis, est tertia pars primi circuli"; ed , meno varianti di poca importanza, perfettamente identica, fin nelle lettere delle figure, alla proposizione che nel Libro VI della Geometria indivisibilibus... (1635) porta il n. IX,  enunciata colle stesse parole, e vi occupa le pagine 13-15".
"Resta con ci perfettamente dimostrato che, per tale proposizione, BONAVENTURA CAVALIERI, non ebbe bisogno di attingere n alle opere, n alle comunicazioni verbali o scritte, n di GREGORIO DI S. VINCENT, n di alcun altro dei suoi contemporanei".
(87) Cfr. B. CAVALERIO, Geometria Indivisibilibus, p. 113.
(88) Cfr. Geometria Indivisibilibus, p. 211.
(89) Cfr. Geom. indiv. p. 259 ed anche "Opere geometriche di Turricelli" Vol I, Parte II, p. 106, 115.
(90) Utile erit scribi ? pro Omn.: ut ? 1, pro Omn. 1, id est summa ipsorum 1,... nempe ut ? augebit, ita d. minuet dimensiones... Cfr. Briefwechsel von B. Leibniz mit Mathemat., lettera ad OLDENBURG, 25 ottobre 1675, p. 154.
(91) V. PIOLA, Elogio di Bonaventura Cavalieri, Milano 1844, p. 60.
(92) V. FABRONI, Lettere inedite di uomini illustri, Firenze 1773, p. 319.
(93) Exercitatio prima, p. 4.
(94) Cfr. p. es. Exercitatio..., p. 17. "Ex fluxu parallelogrammi orietur parallelepipedum: et in universum ex fluxu cuiuscuq. figurae planae orietur corpus, quod vocari solet columnare, et a me dicitur cylindricus".
(95) Cfr. Exercitatio..., p. 4.
(96) Cos nell'edizione di riferimento, ma l'anno corretto della morte  1647, come  confermato anche dalla nota di pag. 208, in fine, e anche altrove .

(97) Cfr. E. BORTOLOTTI, Gli inviluppi di linee curve ed i primordi del metodo inverso delle tangenti. "Periodico di Matematiche", serie IV, vol. I, 1921. La prima notizia della fortunata scoperta si trova nella lettera all'amico R. MAGGIOTTI, con data 5 gennaio 1641, ove da ogni riga trabocca la festivit e la gioia pel conseguito risultamento (Opere di Torricelli, vol. III, p. 44): "... Se io, verbigrazia, chiedessi a V. S. quale sia la sfera (per cos dire) della attivit totale dei proietti: cio qual figura vadano a toccare tutte le palle della medesima artiglieria sparata a tutte le possibili elevazioni sempre dall'istesso luogo: Parimenti quale sia la sfera della attivit ascendente dei proietti, cio in qual figura siano i punti altissimi (o vogliamo dire della conversione) di tutti i tiri che si possono fare dalla medesima artiglieria e dal medesimo luogo, queste, se bene sono figure delle pi frequenti e pi considerate che abbia la geometria, ella avrebbe ragione di darmi del bar... fot. per la testa".
(98) Cfr. p. es. D. F. GREGORY, Exemples of the progresses of the differential and integral calculus. Cambridge, 1841, p. 223.
(99) Cfr. Vorlesungen uber Gesch. d. Math. Leipzig, 1900, vol. II, p. 891.
(100) Cfr. Opere di Torricelli, vol. II, p. 177.
(101) Non sar forse male il richiamare qui brevemente ci che su questo argomento  stato detto al Paragrafo I: I primi algoritmi infiniti, n. 7, "Somma di serie infinite".

"Data la serie geometrica infinita a1 : a2 : a3 : a4,... TORRICELLI rappresenta i due primi termini con segmenti paralleli A1B1, A2B2,.... Per essere A1B1 > A2B2, le rette A1A2, B1B2, concorreranno in un punto a distanza finita C. Tirato il segmento A1B2, ed i segmenti alternativamente paralleli A2B3, B3A3, A3B4, B4A4,... facilmente si vedr che il flessilineo cos generato non avr mai fine, e che i punti B1, B2, B3,... A1, A2, A3,..., si avvicinano indefinitamente al punto C senza mai poterlo raggiungere. TORRICELLI dimostra che gli infiniti segmenti paralleli A1B1, A2B2,... sono in proporzione continua e che in essi si trovano tutti i termini (omnes et singulos ad ungues terminos) della progressione infinita proposta.
Immagina poi prolungata B1A1 fino ad incontrare in E la parallela alla A1B2 condotta per il punto C, e, similmente prolungate le A2B3, A3B4,... fino ai loro incontri, nei punti D2, D3, D4,... colla retta B1E. Il segmento B1E rappresenta la somma richiesta di tutti gli infiniti termini della progressione proposta.
Per calcolare tale somma, baster condurre la parallela B2F, perch dalla proporzione
B1F : B1A1 = B1B2 : B1C = B1A1 : B1E
cio:
a1 - a2 : a1 = a1 : a1 + a2 + a3 +....
Si ricava la nota formula:

(102) Lib. V, cap. IV, Theorema 18esimo. Cfr. anche E. BORTOLOTTI, Lo sviluppo del concetto di limite... "Memorie della Regia Acc. Sc. di Bologna", serie IX, tomo VI, 1938-39, pp. 131-138.
(103) Cfr. Lettere di Cavalieri a Torricelli dei 17 Dec. 1641, 7 Gennaio 1642. "Opere", III, pp. 65, 66.
(104) Nel testo di riferimento:, ma  chiaramente un refuso, come si vede anche confrontando con la formula immediatamente seguente .
(105) E. BORTOLOTTI, La scoperta e le successive generalizzazioni di un teorema fondamentale di calcolo integrale. "Archivio di Storia della Scienza", vol. V, 1924, pp. 205-207.
(106) Cfr. p. es. Lettera di Torricelli a B. Cavalieri, 5 maggio 1646. "Opere di T.", vol. III, p. 450. Si richiede che l'esponente m delle ascisse nella ynxm = k, sia maggiore di quello n delle ordinate, ossia che si abbia m/n > 1.
(107) In un'edizione del "De infinitis hyperbolis" si dice: "Necesse est exponentem asymptotalium majorem esse exponente applicatarum; alias figura, non solum longitudine, sed etiam magnitudine infinita esset." 
(108) Gli indivisibili BD, BG (supplementari nella parabola) stanno fra loro come gli esponenti e si ha BD : BG :: n: m. Ma BD, e BF, supplementari nel rettangolo, sono eguali in quantit, sar dunque anche BF : BG:: n : m. Gli indivisibili BF, BG, hanno egual spessore, dunque stanno fra loro come le lunghezze lineari BF, BG, ed, essendo BF = DE, BG = AD, sar anche ED : AD :: n : m cio la sottotangente all'ascissa, come l'esponente all'esponente.
(109) Cfr. Opere di Torricelli, vol. 3, p. 331.
(110) Ibid., pp. 366-369.
(111) Cfr. Lettera a Carcavy dell'8 luglio 1646 (loc. cit., p. 406).
(112) Cfr. E. BORTOLOTTI, Applicazione del calcolo integrale alla determinazione del centro di gravit di figure geometriche. "Rendiconti Istituto di Bologna", vol. XXVI, 1921-22, pp. 207-220. V. anche: L'opera geometrica di E. Torricelli. "Monatsheften f. Mat. u. Ph.", Vienna 1939, p. 482.
(113) Cfr. E. BORTOLOTTI, La prima rettificazione di un arco di curva nella memoria: "De infinitis spiralibus" di Torricelli. Rendiconti Istituto di Bologna, 1927-28, pp. 127-139.
(114) Vedi: Opere di Torricelli, vol III, p. 280, 275, 392.
(115) Cfr. S. A. CHRISTENSEN, The first determination of the length of a curve. "Bibl. Math. di Enestrm", Serie I, 1887, vol. I, p. 76-80.
(116) Cfr. E. BORTOLOTTI, Recensione dell'art. di G. LORIA: L'opera geometrica di E. Torricelli. "Periodico di Matematiche", serie IV, vol. II, 1922.
(117) "Queste quadrature le stimo per baie, rispetto alla soddisfazione che ho di quelle maniere mie, che sono comuni anco all'hyperbole e ad altri problemi massimi, e danno nel medesimo tempo le tangenti ed i centri" (Lettera a MICHELANGELO RICCI del 28 maggio 1646. "Opere", t. III, p. 378). "...Ora l'ho trovata universalissima, e tutte le suddette cose, siccome anco la dottrina delle infinite parabole, sono una cosa sola, ma difficilissima a darvi dentro" (Lettera a CAVALIERI del 5 maggio 1646, p. 374). - Lettera a CAVALIERI del 5 ottobre 1647: "Questo capitolo contiene un sommario delle materie che saranno nel mio libro - de novis lineis -, cio tutte le invenzioni principali, e tutte si dimostrano per via di indivisibili,...". (p. 486). (TORRICELLI moriva 20 giorni dopo!).
(118) Cfr. E. BORTOLOTTI, Gli inviluppi di linee curve ed i primordi del metodo inverso delle tangenti. "Periodico di Mat.", luglio 1921. - Le prime applicazioni del calcolo integrale alla determinazione del centro di gravit di figure geometriche. "Rendiconto Acc. di Bologna", 1922. - La scoperta e le successive generalizzazioni di un teorema fondamentale di calcolo integrale. "Archivio di Storia della Scienza", 1924. - La memoria "De infinitis hyperbolis" di Torricelli. "Archivio di Storia della Scienza", 1924. - I progressi del metodo infinitesimale nell'Opera di E. Torricelli. "Periodico di Mat.", 1928. - Il "De infinitis spiralibus" di Torricelli. Ibid., pp. 205-206. - Le prime rettificazioni di un arco di curva nella memoria "De infinitis spiralibus" di Torricelli. "Rend. Acc. di Bologna", 1928. - Il metodo infinitesimale nell'opera geometrica di E. Torricelli. "Atti Congresso di Firenze", 1939. - L'Opera geometrica di E. Torricelli. "Monatsh. f. Math. und Physik", 48 Bd., 1939, pp. 457-486. - FRIEDR. WEIS, Evangelista Torricelli in seiner gesamten Wissenschaft. Bedeutung,... "Arch. f. Gesch. d. Matem.", Bd. 10, 3 Heft, 1927. - Oratio de Historia Cycloidis. Ibidem. - L. A. SURICO, Definitivo riconoscimento della priorit torricelliana,... "Arch. di St. della Sc.", 1929. - A. AGOSTINI, Il problema inverso delle tangenti nelle opere di Torricelli. "Arch. di St. delle Sc.", 1930. - Dimostrazione di una proposizione di Torricelli sulla spirale logaritmica. "Period. di Mat.", 1930. - Un brano inedito di Torricelli sulla rettificazione della spirale logaritmica. "Bollettino di Matematica", 1930.
(119) G. VACCA, Sulle scoperte di Pietro Mengoli. "Rend. Acc. Lincei", 1915.
(120) G. VACCA, loc. cit. ed A. AGOSTINI, Il concetto di integrale definito in Pietro Mengoli,... Periodico di Matem., s. 4a, V. (1925) pp. 137-146.
(121) Cos nel testo di riferimento, ma a pag. 156 si dice "Gesuati" .
(122)  stato osservato che nelle Opere di GUGLIELMINI si trovano gi i principi fondamentali della cristallografa, che solo un secolo dopo furono ulteriormente sviluppati. Alle pp. 17, 18 della Memoria del 1688 egli, in particolare scriveva: "Stabile nondimeno, purch vi sia principio di cristallizzazione,  sempre la inclinazione dei piani e degli angoli, dalla quale nei cristalli non assai perfetti, ben si conosce dove avrebbero a terminarsi, dipendendo da essa necessariamente la determinazione della figura... ...i cristalli sensibili di un medesimo sale grandi o piccoli che siano, hanno tutti la medesima figura, non dipendendo dalla maggiore o minore quantit della materia la coordinazione delle parti.... Avranno dunque l'istessa figura anche quelli che non possono cadere sotto i sensi, e cos tutte le minime particelle del sale che notavano nell'acqua prima della cristallizzazione, avranno la figura poscia introdotta nei cristalli maggiori, e militando la stessa ragione anco nelle parti pi piccole, arriveremo a conoscere che le ultime parti della materia, quelle che per niuna forza di agente naturale ponno essere divise in particelle minori, hanno una figura determinata, che non ponno mai perdere, impressale dalla loro creazione". - Cfr. p. es. I. GUARESCHI, La storia della scienza e Domenico Guglielmini. "Atti della S. I. P. S.", Sesta riunione, Genova 1912.
(123) Cfr. Lettere di Boncompagni - Manoscritti Canterzani (n. 4182), Cap. 61. Lettera del 29 ottobre 1788.
(124) Per tutto ci che riguarda la storia dell'Istituto e dell'Accademia di Bologna nelle loro varie fasi si pu consultare: E. BORTOLOTTI, Materiali per la Storia dell'Istituto Nazionale. "Mem. della Regia Acc. di Sc., lettere ed arti di Modena", Serie III, vol. 12esimo (sezione Lettere), Modena 1915, pp. 1-69. - Origine e progressi della Regia Accademia delle Scienze dell'Istituto di Bologna. Suppl. delle "Mem. della Regia Acc. delle Sc. dell'Ist. di Bologna", Serie VIII, t. I, 1923-24, pp. 1-20. - La fondazione dell'Istituto e la Riforma dello Studio di Bologna. Dal volume: Memorie intorno a Ferdinando Marsili. Bologna 1939, pp. 383-471. - L'Accademia delle Scienze dell'Istituto di Bologna durante l'epoca napoleonica e la restaurazione pontificia. "Atti e Memorie della Regia Deputazione di Storia Patria per le provincie di Romagna", Serie IV, vol. XXV, pp. 1-81 (dell'estratto). (Bologna 1935).
(125) Cfr. "Memorie per riparare i pregiudizi dell'Universit dello Studio di Bologna, e ridurlo ad una facile e perfetta riforma", Stampata senza nome dell'autore in Bologna nel 1689, ripubblicata da E. BORTOLOTTI nel vol. delle "Memorie per la commemorazione del Marsili", in occasione del suo II centenario, Bologna 1930, p. 386-405. - V. anche: E. COSTA, Contributi alla storia dello Studio bolognese durante il secolo 17esimo. "Studi e Memorie per la storia della Universit di Bologna", vol. III, pp. 1-88.
(126) Il progetto di riforma contenuto in questa lettera, che ha per titolo: "Parallelo dello stato moderno della Universit di Bologna, con l'altre di l de' monti",  stato pubblicato da E. BORTOLOTTI, nel volume gi citato delle "Memorie" stampate in occasione del II centenario della morte di MARSIGLI; secondo il testo che si trova manoscritto nel Codice 630 della Biblioteca universitaria di Bologna.
(127) Anche queste pubblicate nelle "Memorie" marsigliane, al loc. cit. pp. 423-435.
(128) I manoscritti marsigliani della nostra Biblioteca universitaria documentano largamente, in tutti i loro particolari incresciosi, quelle fastidiose querele.
(129) Cfr. FONTENELLE. - Elogio di EUSTACCHIO MANFREDI.
(130) Dai Manoscritti Canterzani (inediti) contenuti nella Biblioteca Universitaria di Bologna. Caps. I, n. di catalogo 4136.
(131) La lettera, interessantissima, fu pubblicata dal FABRONI (Vitae, t. V, p. 209 e sgg.), qui si riporta per maggior chiarimento del testo.
"Illustrissimo et celeberrimo viro Gabrieli Manfredio, Gudefridus Guilielmus Leibnitius S. P. D.
Pro munere egregio gratias et meo et publico nomine tibi ago.
Debebit tibi Italia, aliisque paucis, ne expers sit elegantioris, profundiorisque Geometriae nuper apertae. Nec dubito, vestra ingenia magnos in ea progressus factura, ubi semel rectae viae institerint. Vobis totam prope Algebram debemus, qualis hactenus habetur; nam cubici gradus resolutio SCIPIONIS FERREI, et biquadratici est LUDOVICI FERRARII. In Geometria sublimiore coeperant praeclari aliquid agere CAVALLERIUS et TORRICELLIUS; sed cum in ipsis initiis haesissent, alii eorum studiis adiuti progressi sunt longius, tandemque res ad quoddam Analyseos seu Calculi genus a me perducta est. Eam quis miretur multum abesse a perfectione? cum ne in Algebra quidem hactenus aliquis publice processerit ultra quartum gradum, aut saltem viam longius progrediendi ostenderit.
Tu quidem eleganti, atque utili compendio sparsim exposita complexus es, ut facilius appareat, quid adhuc desideretur.
Aequationem differentialem, quam sub finem Operis construis ita resolvere soleo:
Fiet
dy:dx=z+vy,
posito v, et z dari per x utcumque.
Fiet
et log. n =
seu adeoque tandem erit

Optem autem regressu facto Catalogos exhiberi aequationum differentialium tractabilium, ut, oblata aliqua, constituere facilius possimus primo aspectu, an sit in potestate. Sed maxime prodest artem exerceri per problemata, veluti si quis sibi proponat in superficiebus datis minimam a dato puncto ad datum ducere, aliaque id genus.
Per problemata enim, et ingenio acuitur, et scientia augetur, atque in usus transfertur.
Caeterum mihi semper gratissimum erit, tuo vel amicorum tuorum beneficio discere, quid apud vos in provehendis scientiis geratur. Nam et anatomiam pulchre apud vos excoli video. Sed Medicina ipsa ubique adhuc squallet, nec reperta satis ad usum accomodantur. Itaque felicioribus saeculis, idest quibus homines, et maxime Principes, magis rem suam curent, transcribere haec oportet.
Quod superest vale, et fave.
Dabam Hannoverae 10. April. 1708."
(132) Cfr. Der Briefwechsel von GOTTFRIED W., Leibniz mit Mathematikern, p. 627.
(133) Cfr. p. es. BOSSUT, Histoire des Mathmatiques, t. II (Paris 1810), p. 57. - LORIA, Hist. "Festschr.", 1899, pp. 249-252. - CANTOR, Vorlesungen ueber Geschichte der Mathematik, III (1901), p. 460.
(134) Cfr. ENESTRM, Bibliotheca Mat., Serie III, vol. II pp. 150-151.
(135) Cfr. Leibnizen Mathematische Schriften, Bd. II, p. 9, p. 220; Bd. III, p. 138.
Il MANFREDI del resto aveva buone ragioni per credere che il LEIBNIZ non avesse, all'epoca in cui egli risolveva le equazioni omogenee, regola generale a tali equazioni. Ed infatti nella lettera che gli scriveva nell'Aprile del 1708 il LEIBNIZ si dichiarava pronto ad insegnare a lui ed agli amici suoi, ogni cosa che essi gli avessero richiesto, e che a lui fosse nota, in fatto di scienza. Ma non gli insegna il metodo di risolvere la equazione omogenea: che egli aveva dichiarato di non saper integrare; mentre poi per l'altra equazione omogenea che il MANFREDI aveva saputo ridurre alle lineari, e poscia integrare, il LEIBNIZ d regola generale per la integrazione delle equazioni lineari, ma non gi per le omogenee.
(136) Vitae Italorum, vol. V, p. 214.
(137) Cfr. Carteggio tra G. B. Morgagni e F. M. Zanotti, Bologna 1875, p. 101.
(138) Cfr. D. PROVENZAL, I riformatori della bella letteratura italiana: E. Manfredi, G. P. Zanotti, F. A. Zanotti, F. A. Ghedini, F. M. Zanotti. "Studio di storia letteraria bolognese del secolo 18esimo", Rocca San Casciano, Cappelli, 1900.
(139) Cfr. ZANOTTI EUSTACHIO, La meridiana del tempio di S. Petronio, Bologna 1779. - MANFREDI EUSTACHIO, De novissima meridianae lineae. "Commentari", vol. I, Bologna 1748, pp. 258-589.
(140) nacque a Bologna, nella parrocchia di S. Tommaso del Mercato, il 4 ott. 1717 e ivi mor nel 1800 .
(141) Le notizie astronomiche superiormente esposte sono state ricavate dall'articolo: L'Astronomia in Bologna, di MICHELE RAYNA. "Memorie della Societ degli Spettroscopisti italiani", vol. 32, anno 1903.
(142) Intitolato: "Schedae mathematicae post ejus obitum collectae, ejusdem observationes astronomicae", Bon. 1713. Contiene: 1) De aeris et hydrargyri in fistulis aequilibrio, a. 1704; 2) Curvae isochronae demonstratio, a. 1705; 3) Determinatio temporum, quibus vasa quaelibet per foramina fundo insculpta aqua vacuantur, a. 1705; 4) De aquarum erogatione per foramina verticalia figurae cujuslibet, a. 1705; 5) De instrumento, quo gradus dilatationis aeris in machina pneumatica distinguuntur, a. 1705; 6) De athmosphaerae densitate per curvas quasdam lineas demonstranda, a. 1706; 7) De curvitudine radii luminis oblique aerem traiicientis. Ex codice adversariorum, a. 1706; 8) De certa soni mensura constituenda, a. 1706; 9) De Mariotti et Picardi experimentis, quibus ostenditur partem esse in sensorio visus, quae visa destituatur, a. 1706; 10) De quibusdam soni proprietatibus, a. 1707; 11) De aeris elatere, a. 1708; 12) De thermometris ab Amontonio recens inventis, a. 1708.
(143) Cfr.: Notizie della vita e degli scritti di F. M. Zanotti raccolte e pubblicate da GIOVANNI FANTUZZI, Bologna 1778.
(144) P. PREDIERI, Relazione storica delle cariche dell'Accademia dell'Istituto, Bologna 1870, p. 60.
(146) Cfr. p. es. H. G. ZEUTHEN, Histoire des mathmatiques, pp. 286-287.
(147) Cfr. E. BORTOLOTTI, L'Accademia delle Scienze dell'Istituto di Bologna, durante l'epoca Napoleonica e la restaurazione pontificia. "Rendiconto della Regia Accademia di Bologna", anno 1935-36.
(148) Per la nomina dei professori dei licei e dei ginnasi, si istitu una Commissione di concorso per la nomina dei professori, composta di due ispettori generali, e di due professori di Universit, sempre quando si possa, membri dell'Istituto Nazionale (Boll. 1807, pp. 376-474). - : "474-376" nel testo di riferimento.
(149) Costitu poi l'Ispettorato generale, e da esso nacquero la Direzione generale di pubblica istruzione, e la Direzione generale di acque e strade (pure tolte dall'Istituto). Cfr. il Foglio Ufficiale pel 1805, p. 32.
(150) "dal inedito" nel testo di riferimento .
(151) Vedi la Mem. E. BORTOLOTTI. - Materiale per la Storia dell'Istituto Nazionale, in Memoria della Regia Accademia di Modena, Serie III, Vol. 12esimo (1915), Sez. lettere.
(152) Il concetto di Ordine di infinitesimo risale a LEIBNIZ; ma i teoremi sugli ordini di infinitesimo si trovano dimostrati nella Analyse algbrique di CAUCHY (Paris 1821).
(153) "freguent" nel testo di riferimento .
(154) PIRRO DEGLI ALBIROLI, che lesse aritmetica dal 1491-92 al 1546-47 pare esser stato il solo, fra i lettori di matematica, che abbia raggiunto lo stesso numero.
(155) "freguent" nel testo di riferimento .
(156) Cfr. G. DARBOUX, loges Acadmiques et discours. (Paris 1912), p. 35.
...
.
...
FINE.